Dubbio esercizio Fisica 2
Ho quest'esercizio:
Consideriamo 2 spire circolari S1 ed S2, concentriche di raggi a1 ed a2 (a1 << a2) che giacciono inizialmente sul piano xy. In s2 scorre una corrente costante i2.
a) Calcolare (o meglio ricordare) B(z) sull'asse della spira. Sviluppare quest'espressione per piccoli z, al primo ordine utile nell'opportuno parametro <<1
Usare quest'espressione approssimata per rispondere alle domande successive
Mantendendo fissa i2 e la posizione di S2, trasliamo senza ruotare S1 lungo l'asse z fino ad h<
c) Si dissipa più energia traslando S1 con v grande o piccola? trovare la legge che lega l'energia dissipata con v
Allora, prima di tutto riprendo l'espressione del campo magnetico di una spira circolare lungo l'asse: B(z) = $(µ_0 * i* R^2)/(2(z^2 + R^2)^(3/2))$, ora se z è molto piccolo lo posso approssimare con: B(z) = $(µ_0 * i)/(2R)$ ?
Detto ciò, per trovare la carica su S1 uso la legge di Felici e quindi la carica è uguale al rapporto tra la variazione di flusso, e la resistenza totale. Però, ho dei problemi riguardanti il flusso di B sulla spira.. potreste aiutarmi?
Consideriamo 2 spire circolari S1 ed S2, concentriche di raggi a1 ed a2 (a1 << a2) che giacciono inizialmente sul piano xy. In s2 scorre una corrente costante i2.
a) Calcolare (o meglio ricordare) B(z) sull'asse della spira. Sviluppare quest'espressione per piccoli z, al primo ordine utile nell'opportuno parametro <<1
Usare quest'espressione approssimata per rispondere alle domande successive
Mantendendo fissa i2 e la posizione di S2, trasliamo senza ruotare S1 lungo l'asse z fino ad h<
c) Si dissipa più energia traslando S1 con v grande o piccola? trovare la legge che lega l'energia dissipata con v
Allora, prima di tutto riprendo l'espressione del campo magnetico di una spira circolare lungo l'asse: B(z) = $(µ_0 * i* R^2)/(2(z^2 + R^2)^(3/2))$, ora se z è molto piccolo lo posso approssimare con: B(z) = $(µ_0 * i)/(2R)$ ?
Detto ciò, per trovare la carica su S1 uso la legge di Felici e quindi la carica è uguale al rapporto tra la variazione di flusso, e la resistenza totale. Però, ho dei problemi riguardanti il flusso di B sulla spira.. potreste aiutarmi?
Risposte
Ma chi è l'autore di questo esercizio?
E perché esporlo in un modo così astruso?
Certi docenti sembrano trovare piacere in una specie di masturbazione mentale!
–––––––––––
Comunque:
• La carica fluita è l'integrale della corrente la quale – trascurando (nel valutarla) l'induttanza della spira piccola e la mutua induttanza tra le due spire –cosa che non so quanto sia lecita perché la corrente indotta crea nella spira piccola un flusso magnetico variabile contrario a quello imposto dalla spira grande – è il rapporto tra la tensione indotta e la resistenza.
• Perché ci sia tensione indotta occorre che il flusso magnetico vari nel tempo.
[Inciso. Mi stanno antipatici i simboli a1 e a2 come raggi.
Diciamo $R$ il raggio della spira grande ed $r$ quello della spira piccola].
Sia $I$ la corrente (costante) nella spira grande.
• Lungo l'asse $z$ (delle due spire coassiali) l'induzioine magnetica B vale
|B| = $µ_0I/(2R)1/(sqrt(1+(z/R)^2))^3$.
In prima approssimazione (cioè per $z$ molto piccolo rispetto ad $R$) giustamente è |B| ≈ $µ_0I/(2R)$
Ma se non ci metti niente di variabile nel tempo non puoi aspettarti alcuna tensione indotta!
• Seguendo i "desiderata" del testo, fermando lo sviluppo in serie di potenze di $(1 + x)^(-3/2$ ai primi 3 addendi si ha:
$(1 + x)^(-3/2) = 1 - 3/2 x+ 15/8 x^2$
• Potremmo allora considerare l'induzione B variabile al variare di z (per z piccolo rispetto ad R) così:
|B| = $µ_0I/(2R)(1 -3/2 (z/R)^2 + 15/8 (z/r)^4)$.
Poi sostituiamo $z$ con $vt$ (dove $v$ è la velocità della spira piccola rispetto alla spira grande e $t$ è la variabile tempo), moltiplicare per $πr^2$ (area della spira piccola) ottenendo il flusso nella spira piccola in funzione del tempo), derivare rispetto al tempo $t$ per ottenere la tensione indotta (a prescindere dal verso), dividere per la resistenza-serie della spira piccola (per ottenere la corrente indotta) e infine inteegrare per t da 0 (quando è z = 0) a quando z vale h.
Ma perché derivare per poi integrare?
[Più grande è la velocità della spira piccola maggiore è la corrente indotta, ma più piccolo è il tempo che la spira ci mette a percorrere il tratto h in direzione di z.
Quindi, non serve nemmeno far uso della velocità; e il precisare che essa è costante durante il moto ... è solo noise!].
Si possono evitare derivazione e integrazione dato che la seconda annulla la prima.
Ma allora, a cosa serve approssimare B(z) con un polinomio (come sembra invitare a fare il testo del problema, seppur con linguaggio sibillino)?
Trascurando l'induttanza della spira piccola nel pensare alla corrente indotta, con i seguenti simboli
• R = raggio della spira grande
• r = raggio della spira piccola, molto minore di R
• µ = costante di permeabilità del mezzo
• I = corrente nella spira grande
• h = avanzamento della spira piccola in direzione dell'asse delle spire (coassiali)
• Res = resistenza-serie della spira piccola
• ∆q = carica fluita nella spira piccola
la risposta al quiz dovrebbe essere (salvo errori e omissioni ... e incomprensione da parte mia del problema!):
$∆q = (µI)/(2Res) (1/R - R^2/(sqrt(R^2 + h^2))^3)(πr^2)$
Secondo me, però, se tolgo dall'espressione la resistenza ho giustamente l'impulso di tensione elettrica (cioè la variazione di flusso imposto dalla spira grande – sempre prescindendo dal verso di questo e quindi dal segno della tensione–). Ma non mi pare corretto passare dall'impulso di tensione all'impulso di corrente (=carica) con la sola applicazione della legge di Ohm.
Insomma: perché dovrei trascurare il flusso della corrente indotta?
D'altra parte, mi pare che 'induttanza di una spira circolare (che dipende anche dal diametro del filo, non solo da quello (medio) della spira) è qualcosa che esula dallo spirito del problema.
[L'espressione di sopra andrebbe bene se fosse precisato che la resistenza Res è molto alta, ossia chee la corrente indotta è tanto piccola da rendere trascurabile la variazione il flusso da essa creato].
---------------
Mi piacerebbe che ci fosse qualche altro intervento su questo problema [che, in una scala da 0 a 10 io valuterei con un bel 4 - (quattro meno)! ).
_______
E perché esporlo in un modo così astruso?
Certi docenti sembrano trovare piacere in una specie di masturbazione mentale!
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Comunque:
• La carica fluita è l'integrale della corrente la quale – trascurando (nel valutarla) l'induttanza della spira piccola e la mutua induttanza tra le due spire –cosa che non so quanto sia lecita perché la corrente indotta crea nella spira piccola un flusso magnetico variabile contrario a quello imposto dalla spira grande – è il rapporto tra la tensione indotta e la resistenza.
• Perché ci sia tensione indotta occorre che il flusso magnetico vari nel tempo.
[Inciso. Mi stanno antipatici i simboli a1 e a2 come raggi.
Diciamo $R$ il raggio della spira grande ed $r$ quello della spira piccola].
Sia $I$ la corrente (costante) nella spira grande.
• Lungo l'asse $z$ (delle due spire coassiali) l'induzioine magnetica B vale
|B| = $µ_0I/(2R)1/(sqrt(1+(z/R)^2))^3$.
In prima approssimazione (cioè per $z$ molto piccolo rispetto ad $R$) giustamente è |B| ≈ $µ_0I/(2R)$
Ma se non ci metti niente di variabile nel tempo non puoi aspettarti alcuna tensione indotta!
• Seguendo i "desiderata" del testo, fermando lo sviluppo in serie di potenze di $(1 + x)^(-3/2$ ai primi 3 addendi si ha:
$(1 + x)^(-3/2) = 1 - 3/2 x+ 15/8 x^2$
• Potremmo allora considerare l'induzione B variabile al variare di z (per z piccolo rispetto ad R) così:
|B| = $µ_0I/(2R)(1 -3/2 (z/R)^2 + 15/8 (z/r)^4)$.
Poi sostituiamo $z$ con $vt$ (dove $v$ è la velocità della spira piccola rispetto alla spira grande e $t$ è la variabile tempo), moltiplicare per $πr^2$ (area della spira piccola) ottenendo il flusso nella spira piccola in funzione del tempo), derivare rispetto al tempo $t$ per ottenere la tensione indotta (a prescindere dal verso), dividere per la resistenza-serie della spira piccola (per ottenere la corrente indotta) e infine inteegrare per t da 0 (quando è z = 0) a quando z vale h.
Ma perché derivare per poi integrare?
[Più grande è la velocità della spira piccola maggiore è la corrente indotta, ma più piccolo è il tempo che la spira ci mette a percorrere il tratto h in direzione di z.
Quindi, non serve nemmeno far uso della velocità; e il precisare che essa è costante durante il moto ... è solo noise!].
Si possono evitare derivazione e integrazione dato che la seconda annulla la prima.
Ma allora, a cosa serve approssimare B(z) con un polinomio (come sembra invitare a fare il testo del problema, seppur con linguaggio sibillino)?
Trascurando l'induttanza della spira piccola nel pensare alla corrente indotta, con i seguenti simboli
• R = raggio della spira grande
• r = raggio della spira piccola, molto minore di R
• µ = costante di permeabilità del mezzo
• I = corrente nella spira grande
• h = avanzamento della spira piccola in direzione dell'asse delle spire (coassiali)
• Res = resistenza-serie della spira piccola
• ∆q = carica fluita nella spira piccola
la risposta al quiz dovrebbe essere (salvo errori e omissioni ... e incomprensione da parte mia del problema!):
$∆q = (µI)/(2Res) (1/R - R^2/(sqrt(R^2 + h^2))^3)(πr^2)$
Secondo me, però, se tolgo dall'espressione la resistenza ho giustamente l'impulso di tensione elettrica (cioè la variazione di flusso imposto dalla spira grande – sempre prescindendo dal verso di questo e quindi dal segno della tensione–). Ma non mi pare corretto passare dall'impulso di tensione all'impulso di corrente (=carica) con la sola applicazione della legge di Ohm.
Insomma: perché dovrei trascurare il flusso della corrente indotta?
D'altra parte, mi pare che 'induttanza di una spira circolare (che dipende anche dal diametro del filo, non solo da quello (medio) della spira) è qualcosa che esula dallo spirito del problema.
[L'espressione di sopra andrebbe bene se fosse precisato che la resistenza Res è molto alta, ossia chee la corrente indotta è tanto piccola da rendere trascurabile la variazione il flusso da essa creato].
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Mi piacerebbe che ci fosse qualche altro intervento su questo problema [che, in una scala da 0 a 10 io valuterei con un bel 4 - (quattro meno)! ).
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E' un esercizio d'esame del mio professore di Fisica, in effetti solitamente ho sempre difficoltà a comprendere il testo. Comunque, grazie mille per la spiegazione! 
"Erasmus_First":
Ma chi è l'autore di questo esercizio?
Bella domanda, e a mio parere ci dovrebbe sempre essere la firma dell'autore in calce ... e a breve pubblicata la soluzione ufficiale.
"Erasmus_First":
E perché esporlo in un modo così astruso?
Perché se fosse esposto meglio sarebbe più semplice passare l'esame.
"Erasmus_First":
... trascurando (nel valutarla) l'induttanza della spira piccola e la mutua induttanza tra le due spire
Ovviamente è sottinteso che si trascuri l'induttanza di S1, ma la mutua induttanza M la usi eccome per S1, M non influenza invece il comportamento di S2 in quanto il testo afferma che la corrente i2 viene mantenuta costante (=alimentata da un GIC).
"Erasmus_First":
... Potremmo allora considerare l'induzione B variabile al variare di z (per z piccolo rispetto ad R) così:
|B| = $µ_0I/(2R)(1 -3 (z/R)^2 + 15/8 (z/r)^4)$.
Mi sa che ti sei perso un 2 per strada.
"Erasmus_First":
...Poi sostituiamo $z$ con $vt$ ... derivare rispetto al tempo $t$ per ottenere la tensione indotta (a prescindere dal verso), dividere per la resistenza-serie della spira piccola (per ottenere la corrente indotta) e infine inteegrare per t da 0 (quando è z = 0) a quando z vale h. .... Ma perché derivare per poi integrare?
Già, infatti per la carica, derivare e integrare non serve; se ne era accorto anche il Felici.
"Erasmus_First":
... Quindi, non serve nemmeno far uso della velocità; e il precisare che essa è costante durante il moto ... è solo noise!]. ... Si possono evitare derivazione e integrazione dato che la seconda annulla la prima.
Non ne sarei tanto sicuro, per la prima domanda sì, ma ti ricordo che c'è pure una seconda richiesta energetica.
"Erasmus_First":
... Ma allora, a cosa serve approssimare B(z) con un polinomio (come sembra invitare a fare il testo del problema, saeppur con linguaggio sibillino)?
Direi che serve proprio per semplificare l'ultima risposta.
"Erasmus_First":
... Insomma: perché dovrei trascurare il flusso della corrente indotta?
Devi farlo perché ti mancano i dati per non trascurarla
"Erasmus_First":
... D'altra parte, mi pare che 'induttanza di una spira circolare (che dipende anche dal diametro del filo, non solo da quello (medio) della spira) è qualcosa che esula dallo spirito del problema.
Proprio così, ma come vedi non ce l'hai.
"Erasmus_First":
... [L'espressione di sopra andrebbe bene se fosse precisato che la resistenza Res è molo alta, ossia chee la corrente indotta è tanto piccola da rendere trascurabile la variazione il flusso da essa creato].
Certo, ma come ti dicevo è sottinteso che il termine resistivo sia predominante, non si può procedere altrimenti.
"RenzoDF":
[quote="Erasmus_First"][quote="Erasmus_First"]... Potremmo allora considerare l'induzione B variabile al variare di z (per z piccolo rispetto ad R) così:
|B| = $µ_0I/(2R)(1 -3 (z/R)^2 + 15/8 (z/r)^4)$.
Mi sa che ti sei perso un 2 per strada.
[/quote][/quote]Sì. Il coefficiente del termine centrale non è $–3$ bensì $-3/2$. Ho editato e corretto._______
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