Dubbio esercizio fisica

[manu911]

avrei questo esercizio:
una piattaforma ruota attorno ad un asse verticale rispetto al quale ha momento di inerzia I; sulla piattaforma è praticata una scanalatura radiale, passante per il centro, dentro la quale si trova una sferetta di massa m collegata con un filo all'asse di rotazione. mentre la piattaforma ruota il filo si avvolge attorno all'asse (che ha raggio molto piccolo) e la sferetta si avvicina lentamente all'asse, quando la sferetta dista $l_0$ dall'asse, la velocita angolare è $w0$, quanto vale la velocita angolare quando la distanza dall'asse è ridotta a l0/3 (si trascurino tutti gli attriti e la velocita radiale della sferetta)
se voglio considerare la velocità radiale come devo procedere?
non considerandola l'ho svolto cosi:
prima che la sferetta si sposti, il sistema sfera-piattaforma ha un momento angolare Lo dato da
$L_o$ = $I_1$ $ω_o$
Il momento di inerzia $I$ è costituito dal contributo $(1/2)MR^2$ della piattaforma rotante di massa M e raggio R, e dal momento di inerzia $m$ $l_0^2$ della sferetta di massa m a distanza $I_o$ dall'asse di rotazione
$I_1$ = $(1/2)MR^2$ + $mI_$$^2$
Quindi il momento angolare iniziale $Lo$ è
$Lo$ = $I_1$ $ω_0$ = $[$ $(1/2)MR^2$ + $ml_0$ $^2$ $]$ $w_0$

Portandosi la sferetta ad una distanza $ $I_0$/3 $ dal centro momento di inerzia del sistema cambia e avremo
$L$ = $I_2$ $ω$ = $[$ $(1/2)MR^2$ + $m$ $($l_0$/3)$ $^2$ $]ω$

Poichè non sono intervenute azioni esterne al sistema, il momento angolare si conserva
$Lo = L$
cioè, [ $(1/2)MR^2$ + $ml_0$ $^2$ $]$ $w_0$ = [$(1/2)MR^2$ + $m$ $($I_0$/3)$ $^2$ ]$ω$
dalla quale ricaviamo la nuova velocità angolare finale del sistema ω:

$ω$ =[$(1/2)MR^2$ + $m$ $l_0$] / [$(1/2)MR^2$ + $m$ ($I_0$ /3) $^2$] $ω_0$