Dubbio condizione necessaria di trasformazione canonica
Ciao a tutti,
mi sto preparando per l'esame di elementi di fisica teorica (per scienza dei materiali) e mi sono imbattuto in un problemino:
teorema: (per 2 gradi di libertà)
la trasformazione P=P(p,q,t) Q=Q(p,q,t) è canonica se $pdq-PdQ$ è un differenziale esatto.
esercizio:
dimostrare che la trasformazione $P = 1/2(p^2 + q^2)$ , $Q = arctan(q/p)$ è canonica.
$pdq-PdQ = pdq-1/2(p^2 + q^2)*((pdq-qdp)/(p^2+q^2)) = 1/2(pdq+qdp) = d(1/2 pq)$
per quanto riguarda i calcoli non ho problemi, il mio interrogativo però è posto sulla funzione $U=(1/2 pq)$ il cui gradiente deve essere uguale ai coefficienti della forma differenziale affinchè la forma sia esatta.
Questa funzione la devo trovare a mano, cioè facendo conti su conti e vedendo se soddisfa la suddetta forma differenziale o c'è un modo ben preciso per trovarla(nel caso in cui la trasformazione sia più complessa)?? Ad esempio calcolando l'integrale sulle singole componenti del gradiente eguagliato ai coefficienti?? Ovvero c'è qualche condizione (che non conosco) ma che devo tenere presente oppure posso proseguire operativamente con dei semplici integrali non definiti?
grazie a tutti.
mi sto preparando per l'esame di elementi di fisica teorica (per scienza dei materiali) e mi sono imbattuto in un problemino:
teorema: (per 2 gradi di libertà)
la trasformazione P=P(p,q,t) Q=Q(p,q,t) è canonica se $pdq-PdQ$ è un differenziale esatto.
esercizio:
dimostrare che la trasformazione $P = 1/2(p^2 + q^2)$ , $Q = arctan(q/p)$ è canonica.
$pdq-PdQ = pdq-1/2(p^2 + q^2)*((pdq-qdp)/(p^2+q^2)) = 1/2(pdq+qdp) = d(1/2 pq)$
per quanto riguarda i calcoli non ho problemi, il mio interrogativo però è posto sulla funzione $U=(1/2 pq)$ il cui gradiente deve essere uguale ai coefficienti della forma differenziale affinchè la forma sia esatta.
Questa funzione la devo trovare a mano, cioè facendo conti su conti e vedendo se soddisfa la suddetta forma differenziale o c'è un modo ben preciso per trovarla(nel caso in cui la trasformazione sia più complessa)?? Ad esempio calcolando l'integrale sulle singole componenti del gradiente eguagliato ai coefficienti?? Ovvero c'è qualche condizione (che non conosco) ma che devo tenere presente oppure posso proseguire operativamente con dei semplici integrali non definiti?
grazie a tutti.
Risposte
"ConteAchif":
Ad esempio calcolando l'integrale sulle singole componenti del gradiente eguagliato ai coefficienti??
Credo che sia proprio questa la strada da seguire, che in fondo è quella che è stata seguita nell'esercizio da te postato
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