Dubbio campo elettrico filo finito
Ciao a tutti, scrivo per fugare un dubbio di natura concettuale.
Il problema è il classico calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione uniforme lineare di carica \( \lambda \) di un filo concorde all'asse \(x\) lungo \(2l\) nei punti dell'asse del medesimo (asse \(y\)) (tutto senza utilizzo del teorema di Gauss).
Mentre la soluzione proposta dal libro è
\( \overrightarrow{E}(0,y)= \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{\theta_1} cos \theta d \theta = \frac{\lambda l \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y \sqrt{y^2+l^2}} = \frac{q \underline{u}_y}{4 \pi \epsilon_0 y \sqrt{y^2+l^2}} \) , con \( \theta_1 = \arcsin{\frac{l}{\sqrt{y^2+l^2}}} \),
io stavo cercando di impostare l'integrale in maniera differente, cioè così:
\( \overrightarrow{E}(0,y)= \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{x^2+y^2} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{y^2((x/y)^2+1)} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y^2} \int_0^{l} \frac{1}{(x/y)^2+1} dx = \)
\( = \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{1/y}{(x/y)^2+1} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} arctg(l/y) \).
I due risultati non sono ovviamente uguali, dove sbaglio a livello concettuale ?
Il problema è il classico calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione uniforme lineare di carica \( \lambda \) di un filo concorde all'asse \(x\) lungo \(2l\) nei punti dell'asse del medesimo (asse \(y\)) (tutto senza utilizzo del teorema di Gauss).
Mentre la soluzione proposta dal libro è
\( \overrightarrow{E}(0,y)= \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{\theta_1} cos \theta d \theta = \frac{\lambda l \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y \sqrt{y^2+l^2}} = \frac{q \underline{u}_y}{4 \pi \epsilon_0 y \sqrt{y^2+l^2}} \) , con \( \theta_1 = \arcsin{\frac{l}{\sqrt{y^2+l^2}}} \),
io stavo cercando di impostare l'integrale in maniera differente, cioè così:
\( \overrightarrow{E}(0,y)= \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{x^2+y^2} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{y^2((x/y)^2+1)} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y^2} \int_0^{l} \frac{1}{(x/y)^2+1} dx = \)
\( = \frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{1/y}{(x/y)^2+1} dx =
\frac{\lambda \underline{u}_y}{2 \pi \epsilon_0 y} arctg(l/y) \).
I due risultati non sono ovviamente uguali, dove sbaglio a livello concettuale ?
Risposte
Scrivi il tuo integrale come se $vecE$ fosse diretto come $y$, invece non è così, e devi considerare solo la componente $y$ del campo, ossia ogni $vec (dE)$ lo devi moltiplicare per il coseno dell'angolo, cioè per $y/sqrt(x^2+y^2)$
Grazie della risposta, tutto chiarissimo.
Infatti
\( \overrightarrow{E}(0,y) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} dx =
= \frac{ \lambda y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}} dx \)
Facendo un cambio di variabile \( x=ysenht, dx=ycoshtdt \), si ha
\( \frac{ \lambda y^2}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{(y^2(senh^2t+1))^{3/2}} cosht dt = \)
\(= \frac{ \lambda y^2}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{y^3(senh^2t+1)^{3/2}} cosht dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{cosht}{cosh^3t} dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{1}{cosh^2t} dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{senht}{cosht}]_A^{B} = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{senh(arcsenh(x/y))}{cosh(arcsenh(x/y))}]_0^{l} = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{x/y}{\sqrt{1 + senh^2(arcsenh(x/y))}}]_0^l = \)
\( =\frac{ \lambda l}{2 \pi \epsilon_0 y \sqrt{l^2+y^2}} \),
che è esatto. Certo, in effetti più semplice il metodo del libro...
Infatti
\( \overrightarrow{E}(0,y) = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} dx =
= \frac{ \lambda y}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}} dx \)
Facendo un cambio di variabile \( x=ysenht, dx=ycoshtdt \), si ha
\( \frac{ \lambda y^2}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{(y^2(senh^2t+1))^{3/2}} cosht dt = \)
\(= \frac{ \lambda y^2}{2 \pi \epsilon_0} \int_0^{l} \frac{1}{y^3(senh^2t+1)^{3/2}} cosht dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{cosht}{cosh^3t} dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} \int_0^{l} \frac{1}{cosh^2t} dt = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{senht}{cosht}]_A^{B} = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{senh(arcsenh(x/y))}{cosh(arcsenh(x/y))}]_0^{l} = \)
\( =\frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_0 y} [\frac{x/y}{\sqrt{1 + senh^2(arcsenh(x/y))}}]_0^l = \)
\( =\frac{ \lambda l}{2 \pi \epsilon_0 y \sqrt{l^2+y^2}} \),
che è esatto. Certo, in effetti più semplice il metodo del libro...
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