Dubbio concettuale sulla termodinamica
Ciao ragazzi, trovo una difficoltà in un concetto. Studio la termodinamica, e devo dimostrare che la capacità termica molare a pressione costante è uguale a quella a volume costante più R.
$C_p=C_v+R$
Il libro prima trova $C_v*Deltat=DeltaU$ (1)(dal confonto dei secondi membri delle equazioni della legge della calorimetria e il primo principio della termodinamica).
Quindi procedo analogamente per la pressione costante
$Q=L+DeltaU$
$Q=C_p*Deltat$
Confronto:
$L+DeltaU=C_p*Deltat$
Poichè $L=p*DeltaV=nRDeltat$
ottengo
$nRDeltat+DeltaU=C_p*Deltat$
Poichè la (1) mi dice che $C_v*Deltat=DeltaU$ (2)
Sostituendo avrò
$nRDeltat+C_v*Deltat=C_p*Deltat$
Mi libero dei $Deltat$ e dimostro la legge.
Il fatto è questo: PERCHE' è VALIDO SOSTITUIRE NELL'EQUAZIONE IN CUI TRATTO UN CASO A PRESSIONE COSTANTE E VOLUME VARIABILE, UN DATO RICAVATO DA UNA SITUAZIONE A VOLUME COSTANTE?
CIOE', NON MI TORNA PERCHE' LE DUE VARIAZIONI DI ENERGIE INTERNE COINCIDONO (DATO CHE LE VADO A SOSTITUIRE COME FOSSERO UGUALI): IN UN CASO (VOLUME COSTANTE) DIAMO UN CERTO CALORE Q E OTTENIAMO UNA VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA, MA SENZA LAVORO PERCHE' IL VOLUME E' COSTANTE, E COME E' POSSIBILE CHE, DANDO LA STESSA QUANTITà DI CALORE A UN SISTEMA CHE CON QUEL CALORE COMPIE ANCHE LAVORO, LA VARIAZIONE DI ENERGIA CINETICA (INTERNA) SIA UGUALE?
grazie infinite a chi mi aiuterà, ciao a tutti.
$C_p=C_v+R$
Il libro prima trova $C_v*Deltat=DeltaU$ (1)(dal confonto dei secondi membri delle equazioni della legge della calorimetria e il primo principio della termodinamica).
Quindi procedo analogamente per la pressione costante
$Q=L+DeltaU$
$Q=C_p*Deltat$
Confronto:
$L+DeltaU=C_p*Deltat$
Poichè $L=p*DeltaV=nRDeltat$
ottengo
$nRDeltat+DeltaU=C_p*Deltat$
Poichè la (1) mi dice che $C_v*Deltat=DeltaU$ (2)
Sostituendo avrò
$nRDeltat+C_v*Deltat=C_p*Deltat$
Mi libero dei $Deltat$ e dimostro la legge.
Il fatto è questo: PERCHE' è VALIDO SOSTITUIRE NELL'EQUAZIONE IN CUI TRATTO UN CASO A PRESSIONE COSTANTE E VOLUME VARIABILE, UN DATO RICAVATO DA UNA SITUAZIONE A VOLUME COSTANTE?
CIOE', NON MI TORNA PERCHE' LE DUE VARIAZIONI DI ENERGIE INTERNE COINCIDONO (DATO CHE LE VADO A SOSTITUIRE COME FOSSERO UGUALI): IN UN CASO (VOLUME COSTANTE) DIAMO UN CERTO CALORE Q E OTTENIAMO UNA VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA, MA SENZA LAVORO PERCHE' IL VOLUME E' COSTANTE, E COME E' POSSIBILE CHE, DANDO LA STESSA QUANTITà DI CALORE A UN SISTEMA CHE CON QUEL CALORE COMPIE ANCHE LAVORO, LA VARIAZIONE DI ENERGIA CINETICA (INTERNA) SIA UGUALE?
grazie infinite a chi mi aiuterà, ciao a tutti.
Risposte
mah, in realtà si tratta di calcolare il differenziale di un qualche potenziale termodinamico opportuno, cioè vedere il contributo dato dal volume costante (derivata rispetto alla pressione) e quello dato dalla pressione costante (derivata rispetto al volume).
Ma a quanto vedo, tu non conosci la formulazione differenziale della termodinamica.
E' un guaio
Pensa comunque di considerare entrambi i contributi
Ma a quanto vedo, tu non conosci la formulazione differenziale della termodinamica.
E' un guaio
Pensa comunque di considerare entrambi i contributi
+Steven+
mi pare di poter interpretare il tuo dubbio con la seguente domanda: perché l'energia interna dei gas perfetti è espressa come $n*c_v*T$?
Una risposta comprensibile, secondo me, è la seguente:
1) l'energia interna è una funzione di stato, come conseguenza del primo principio. Non so se questo punto ti è chiaro, quindi te lo rinfresco. Il primo principio dice che se un sistema compie un ciclo termodinamico (compie una serie di trasformazioni che lo riconducono allo stato di partenza) allora il rapporto tra calore scambiato e lavoro compiuto nel corso del ciclo sono in rapporto costante, uguale all'equivalente meccanico della caloria. Questo accade per un qualunque ciclo. Ciò vuol dire che, tradotti in unità omogenee, la loro differenza in corrispondenza di ogni ciclo è sempre nulla. Questo vuol dire che la differenza tra calore scambiato e lavoro svolto è una funzione di stato, cioè dipende solo dallo stato del sistema, tramite le variabili che lo caratterizzano. A questa funzione si dà il nome di energia interna;
2) Per calcolare questa funzione, posso, per quanto detto, scegliere in maniera arbitraria una qualunque trasformazione, della quale so calcolare facimente calore e lavoro. Allora prendo, per esempio, una trasformazione isocora reversibile, perchè so già che il lavoro è nullo. Vedo allora che la variazione di energia interna è uguale al calore scambiato a volume costante, che è proporzionale al $c_v$. Cosa sarebbe successo se avessi considerato una trasformazione diversa, quale per esempio un'isobara? Nulla. Semplicemente avrei dovuto calcolare oltre al calore (proporzionale al $c_p$), anche il lavoro, come $p*DeltaV$. Avrei quindi dedotto che, per una mole di gas perfetto, era $DeltaU=c_p*DeltaT-p*DeltaV$. Ma poiché per una mole di tale gas so anche che $p*DeltaV=R*DeltaT$, avrei dedotto che $DeltaU=c_p*DeltaT-R*DeltaT$, nella quale mettendo in evidenza $DeltaT$, avrei ottenuto che $DeltaU=(c_p-R)DeltaT$. Poiché già sapevo che sia $c_p$ sia $R$ sono costanti per il gas perfetto, avrei dedotto comunque che l'energia interna è proporzionale alla temperatura, tramite la nuova costante $c_p-R$. La prima volta che mi imbattevo nel calcolo di una isovolumica, avrei scoperto che tale costante $c_p-R$ è proprio uguale a $c_v$.
In sintesi, il concetto fondamentale è che U è una funzione di stato, e questo è conseguenza del primo principio della termodinamica.
Nota che per capire queste cose non ti serve la conoscenza del calcolo differenziale perché nelle considerazioni fatte non abbiamo supposto nulla riguardo l'entità degli incrementi delle variabili di stato. Quindi le considerazioni rimangono vere anche se immaginiamo che tali variazioni siano piccole a piacere e che, al limite, tendano a zero. Vedi infatti che dalle relazioni considerate, si deduce che il rapporto tra variazione di energia interna e variazione di temperatura è sempre costante, e pari al $c_v$.
mi pare di poter interpretare il tuo dubbio con la seguente domanda: perché l'energia interna dei gas perfetti è espressa come $n*c_v*T$?
Una risposta comprensibile, secondo me, è la seguente:
1) l'energia interna è una funzione di stato, come conseguenza del primo principio. Non so se questo punto ti è chiaro, quindi te lo rinfresco. Il primo principio dice che se un sistema compie un ciclo termodinamico (compie una serie di trasformazioni che lo riconducono allo stato di partenza) allora il rapporto tra calore scambiato e lavoro compiuto nel corso del ciclo sono in rapporto costante, uguale all'equivalente meccanico della caloria. Questo accade per un qualunque ciclo. Ciò vuol dire che, tradotti in unità omogenee, la loro differenza in corrispondenza di ogni ciclo è sempre nulla. Questo vuol dire che la differenza tra calore scambiato e lavoro svolto è una funzione di stato, cioè dipende solo dallo stato del sistema, tramite le variabili che lo caratterizzano. A questa funzione si dà il nome di energia interna;
2) Per calcolare questa funzione, posso, per quanto detto, scegliere in maniera arbitraria una qualunque trasformazione, della quale so calcolare facimente calore e lavoro. Allora prendo, per esempio, una trasformazione isocora reversibile, perchè so già che il lavoro è nullo. Vedo allora che la variazione di energia interna è uguale al calore scambiato a volume costante, che è proporzionale al $c_v$. Cosa sarebbe successo se avessi considerato una trasformazione diversa, quale per esempio un'isobara? Nulla. Semplicemente avrei dovuto calcolare oltre al calore (proporzionale al $c_p$), anche il lavoro, come $p*DeltaV$. Avrei quindi dedotto che, per una mole di gas perfetto, era $DeltaU=c_p*DeltaT-p*DeltaV$. Ma poiché per una mole di tale gas so anche che $p*DeltaV=R*DeltaT$, avrei dedotto che $DeltaU=c_p*DeltaT-R*DeltaT$, nella quale mettendo in evidenza $DeltaT$, avrei ottenuto che $DeltaU=(c_p-R)DeltaT$. Poiché già sapevo che sia $c_p$ sia $R$ sono costanti per il gas perfetto, avrei dedotto comunque che l'energia interna è proporzionale alla temperatura, tramite la nuova costante $c_p-R$. La prima volta che mi imbattevo nel calcolo di una isovolumica, avrei scoperto che tale costante $c_p-R$ è proprio uguale a $c_v$.
In sintesi, il concetto fondamentale è che U è una funzione di stato, e questo è conseguenza del primo principio della termodinamica.
Nota che per capire queste cose non ti serve la conoscenza del calcolo differenziale perché nelle considerazioni fatte non abbiamo supposto nulla riguardo l'entità degli incrementi delle variabili di stato. Quindi le considerazioni rimangono vere anche se immaginiamo che tali variazioni siano piccole a piacere e che, al limite, tendano a zero. Vedi infatti che dalle relazioni considerate, si deduce che il rapporto tra variazione di energia interna e variazione di temperatura è sempre costante, e pari al $c_v$.
kinder
ti ringrazio molto per il tempo che mi hai dedicato.
Proprio stamane ho parlato in privato al professore di questi miei dubbi, ora posso dire di avere le idee più chiare grazie all'aiuto tuo e suo.
L'insegnante ci ha illustrato anche la seconda esperienza di Joule, per darci ulteriore conferma che l'energia interna è funzione della temperatura.
Ti saluto, alla prossima.
ti ringrazio molto per il tempo che mi hai dedicato.
Proprio stamane ho parlato in privato al professore di questi miei dubbi, ora posso dire di avere le idee più chiare grazie all'aiuto tuo e suo.
L'insegnante ci ha illustrato anche la seconda esperienza di Joule, per darci ulteriore conferma che l'energia interna è funzione della temperatura.
Ti saluto, alla prossima.
Ciao +Steven+ 
Interessante osservazione la tua e molto chiara e articolata la risposta di Kinder. A questo punto sarei curioso di sapere la risposta del tuo prof.Provo a indovinare
Hai ragione ad osservare che con la stessa quantità di calore la variazione di energia interna non può essere, nei due processi, la stessa! Ma non credo che il libro affermi questo.
INFATTI UGUAGLIA LE VARIAZIONI DI ENERGIA INTERNA.
Fare questo è sempre possibile (ed anche facile da realizzare visto che bisogna calcolare il calore e il lavoro scambiato con l'ambiente) MA ATTENDERSI CHE LA VARIAZIONE DI TEMPERATURA NEI DUE PROCESSI SIA LA STESSA NON E'AFFATTO SCONTATO.
E non credo neppure basti dire che la variazione di temperatura è la stessa perchè l'energia interna è una funzione di stato,bisogna aggiungere il fatto fisicamente significativo che per un GAS PERFETTO L'ENERGIA INTERNA DIPENDE SOLO DALLA TEMPERATURA cioè U=U(T),
ovvero lungo un' isoterma non vi è variazione di energia interna (sperimentalmente si osserva che tutto il calore fornito viene restituito come lavoro (Q=L) ) E Questo perchè in un gass perfetto non vi sono energie potenziali di interazione fra le molecole ma solo energie cinetiche.
In conclusione per ricavare rigorosamente (sperimentalmente) la legge di Mayer si deve considerare la trasformazione isovolumica che porta (P,V,T) in (P+DP,V,T+DT) e la trasformazione ( isobara+isoterma ) (P,V,T) in (P,V+DV,T+DT) in (P,V,T+DT).
Ciao!
Interessante osservazione la tua e molto chiara e articolata la risposta di Kinder. A questo punto sarei curioso di sapere la risposta del tuo prof.Provo a indovinare
Hai ragione ad osservare che con la stessa quantità di calore la variazione di energia interna non può essere, nei due processi, la stessa! Ma non credo che il libro affermi questo.
INFATTI UGUAGLIA LE VARIAZIONI DI ENERGIA INTERNA.
Fare questo è sempre possibile (ed anche facile da realizzare visto che bisogna calcolare il calore e il lavoro scambiato con l'ambiente) MA ATTENDERSI CHE LA VARIAZIONE DI TEMPERATURA NEI DUE PROCESSI SIA LA STESSA NON E'AFFATTO SCONTATO.
E non credo neppure basti dire che la variazione di temperatura è la stessa perchè l'energia interna è una funzione di stato,bisogna aggiungere il fatto fisicamente significativo che per un GAS PERFETTO L'ENERGIA INTERNA DIPENDE SOLO DALLA TEMPERATURA cioè U=U(T),
ovvero lungo un' isoterma non vi è variazione di energia interna (sperimentalmente si osserva che tutto il calore fornito viene restituito come lavoro (Q=L) ) E Questo perchè in un gass perfetto non vi sono energie potenziali di interazione fra le molecole ma solo energie cinetiche.
In conclusione per ricavare rigorosamente (sperimentalmente) la legge di Mayer si deve considerare la trasformazione isovolumica che porta (P,V,T) in (P+DP,V,T+DT) e la trasformazione ( isobara+isoterma ) (P,V,T) in (P,V+DV,T+DT) in (P,V,T+DT).
Ciao!
Ti dico subito dove era il problema: ho sbagliato, come mi ha fatto notare il professore, a considerare il calore fornito nella situazione isocora uguale a quello nella situazione isobara.
Insomma, le variazioni di temperatura sono uguali, ma il calore fornito è diverso... non ci avevo pensato all'inizio perchè di solito prendo sempre bene i miei appunti, prbabilmente mi sarò dimenticato qualche pedice ($Q_p Q_v$) o il professore non li ha scritti alla lavagna.
Comunque, non mi trovo con una cosa da te detta... se ti aspettavi che la variazione di energia interna fosse uguale nei due casi, perchè hai affermato che la variazione di temperatura non deve necessariamente essere uguale? l'energia interna è in funzione della temperatura, come hai detto tu... scusa se sono un po' di coccio a capire, ciao.
Insomma, le variazioni di temperatura sono uguali, ma il calore fornito è diverso... non ci avevo pensato all'inizio perchè di solito prendo sempre bene i miei appunti, prbabilmente mi sarò dimenticato qualche pedice ($Q_p Q_v$) o il professore non li ha scritti alla lavagna.
Comunque, non mi trovo con una cosa da te detta... se ti aspettavi che la variazione di energia interna fosse uguale nei due casi, perchè hai affermato che la variazione di temperatura non deve necessariamente essere uguale? l'energia interna è in funzione della temperatura, come hai detto tu... scusa se sono un po' di coccio a capire, ciao.
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