Dubbio cinematica vettoriale

[nico97it]

Ho un dubbio per quanto riguarda le componenti del vettore velocità e del vettore accelerazione.

$ vec(v) =(partialr)/(partial t) ur + r(partialO/ )/(partialt) uO/ $

$ vec(a) =(partialv)/(partial t)uT +v(partialphi )/(partialt)u N $

Gli angoli $ O/ $ e $ phi $ fanno riferimento a due angoli diversi? Il primo, quello della velocità, all'angolo spazzato dal raggio vettore mentre il secondo, quello dell'accelerazione, all'angolo spazzato dal raggio di curvatura nella circonferenza osculatrice?

[nico97it]

Nessuno?

[Shackle]

Sei sicuro di ciò che hai scritto? Da dove viene fuori il secondo angolo ? Guarda qui:

https://www.****.it/forum/viva-la-fi ... olari.html

La formula corretta è:

$veca = (ddotr-rdot\theta^2)\hatu_r + (2dotrdot\theta + rddot \theta)\hatu_\theta$

[nico97it]

Si, sono sicurissimo. E' tratto dal mio libro di fisica1 ("Elementi di Fisica", Mazzoldi). Le componenti dell'accelerazione derivano dalla derivazione del vettore velocità, scritto come $ vec(v) =v *vec(uT) $ dove $ vec(uT) $ è il versore tangente alla traiettoria.

$ vec(a) =(partial(v*vec(uT)) )/(partialt) =(partialv)/(partial t)*vec(uT) +v*(partialvec(uT) )/(partialt)=(partialv)/(partial t)*vec(uT) +v*(partialphi )/(partial t)*vec(uN) $

Il mio dubbio è, l'angolo che compare nella componente dell'accelerazione è diverso da quello che compare nella componente della velocità? Sembrerebbe essere di si, ma chiedo a voi il chiarimento.

[Shackle]

Allora, ti faccio osservare che nel primo post hai scritto la velocità in coordinate polari; se derivi rispetto al tempo tale velocità, ottieni l’accelerazione ancora in coordinate polari; è quella formula un po’ complicata che ho riportato. Cioè, la traiettoria (piana) è riferita ad un sistema di coordinate polari anziché cartesiane.
Invece, quella che hai scritto è l’accelerazione in “forma intrinseca “ , cioè riferita alla terna intrinseca formata dai tre versori tangente, normale principale, binormale. In particolare, la componente secondo la binormale è nulla, la curva è piana e non ha componenti di velocità e di accelerazione secondo $hatb$ .
Adesso, potrei sbagliarmi, ma di primo acchito credo che l ‘angolo polare non abbia nulla a che vedere con l'angolo che dici tu: devo fare qualche ricerca e poi sarò più preciso; se nel frattempo non arriva un’altra risposta.

[nico97it]

Ti ringrazio per la risposta. Si hai ragione. Infatti credo che l'angolo che compare nella velocità, sia quello formato dal raggio vettore con l'asse x mentre quello che compare nell'accelerazione sia quello relativo all'angolo spazzato nella circonferenza osculatrice che approssima la traiettoria nello spostamento infinitesimo. Questi due angoli dovrebbero coincidere solamente nel caso in cui la traiettoria sia una circonferenza, o sbaglio? Purtroppo il libro non mette in evidenzia questa differenza tra le due coordinate che forse ho notato.

[Shackle]

Questi due angoli dovrebbero coincidere solamente nel caso in cui la traiettoria sia una circonferenza, o sbaglio?

Si, ma solo nel caso che il centro della circonferenza sia il polo assunto per le coordinate polari.

La risposta , in generale, è più semplice del previsto : le coordinate polari dei punti della traiettoria dipendono strettamente dal polo e dall'asse polare assunto . SE cambio polo e asse polare , ho altre componenti "polari" di velocità e accelerazione , come nel caso delle coordinate cartesiane, fermo restando che le quantità vettoriali non cambiano. Invece gli elementi intrinseci della traiettoria, essenzialmente i cerchi osculatori e quindi i raggi di curvatura, non cambiano, proprio perchè si tratta di elementi intrinseci, che non dipendono dalle coordinate . Quindi hai ragione.

[nico97it]

Perfetto, sei stato gentilissimo, grazie per avermi tolto il dubbio.