Dubbio calcolo del flusso del campo elettrostatico
Buongiorno a tutti, volevo proporvi un dubbio che mi è sorto riguardo ad una serie di esercizi sul flusso e il teorema di Gauss di un campo elettrostatico.
In questo caso il campo sta variando con componenti su x, y, z quindi nel momento in cui vado a svolgere il calcolo del flusso ho pensato di "scomporre" quel parallelepipedo in diversi piani (piano xy, xz, yz) e calcolare il flusso su questi, per poi sommare tutti i risultati.
Preciso subito che il risultato è concorde al mio, ma non sono sicuro del procedimento che ho applicato e quindi mi affido alla vostra disponibilità.
Dunque ho fatto così:
PIANO XY) Ho preso solo le prime due componenti del vettore campo: $int_(0)^(c) int_(0)^(a) (5x-4y) dx dy$
PIANO XZ) Ho preso qui la prima e la terza componente del vettore campo: $int_(0)^(b) int_(0)^(a) (5x+3z) dx dz$
PIANO YZ) Ho preso infine solo le ultime due componenti del vettore campo: $int_(0)^(c) int_(0)^(b) (3z-4y) dy dz$
Il risultato totale è stato: $5/2a^2-2b^2+5/2a^2+3/2c^2-2b^2+3/2c^2$ ovvero $8*10^(3)Vm$.
Invece il risultato del libro è $4*10^5abc$ = $1,2*10^(3)Vm$.
Inoltre non capisco proprio come faccia dimensionalmente ad essere un risultato concorde alle unità di misura effettive, essendo che il flusso si misura in $Vm$ e qui otterrei, con $abc$, $Vm^2$.
Grazie in anticipo a tutti, posto anche lo screen del problema
In questo caso il campo sta variando con componenti su x, y, z quindi nel momento in cui vado a svolgere il calcolo del flusso ho pensato di "scomporre" quel parallelepipedo in diversi piani (piano xy, xz, yz) e calcolare il flusso su questi, per poi sommare tutti i risultati.
Preciso subito che il risultato è concorde al mio, ma non sono sicuro del procedimento che ho applicato e quindi mi affido alla vostra disponibilità.
Dunque ho fatto così:
PIANO XY) Ho preso solo le prime due componenti del vettore campo: $int_(0)^(c) int_(0)^(a) (5x-4y) dx dy$
PIANO XZ) Ho preso qui la prima e la terza componente del vettore campo: $int_(0)^(b) int_(0)^(a) (5x+3z) dx dz$
PIANO YZ) Ho preso infine solo le ultime due componenti del vettore campo: $int_(0)^(c) int_(0)^(b) (3z-4y) dy dz$
Il risultato totale è stato: $5/2a^2-2b^2+5/2a^2+3/2c^2-2b^2+3/2c^2$ ovvero $8*10^(3)Vm$.
Invece il risultato del libro è $4*10^5abc$ = $1,2*10^(3)Vm$.
Inoltre non capisco proprio come faccia dimensionalmente ad essere un risultato concorde alle unità di misura effettive, essendo che il flusso si misura in $Vm$ e qui otterrei, con $abc$, $Vm^2$.
Grazie in anticipo a tutti, posto anche lo screen del problema
Risposte
Hai sbagliato.
Sulla faccia xy agisce solo la componente z del campo, le altre sono parallele alla faccia.
E così dicasi per la faccia xz dove agisce solo il campo y e la faccia yz dove agisce solo la componente x.
Il campo ha dimensione V/m che moltiplicato per un'area dà Vm.
Sulla faccia xy agisce solo la componente z del campo, le altre sono parallele alla faccia.
E così dicasi per la faccia xz dove agisce solo il campo y e la faccia yz dove agisce solo la componente x.
Il campo ha dimensione V/m che moltiplicato per un'area dà Vm.
Ciao.
Sbagli nell'impostare il calcolo del flusso.
Per esempio, attaverso le due facce parallele al piano $(y,z)$ hai:
- attraverso la faccia nel piano $x=a$ hai: versore normale il versore $vec(u)_x$, quindi il prodotto scalare sui punti di tale superficie dà: $vec(E)*vec(u)_N=5a$, che integrato tra $0$ e $b$ rispetto a $dy$ e tra $0$ e $c$ in $dz$ ti dà $5abc$ (a meno del fattore $10^5 V/m$;
- attraverso la faccia contenuta nel piano $x=0$ (dove il versore normale è $-vec(u)_x$) il campo è nullo quindi è nullo il flusso.
Con analoghi calcoli trovi un flusso pari a $-4abc$ attraverso le facce parallele al piano $(x,z)$ e $3abc$ attraverso le altre due.
Sulla questione dimensionale ho la sensazione, ma se qualcuno mi dà conferma sono contento, che il testo commetta un piccolo abuso: se le coordinate sono dimensionate in metri, allora il campo dovrebbe essere seguito da un fattore dimensionato in $V "/" m^2$, viceversa risulterebbe (supponendo $x,y,z$ date in metri) espresso in $V$. Il che mi porta a pensare che le dimensioni del risultato finale siano da adattare ad hoc in modo che siano corrette. Cioè $V*m$.
EDIT: scusa Falco5x per la sovrapposizione...
Sbagli nell'impostare il calcolo del flusso.
Per esempio, attaverso le due facce parallele al piano $(y,z)$ hai:
- attraverso la faccia nel piano $x=a$ hai: versore normale il versore $vec(u)_x$, quindi il prodotto scalare sui punti di tale superficie dà: $vec(E)*vec(u)_N=5a$, che integrato tra $0$ e $b$ rispetto a $dy$ e tra $0$ e $c$ in $dz$ ti dà $5abc$ (a meno del fattore $10^5 V/m$;
- attraverso la faccia contenuta nel piano $x=0$ (dove il versore normale è $-vec(u)_x$) il campo è nullo quindi è nullo il flusso.
Con analoghi calcoli trovi un flusso pari a $-4abc$ attraverso le facce parallele al piano $(x,z)$ e $3abc$ attraverso le altre due.
Sulla questione dimensionale ho la sensazione, ma se qualcuno mi dà conferma sono contento, che il testo commetta un piccolo abuso: se le coordinate sono dimensionate in metri, allora il campo dovrebbe essere seguito da un fattore dimensionato in $V "/" m^2$, viceversa risulterebbe (supponendo $x,y,z$ date in metri) espresso in $V$. Il che mi porta a pensare che le dimensioni del risultato finale siano da adattare ad hoc in modo che siano corrette. Cioè $V*m$.
EDIT: scusa Falco5x per la sovrapposizione...
Perfetto, grazie mille!
"Palliit":
Sulla questione dimensionale ho la sensazione, ma se qualcuno mi dà conferma sono contento, che il testo commetta un piccolo abuso: se le coordinate sono dimensionate in metri, allora il campo dovrebbe essere seguito da un fattore dimensionato in $V "/" m^2$,
Hai perfettamente ragione, ma ho notato spesso che questo genere di esercizi che mettono grandezze fisiche in funzione delle coordinate non si preoccupano troppo del problema dimensionale.
Però quando ad esempio pone la componente x del campo uguale a 5x, si potrebbe semplicemente giustificare la cosa dicendo che quel 5 nessuno ha affermato che si tratti di un numero puro, potrebbe benissimo essere una costante di proporzionalità dimensionata $V/m^2$. Sorvolando su questo dettaglio nessuno dubita che il campo alla fine debba avere dimensione $V/m$, dunque a seguito di queste considerazioni l'abuso a mio parere può essere perdonato.
Premesso che è (implicitamente) evidente che quei coefficienti non sono adimensionali, per quanto riguarda il calcolo del flusso non era necessario scomodare nessun integrale in quanto bastava notare che la divergenza di quel campo è costante in tutto lo spazio e di conseguenza
$\Phi=\tau \nabla \vec E =4 \cdot 10^5 abc$
e altresì è superflua anche l'ipotesi del punto c) del testo .
$\Phi=\tau \nabla \vec E =4 \cdot 10^5 abc$
e altresì è superflua anche l'ipotesi del punto c) del testo .
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