Dubbio esercizio campo elettrico piastra indefinita
Una carica elettrica, di densità volumetrica $\rho = 10 (nC)/m^3$, è distribuita uniformemente su una lastra indefinita di spessore $d = 30cm$. Per simmetria il campo elettrico $\vec E$ prodotto dal sistema è diretto perpendicolarmente alle superfici. Determinare:
1) l’intensità del campo, sia all'interno che all'esterno della lastra, in funzione della distanza $x$ misurata dal piano mediano della lastra;
2) la d.d.p. tra il punto $O$ e un punto $P$ sull’asse $x$ distante $d$ da $O$.
Ho provato a trovare il campo elettrico tramite il Teorema di Gauss che, in poche parole, ci dice che $E = Q/(\epsilon_0 S)$, in cui $S$ è la superficie laterale. $Q$ in questo caso è $Q = \int_{\tau} \rho d\tau$. In questo caso è come se avessi un parallelepipedo rettangolo di cui conosco solo la lunghezza di uno dei lati della base, cioè $d$. Dato che non conosco l'altezza e che l'altro lato della base è praticamente indefinito (lo dice il problema stesso) devo considerarli entrambi unitari e proseguire con le formule della superficie laterale e del volume di un parallelepipedo? Perché in quel caso avrei
$S = P * h = 2 * (d * b) * h = 2 * (d * 1) * 1 = 2d$, in cui con $h$ indico l'altezza e con $b$ indico l'altro lato della base.
$V = d * b * h = d * 1 * 1 = d$
E' giusto fare così? Perché a me sembra molto strana come cosa per procedere al calcolo del campo elettrico. Mi verrebbe che internamente alla lastra avrei $E = (\rho)/(2 \epsilon_0)$ ed esternamente $E = (\rho x_0)/(2 d \epsilon_0)$, in cui $x_0$ è una distanza maggiore di $d$.
1) l’intensità del campo, sia all'interno che all'esterno della lastra, in funzione della distanza $x$ misurata dal piano mediano della lastra;
2) la d.d.p. tra il punto $O$ e un punto $P$ sull’asse $x$ distante $d$ da $O$.
Ho provato a trovare il campo elettrico tramite il Teorema di Gauss che, in poche parole, ci dice che $E = Q/(\epsilon_0 S)$, in cui $S$ è la superficie laterale. $Q$ in questo caso è $Q = \int_{\tau} \rho d\tau$. In questo caso è come se avessi un parallelepipedo rettangolo di cui conosco solo la lunghezza di uno dei lati della base, cioè $d$. Dato che non conosco l'altezza e che l'altro lato della base è praticamente indefinito (lo dice il problema stesso) devo considerarli entrambi unitari e proseguire con le formule della superficie laterale e del volume di un parallelepipedo? Perché in quel caso avrei
$S = P * h = 2 * (d * b) * h = 2 * (d * 1) * 1 = 2d$, in cui con $h$ indico l'altezza e con $b$ indico l'altro lato della base.
$V = d * b * h = d * 1 * 1 = d$
E' giusto fare così? Perché a me sembra molto strana come cosa per procedere al calcolo del campo elettrico. Mi verrebbe che internamente alla lastra avrei $E = (\rho)/(2 \epsilon_0)$ ed esternamente $E = (\rho x_0)/(2 d \epsilon_0)$, in cui $x_0$ è una distanza maggiore di $d$.
Risposte
Il tuo discorso iniziale è corretto, ma le tue conclusioni non le capisco; per la simmetria, di certo il campo elettrico sarà nullo per x=0, avrà sola componente lungo x, positiva per x>0 e negativa per x<0, componente che sarà costante esternamente alla lastra. Per ricavare il campo interno puoi usare Gauss usando una superficie cilindrica interna alla lastra, simmetrica rispetto all'origine e con asse parallelo all'asse x, che ti permetterà di dimostrare che il campo varia linearmente nello spazio interno.
Per la differenza di potenziale ti basterà ricordare le formule elementari della superficie del rettangolo e del triangolo.
Per la differenza di potenziale ti basterà ricordare le formule elementari della superficie del rettangolo e del triangolo.
Oh! Quindi un cilindro di raggio $d/2$, giusto?
E perché dovrebbe servirmi anche quella del triangolo? Non dovrebbe essere una cosa del tipo: $\Delta V = \int_{0}^{d/2} \vec E(r) d\vec l + \int_{d/2}^{d} \vec E(r) d\vec l$?
E perché dovrebbe servirmi anche quella del triangolo? Non dovrebbe essere una cosa del tipo: $\Delta V = \int_{0}^{d/2} \vec E(r) d\vec l + \int_{d/2}^{d} \vec E(r) d\vec l$?
"Kernul":
Quindi un cilindro di raggio $d/2$, giusto?
Il cilindro o il prisma può avere una qualsivoglia base, non necessariamente circolare e ad ogni modo, in quel caso particolare, di qualsiasi raggio.
"Kernul":
E perché dovrebbe servirmi anche quella del triangolo? Non dovrebbe essere una cosa del tipo: $\Delta V = \int_{0}^{d/2} \vec E(r) d\vec l + \int_{d/2}^{d} \vec E(r) d\vec l$?
Era una battuta, per ricordarti che, vista la linearita di $E_x$, quel tuo primo integrale sarà equivalente alla superficie di un triangolo che ha per base $d/2$ e per altezza $E_x(d/2)$, e così pure per il secondo integrale, che equivarrà a calcolare l'area di un rettangolo di base $d/2$ e di altezza $E_x(d/2)$.
Ma in questo caso non meglio avere un raggio uguale a $d/2$ in modo da avere un cilindro contenuto perfettamente nella piastra?
In quel caso mi verrebbe $E_e = (\rho d)/(3 \epsilon_0)$ e $E_i = (\rho x_0^2)/(3 \epsilon_0 d)$. Sono giusti?
E quindi sarebbe $\rho/(3 \epsilon_0) [\int_{0}^{d/2} x_0^2/d dr + \int_{d/2}^{d} d dr]$?
In quel caso mi verrebbe $E_e = (\rho d)/(3 \epsilon_0)$ e $E_i = (\rho x_0^2)/(3 \epsilon_0 d)$. Sono giusti?
E quindi sarebbe $\rho/(3 \epsilon_0) [\int_{0}^{d/2} x_0^2/d dr + \int_{d/2}^{d} d dr]$?
"Kernul":
Ma in questo caso non meglio avere un raggio uguale a $d/2$ in modo da avere un cilindro contenuto perfettamente nella piastra?
Scusa ma il cilindro deve avere l'asse parallelo all'asse x non all'asse y (o z); è la sua altezza che deve fare i conti con lo spessore d della lastra, ovvero essere inferiore a d per far si che il cilindro sia interno alla stessa.
Oh! Ecco perché non mi trovavo con il tuo ragionamento. Però adesso sono un po' confuso al riguardo. Mettendolo con l'asse parallelo all'asse $x$ non conosco il raggio del cilindro. Devo considerarlo unitario a quel punto?
Ripeto, il raggio non ha nessuna importanza; aumenterà sia il volume sia le superfici di base dello stesso fattore.
Quindi la superficie per il teorema di Gauss non è quella laterale del cilindro ma sarebbe la sua base in questo caso, cioè $\pi r^2$, giusto? Ed il volume sarebbe $\pi r^2 d$, quindi verrebbe $E_e = (\rho d)/(\epsilon_0)$ e $E_i = (\rho x_0)/(\epsilon_0)$?
"Kernul":
Quindi la superficie per il teorema di Gauss non è quella laterale del cilindro ma sarebbe la sua base
Direi proprio che sia più "normale" considerarlo orientato in questo modo.
"Kernul":
... in questo caso, cioè $\pi r^2$, giusto? ...
No, visto che abbiamo ipotizzato un cilindro simmetrico rispetto all'origine continuiamo ad usare quello e di conseguenza le basi da considerare sono due, basi sulle quali abbiamo un campo elettrico normale alle stesse e orientato verso l'esterno, del volume
"Kernul":
...Ed il volume sarebbe $\pi r^2 d$ ...
Il volume, determinato per una generica x sarà di conseguenza $\pi r^2 2x$
"Kernul":
... quindi verrebbe $E_e = (\rho d)/(\epsilon_0)$ e $E_i = (\rho x_0)/(\epsilon_0)$?
Dovremo distinguere a seconda delle tre zone:
$ E_x=-\frac{\rho d}{2\epsilon_0} \text{ } $per $\text{ } x\lt -\frac{d}{2}$
$ E_x= \frac{\rho x}{ \epsilon_0} \text{ } $ per $\text{ } -\frac{d}{2} \le x \le \frac{d}{2}$
$ E_x= \frac{\rho d}{2\epsilon_0} \text{ } $ per $\text{ } x\gt \frac{d}{2}$
Perché no? Lo so che le basi sono due ma per il teorema di Gauss ho bisogno di sapere la superficie per cui il campo elettrico esce. L'ho solo scritto per quello. E poi perché $2x$ e non $x$? $x$ sarebbe la distanza dal centro, giusto? Quindi perché farne il doppio?
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