Dubbio elettromagnetismo, d.d.p
Buonasera ragazzi, svolgendo svariati esercizi mi è sorto un dubbio che non riesco a spiegarmi o forse o la mente troppo stanca per il troppo studio. La differenza di potenziale viene definita come Delta(V) = - integrale da A a B di E scalare dl (scusate la scrittura in questo modo, non padroneggio ancora il LaTeX). Il mio problema è che non riesco a capire come mai nella maggior pare degli esercizi questa formula viene applicata per calcolare il potenziale, ma senza il meno, o meglio con i limiti di integrazione scambiati. Ad esempio da infinito ad R, come capita spesso nelle distribuzioni volumetriche di carica. Potreste illuminarmi? Se non mi sono spiegato bene, ditemelo che cerco di essere più chiaro. Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
"erik.lograsso":
La differenza di potenziale viene definita come Delta(V) = - integrale da A a B di E scalare dl
Considera per es. una carica positiva.
Un' altra carica positiva di prova subisce una forza repulsiva. Il campo elettrico $vec E$ è diretto verso l'esterno.
Il potenziale di un punto A, $V(A)$, è definito come il lavoro, compiuto dal campo, nel portare una carica $q$ da A all'infinito, diviso $q$, quindi l'integrale che hai scritto, con B all'infinito. Risulta positivo, il campo compie lavoro.
Se prendi un punto B, più lontano di A dal centro, il suo potenziale, $V(B)$, definito allo stesso modo, sarà positivo, ma minore: partendo da più lontano, si ottiene meno lavoro.
La differenza di potenziale fra A e B, $V(A) - V(B)$, implica quindi un integrale da A all'infinito, positivo, meno un integrale da B all'infinito, pure positivo, ma minore, con un risultato netto positivo. In alternativa, un integrale da A all'infinito, PIU' un integrale da infinito a B, negativo, in modulo minore dell'altro. Quindi un percorso da A all'infinito, e dall'infinito a B.
Altra alternativa, dato che il campo è conservativo, e l'integrale fra due punti non dipende dal percorso, invece di fare una lunga deviazione verso l'infinito, possiamo andare da A a B direttamente, come nella tua definizione iniziale.
In conclusione. Io ti consiglierei di lasciar perdere le regole, ma di aver chiara la situazione. Spesso ci si confonde fra lavoro DEL campo e SUL campo. A volte non è evidente cosa è sottratto da cosa. Ma se pensi in termini di lavoro delle forze elettriche, il segno è chiaro.
Ho capito il tuo discorso, basta seguire il lavoro che fa il campo elettrostatico per portare una carica da un punto A ad un punto B. Sto provando ad applicarlo a due esercizi su cui ieri, al momento di calcolare la ddp mi sono bloccato, e anche ora non riesco o meglio, mi vengono risultati diversi. Posto il testo per capire meglio di cosa stiamo parlando:
Una carica $ q=1,5 \cdot 10^-8 C $ si trova nel piano mediano di una carica distribuita uniformemente con $ rho=10^-8 C/m^3 $ tra due piani paralleli indefiniti distanti 2 cm. Calcolare il campo elettrostatico in funzione di x dovuto alla carica distribuita.
E su questo non ci sono problemi. Ho trovato che all'interno: $ E(x)i=(rhox)/epsilon $ mentre all'esterno: $ E(x)e=(rhod)/(2epsilon $ . Entrambi li ho trovati applicando gauss, considerando prima un cilindro simmetrico rispetto al piano mediano con $ l>D $ e poi con lo stesso cilindro ma con $ 0
Allora per questo punto, è diciamo ovvio calcolare la d.d.p tra il punto di arrivo e il punto di partenza, e poi moltiplicarlo per il valore della carica per ottenere il Lavoro richiesto.
Considero $ DeltaV $ come $ - $ l'integrale da A a B di E scalare dl, ovviamente spezzettandolo in due, considerando che il campo all'interno è diverso da quello all'esterno, e integrando da 0 (punto dove si trova la carica, nel piano mediano) a d/2(punto sul piano esterno) e a cui sommo l'integrale del campo esterno da d/2 ad h. Probabilmente il mio errore è di considerare 0 il potenziale sul piano mediano, ma sinceramente sono un pò confuso, quindi potreste darmi una mano per comprendere meglio il concetto attraverso questo esercizio?
Una carica $ q=1,5 \cdot 10^-8 C $ si trova nel piano mediano di una carica distribuita uniformemente con $ rho=10^-8 C/m^3 $ tra due piani paralleli indefiniti distanti 2 cm. Calcolare il campo elettrostatico in funzione di x dovuto alla carica distribuita.
E su questo non ci sono problemi. Ho trovato che all'interno: $ E(x)i=(rhox)/epsilon $ mentre all'esterno: $ E(x)e=(rhod)/(2epsilon $ . Entrambi li ho trovati applicando gauss, considerando prima un cilindro simmetrico rispetto al piano mediano con $ l>D $ e poi con lo stesso cilindro ma con $ 0
Allora per questo punto, è diciamo ovvio calcolare la d.d.p tra il punto di arrivo e il punto di partenza, e poi moltiplicarlo per il valore della carica per ottenere il Lavoro richiesto.
Considero $ DeltaV $ come $ - $ l'integrale da A a B di E scalare dl, ovviamente spezzettandolo in due, considerando che il campo all'interno è diverso da quello all'esterno, e integrando da 0 (punto dove si trova la carica, nel piano mediano) a d/2(punto sul piano esterno) e a cui sommo l'integrale del campo esterno da d/2 ad h. Probabilmente il mio errore è di considerare 0 il potenziale sul piano mediano, ma sinceramente sono un pò confuso, quindi potreste darmi una mano per comprendere meglio il concetto attraverso questo esercizio?
Posta i calcoli, e il risultato che ti aspetti, e vediamo.
Due osservazioni.
1) Personalmente avrei lasciato perdere il potenziale, qui mi pare più semplice - anzi, in pratica la stessa cosa - trovare direttamente il lavoro integrando E.dl
2) non è che l'errore è dovuto a come interpreti h? Io ho capito che h è a 3cm dalla superficie esterna, non dal piano mediano, quindi il secondo integrale non è da d/2 ad h, ma da d/2 a d/2 + h (cioè, insomma, E * 3cm, il campo è costante)
Due osservazioni.
1) Personalmente avrei lasciato perdere il potenziale, qui mi pare più semplice - anzi, in pratica la stessa cosa - trovare direttamente il lavoro integrando E.dl
2) non è che l'errore è dovuto a come interpreti h? Io ho capito che h è a 3cm dalla superficie esterna, non dal piano mediano, quindi il secondo integrale non è da d/2 ad h, ma da d/2 a d/2 + h (cioè, insomma, E * 3cm, il campo è costante)
Provo di nuovo i calcoli, stando attento a questo, in realtà hai ragione sui limiti di integrazione che esponi nel punto 2. Ora ti faccio sapere
Allora ho calcolato il potenziale all'interno:
$ V(0)-V(d/2)=int_{0}^{d/2}E_{i}\cdot dl=(rhod^2)/(8epsilon)=0,056 V $
All'esterno:
$ V(d/2)-V(h)=int_{d/2}^{h+d/2}E_{e}\cdot dl=((rho)/(2epsilon)\cdot (h^2+dh)/2)=0,424 V $
Quello totale dovrebbe venire $ DeltaV=0,4V $ e sommando come vedi non mi viene lo stesso risultato, o simile. Che ne pensi? qualche errore nei calcoli?
$ V(0)-V(d/2)=int_{0}^{d/2}E_{i}\cdot dl=(rhod^2)/(8epsilon)=0,056 V $
All'esterno:
$ V(d/2)-V(h)=int_{d/2}^{h+d/2}E_{e}\cdot dl=((rho)/(2epsilon)\cdot (h^2+dh)/2)=0,424 V $
Quello totale dovrebbe venire $ DeltaV=0,4V $ e sommando come vedi non mi viene lo stesso risultato, o simile. Che ne pensi? qualche errore nei calcoli?
E' sbagliato il secondo integrale, dove non c'è dh (h è costante) ma dl. In effetti è un prodotto E*h, e viene 6 volte il valore precedente, come puoi vedere dal disegno. Il risultato è 0.056 + 6* 0.056 = 0.39 V
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Quindi essendo il campo all'esterno costante posso tranquillamente calcolarlo come Eh? E questo vale per tutti i campi costanti giusto?
In pratica il secondo integrale he ho fatto io, sarebbe stato esatto nel caso in cui il campo all'esterno non fosse costante ma dipendesse da x (come all'interno) o sbaglio?
Mah, non so. Ma perchè ti sembra importante?
Perché con questa considerazione, decidi se calcolare la ddp integrando oppure come Eh, ma mi sembra che il mio ragionamento sia corretto, se il campo non è costante, è logico che aumentando il dl, aumenta anche il valore del campo nel punto, è quindi è necessario ricorrere all'integrale, mentre al contrario se il campo è costante in ogni punto, possiamo moltiplicarlo semplicemente per h, per ottenere il valore della ddp
"erik.lograsso":
Perché con questa considerazione, decidi se calcolare la ddp integrando oppure come Eh, ma mi sembra che il mio ragionamento sia corretto, se il campo non è costante, è logico che aumentando il dl, aumenta anche il valore del campo nel punto, è quindi è necessario ricorrere all'integrale, mentre al contrario se il campo è costante in ogni punto, possiamo moltiplicarlo semplicemente per h, per ottenere il valore della ddp
Forse, però di fatto, il campo E' costante, quindi perchè risolvere UN ALTRO problema?
Poi, se invece il campo proseguisse come all'interno (in sostanza, lo spessore dello strato includesse anche h) come si vede dal disegno
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
l'integrale da 1 a 4 cm dovrebbe essere 15 volte quello fra 0 e 1, 0.84, mentre il tuo valore, 0.424 è circa la metà
Si, hai ragione, ma in quel caso l'integrale andrebbe fatto da 0 ad h+d/2, senza spezzettarlo.
Sto provando comunque ad applicare ad un secondo problema, che è diciamo molto simile al primo. Riassumendo ho un cilindro di lunghezza indefinita, di $ R=5cm $ con campo all'interno $ E(r)=(rhor)/(2epsilon) $ (che ho calcolato).
Adesso mi chiede di calcolare la ddp tra l'asse e la superficie del cilindro, ed ho impostato in questo modo:
$ V(0)-V(R)=int_{0}^{R}(rhor)/(2epsilon)dr=(rhoR^2)/(4epsilon)=450V $
Il risultato e anche l'espressione è giusta, come il libro riporta, solo che quella che io chiamo $ V(0)-V(R) $ che in teoria sarebbe $ -DeltaV $ , il libro la chiama $ DeltaV $ . Ho sbagliato qualcosa io nei calcoli?
Sto provando comunque ad applicare ad un secondo problema, che è diciamo molto simile al primo. Riassumendo ho un cilindro di lunghezza indefinita, di $ R=5cm $ con campo all'interno $ E(r)=(rhor)/(2epsilon) $ (che ho calcolato).
Adesso mi chiede di calcolare la ddp tra l'asse e la superficie del cilindro, ed ho impostato in questo modo:
$ V(0)-V(R)=int_{0}^{R}(rhor)/(2epsilon)dr=(rhoR^2)/(4epsilon)=450V $
Il risultato e anche l'espressione è giusta, come il libro riporta, solo che quella che io chiamo $ V(0)-V(R) $ che in teoria sarebbe $ -DeltaV $ , il libro la chiama $ DeltaV $ . Ho sbagliato qualcosa io nei calcoli?
Cioè per logica, capisco, che il campo è massimo a ridosso della superficie e 0 sull'asse, quindi il campo fa lavoro positivo per portare una carica dal centro sulla superficie, però analiticamente dove sta il problema?
"erik.lograsso":
quella che io chiamo $ V(0)-V(R) $ che in teoria sarebbe $ -DeltaV $ , il libro la chiama $ DeltaV $ .
Cosa vuol dire? Il potenziale in 0 è maggiore di quello in R - si ottiene più lavoro da 0 a infinito che da R a infinito - quindi la differenza è positiva.
$ DeltaV=V(B)-V(A) $ giusto? Ovvero potenziale nel punto di arrivo, meno potenziale nel punto di partenza. Oppure il $ DeltaV $ lo devo considerare come punto a potenziale maggiore meno punto a potenziale minore. Cioè è un $ Delta $, per definizione lo considererei come finale meno iniziale.
Ho capito che il campo fa un lavoro maggiore nel portare la carica da 0 a infinito rispetto al portarla da R a infinito, essendo minore la distanza, ma non riesco a capire questi segni come vanno.
Ho capito che il campo fa un lavoro maggiore nel portare la carica da 0 a infinito rispetto al portarla da R a infinito, essendo minore la distanza, ma non riesco a capire questi segni come vanno.
Hai ragione anche tu, e francamente non ti saprei dare una regola. Però direi che in ogni caso che si presenta, se ci si pensa un attimo, non ci possono essere equivoci sul segno da usare
Sto impazzendo per questa cose ti giuro ahah, comunque allora, uno si fa in testa l'esempio con il lavoro, e di conseguenza sceglie di considerare V(A)-V(B) o viceversa.. Di questo in pratica si tratta
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