Dubbio approccio Euleriano e Lagrangiano [fluidodinamica]
Salve, dunque in genere in fluidodinamica è possibile seguire due criteri di analisi, ovvero l'approccio Lagrangiano e l'approccio Euleriano.
Nel primo si segue il moto di una generica particelle di fluido in moto la cui generica grandezza (termodinamica o cinematica) associata ad essa è una funzione delle variabili Lagrangiane, cioè del tempo [tex]t[/tex] e delle coordinate [tex]x_0, y_0, z_0[/tex].
Quest'ultime, riferite alla generica particella nell'istante iniziale, vengono introdotte per identificare univocamente la perticella stessa. Dunque possiamo dire che la grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x_0, y_0, z_0, t)[/tex], cioè una funzione di più variabili.
Se volessi esprimere la variazione nel tempo di [tex]f[/tex] posso scrivere che:
[tex]\frac{d\mathbf{f}}{dt} = \frac{d\mathbf{f (x_0, y_0, z_0, t)}}{dt}|(x_0,y_0, z_0 = cost)[/tex], cioè posso esprimere la derivata come una derivata totale nel tempo, considerando le coordinate iniziali costanti (cioè dei parametri) per assicurare l'identità della particella.
Secondo l'approccio Euleriano non si segue più la particella ma si fissa l'attenzione su una porzione di spazio chiamato volume di controllo. le variabili Euleriane sono dunque le coordinate [tex]x, y, z[/tex] di ogni punto dello spazio di controllo ed il tempo [tex]t[/tex]. Quindi secondo tale approccio le grandeze termodinamiche e cinematiche vengono definite in funzione dello spazio e del tempo all'interno del volume di controllo. Quindi la generica grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x, y, z, t)[/tex], anche in questo caso una funzione di più variabili. La derivata locale nel tempo di tale grandezza A nel punto generico [tex]P (x,y,z)[/tex] non sarà altro che la derivata parziale di tale grandezza rispetto al tempo, tenendo fissi x, y e z cioè: [tex]\frac{\partial \mathbf{f(x, y, z, t)}}{\partial t}|(x,y,z = cost)[/tex].
Ora mi chiedo, dato che per entrambi gli approcci la grandezza [tex]A[/tex] è una funzione di più variabili, perché nel primo caso per calcolare la sua variazione nel tempo si usa la derivata totale, mentre nel secondo caso si usa la derivata parziale?
Nel primo si segue il moto di una generica particelle di fluido in moto la cui generica grandezza (termodinamica o cinematica) associata ad essa è una funzione delle variabili Lagrangiane, cioè del tempo [tex]t[/tex] e delle coordinate [tex]x_0, y_0, z_0[/tex].
Quest'ultime, riferite alla generica particella nell'istante iniziale, vengono introdotte per identificare univocamente la perticella stessa. Dunque possiamo dire che la grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x_0, y_0, z_0, t)[/tex], cioè una funzione di più variabili.
Se volessi esprimere la variazione nel tempo di [tex]f[/tex] posso scrivere che:
[tex]\frac{d\mathbf{f}}{dt} = \frac{d\mathbf{f (x_0, y_0, z_0, t)}}{dt}|(x_0,y_0, z_0 = cost)[/tex], cioè posso esprimere la derivata come una derivata totale nel tempo, considerando le coordinate iniziali costanti (cioè dei parametri) per assicurare l'identità della particella.
Secondo l'approccio Euleriano non si segue più la particella ma si fissa l'attenzione su una porzione di spazio chiamato volume di controllo. le variabili Euleriane sono dunque le coordinate [tex]x, y, z[/tex] di ogni punto dello spazio di controllo ed il tempo [tex]t[/tex]. Quindi secondo tale approccio le grandeze termodinamiche e cinematiche vengono definite in funzione dello spazio e del tempo all'interno del volume di controllo. Quindi la generica grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x, y, z, t)[/tex], anche in questo caso una funzione di più variabili. La derivata locale nel tempo di tale grandezza A nel punto generico [tex]P (x,y,z)[/tex] non sarà altro che la derivata parziale di tale grandezza rispetto al tempo, tenendo fissi x, y e z cioè: [tex]\frac{\partial \mathbf{f(x, y, z, t)}}{\partial t}|(x,y,z = cost)[/tex].
Ora mi chiedo, dato che per entrambi gli approcci la grandezza [tex]A[/tex] è una funzione di più variabili, perché nel primo caso per calcolare la sua variazione nel tempo si usa la derivata totale, mentre nel secondo caso si usa la derivata parziale?
Risposte
"Noel_91":
Salve, dunque in genere in fluidodinamica è possibile seguire due criteri di analisi, ovvero l'approccio Lagrangiano e l'approccio Euleriano.
Nel primo si segue il moto di una generica particelle di fluido in moto la cui generica grandezza (termodinamica o cinematica) associata ad essa è una funzione delle variabili Lagrangiane, cioè del tempo [tex]t[/tex] e delle coordinate [tex]x_0, y_0, z_0[/tex].
Quest'ultime, riferite alla generica particella nell'istante iniziale, vengono introdotte per identificare univocamente la perticella stessa. Dunque possiamo dire che la grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x_0, y_0, z_0, t)[/tex], cioè una funzione di più variabili.
Se volessi esprimere la variazione nel tempo di [tex]f[/tex] posso scrivere che:
[tex]\frac{d\mathbf{f}}{dt} = \frac{d\mathbf{f (x_0, y_0, z_0, t)}}{dt}|(x_0,y_0, z_0 = cost)[/tex], cioè posso esprimere la derivata come una derivata totale nel tempo, considerando le coordinate iniziali costanti (cioè dei parametri) per assicurare l'identità della particella.
La grandezza $A$ è funzione delle coordinate e del tempo, ma anche le coordinate della particella , nell'approccio lagrangiano, sono funzioni del tempo . In altri termini, non devi considerare le coordinate come costanti , bensi variabili :
$A = A (x(t),y(t),z(t) , t ) $
da cui si ricava la derivata totale, applicando la regola di derivazione delle funzioni composte per le coordinate spaziali :
$(dA)/(dt) = (partialA)/(partialx)(dx)/(dt) + (partialA)/(partialy)(dy)/(dt) +(partialA)/(partialz)(dz)/(dt) + (partialA)/(partialt)$
non devi , cioè considerare le sole coordinate iniziali .
Secondo l'approccio Euleriano non si segue più la particella ma si fissa l'attenzione su una porzione di spazio chiamato volume di controllo. le variabili Euleriane sono dunque le coordinate [tex]x, y, z[/tex] di ogni punto dello spazio di controllo ed il tempo [tex]t[/tex]. Quindi secondo tale approccio le grandeze termodinamiche e cinematiche vengono definite in funzione dello spazio e del tempo all'interno del volume di controllo. Quindi la generica grandezza [tex]A[/tex] sarà una funzione : [tex]A = f(x, y, z, t)[/tex], anche in questo caso una funzione di più variabili. La derivata locale nel tempo di tale grandezza A nel punto generico [tex]P (x,y,z)[/tex] non sarà altro che la derivata parziale di tale grandezza rispetto al tempo, tenendo fissi x, y e z cioè: [tex]\frac{\partial \mathbf{f(x, y, z, t)}}{\partial t}|(x,y,z = cost)[/tex].
Ora mi chiedo, dato che per entrambi gli approcci la grandezza [tex]A[/tex] è una funzione di più variabili, perché nel primo caso per calcolare la sua variazione nel tempo si usa la derivata totale, mentre nel secondo caso si usa la derivata parziale?
nell'approccio euleriano, stai "fissando" un punto nel campo di moto, e le coordinate di questo punto non variano. Quindi, in quel punto, la grandezza della proprietà $A$ delle varie particelle che transitano può cambiare solo rispetto al tempo . Di qui, la derivata parziale di $A$ rispetto a $t$ .
Da' un'occhiata a questo :
viewtopic.php?f=19&t=171921
e soprattutto alla dispensa che messo nel link .
"Shackle":
La grandezza $A$ è funzione delle coordinate e del tempo, ma anche le coordinate della particella , nell'approccio lagrangiano, sono funzioni del tempo . In altri termini, non devi considerare le coordinate come costanti , bensi variabili :
$A = A (x(t),y(t),z(t) , t ) $
da cui si ricava la derivata totale, applicando la regola di derivazione delle funzioni composte per le coordinate spaziali :
$(dA)/(dt) = (partialA)/(partialx)(dx)/(dt) + (partialA)/(partialy)(dy)/(dt) +(partialA)/(partialz)(dz)/(dt) + (partialA)/(partialt)$
non devi , cioè considerare le sole coordinate iniziali .
Ciao, ti ringrazio per la risposta però non sono molto d'accordo con quanto dici, nel senso che quello che hai scritto a me sembra la derivata totale (che altro non è che la variazione della grandezza d'interesse misurata da un osservatore che viaggia a cavallo della particella considerata) in forma Euleriana (anziché in forma Lagrangiana), tant'è vero che a primo membro c'è la derivata totale o lagrangiana, e a secondo membro la derivata locale (cioè quella Euleriana) e il termine convettivo (le tre derivate parziali spaziali).
La derivata Totale in forma Lagrangiana dovrebbe essere quella scritta da me sopra. Inoltre la generica grandezza [tex]A[/tex], secondo tale approccio a me risulta essere in genere funzione delle sole coordinate iniziali della particella fluida in esame, che servono a identificarla univocamente, e del tempo (come confermato anche dal libro di turbomacchine sul quale sto studiando). Una volta definite [tex]x_0, y_0, z_0[/tex] la grandezza dipende soltanto dal tempo dato che la particella si muove cambiando posizione istante per istante (forse è proprio questa la risposta al dubbio da me posto nel post precedente, però non sono sicuro al 100%).
Qui ci sono i link che confermano quanto ho detto:
http://aero.polimi.tripod.com/FilesPDF/LagVsEul.pdf (pagina 2)
http://pcque.unica.it/dispense/IdraulicaNO.PDF (pagina 15)
Nella seconda dispensa è descritta tramite una derivata parziale, nella prima invece ammette che non ce n'è bisogno se si considera [tex]x_0, y_0, z_0[/tex] un parametro.
Non capisco tutta questa confusione, che tra l'altro ho riscontrato anche in altri autori, compreso l'autore del libro di turbomacchine sul quale sto studiando.
Hai ragione a non capire tutta questa confusione, perchè entrambe le dispense che hai linkato ne fanno !
La prima dispensa francamente per me è illeggibile . La seconda, di Querzoli, spiega meglio i due punti di vista lagrangiano ed euleriano , ma pure fa confusione, a mio parere , per esempio quando dice :
La derivata sostanziale (o materiale o lagrangiana) di una assegnata grandezza, A, è definita dalla derivata parziale rispetto al tempo, avendo tenuta fissa la particella, quindi con x0 fissato: (segue formula) .
Eppure non è una cosa tanto difficile , a mio parere . Da' un'occhiata a quella dispensa che ti ho indicato nel precedente messaggio, e una lettura a queste semplici pagine :
http://imgur.com/bBnCsdd
http://imgur.com/EvNXYOV
In pratica :
1) Lagrange : segue l'evoluzione di una particella di fluido ( e delle sue proprietà ) sia nello spazio che a passare del tempo , e questo conduce alla derivata totale , o sostanziale o lagrangiana . È come se tu osservassi una particella lungo tutto il suo percorso. E questo metodo non si adotta praticamente mai .
2) Eulero : osserva sempre uno stesso punto dello spazio, di date coordinate , dove passano le particelle fluide una dopo l'altra; le proprietà in quel punto possono variare nel tempo , e questo conduce alla derivata locale . È il metodo comunemente adottato.
francamente non capisco proprio per quale motivo si debba riempire di formule elaborate un argomento , quando lo si può illustrare in maniera piu semplice. Già la materia di per sè non è facile...!
La prima dispensa francamente per me è illeggibile . La seconda, di Querzoli, spiega meglio i due punti di vista lagrangiano ed euleriano , ma pure fa confusione, a mio parere , per esempio quando dice :
La derivata sostanziale (o materiale o lagrangiana) di una assegnata grandezza, A, è definita dalla derivata parziale rispetto al tempo, avendo tenuta fissa la particella, quindi con x0 fissato: (segue formula) .
Eppure non è una cosa tanto difficile , a mio parere . Da' un'occhiata a quella dispensa che ti ho indicato nel precedente messaggio, e una lettura a queste semplici pagine :
http://imgur.com/bBnCsdd
http://imgur.com/EvNXYOV
In pratica :
1) Lagrange : segue l'evoluzione di una particella di fluido ( e delle sue proprietà ) sia nello spazio che a passare del tempo , e questo conduce alla derivata totale , o sostanziale o lagrangiana . È come se tu osservassi una particella lungo tutto il suo percorso. E questo metodo non si adotta praticamente mai .
2) Eulero : osserva sempre uno stesso punto dello spazio, di date coordinate , dove passano le particelle fluide una dopo l'altra; le proprietà in quel punto possono variare nel tempo , e questo conduce alla derivata locale . È il metodo comunemente adottato.
francamente non capisco proprio per quale motivo si debba riempire di formule elaborate un argomento , quando lo si può illustrare in maniera piu semplice. Già la materia di per sè non è facile...!
"Shackle":
La prima dispensa francamente per me è illeggibile . La seconda, di Querzoli, spiega meglio i due punti di vista lagrangiano ed euleriano , ma pure fa confusione, a mio parere , per esempio quando dice :
La derivata sostanziale (o materiale o lagrangiana) di una assegnata grandezza, A, è definita dalla derivata parziale rispetto al tempo, avendo tenuta fissa la particella, quindi con x0 fissato: (segue formula) .
Sul fatto che ci sia un pò di confusione tra gli autori sono d'accordo. Tuttavia la derivata totale, secondo me, scritta come somma di un termine convettivo e di un termine locale, è la sua rappresentazione nella "forma Euleriana".
E' chiaro che entrambi siamo d'accordo che la derivata totale è la variazione della grandezza fisica d'interesse misurata da un osservatore che "viaggia a cavallo" della particella considerata.
Questa derivata totale (detta pure Lagrangiana, visto la definizione da me appena mensionata) è esprimibile sia in forma Lagrangiana, sia in forma Euleriana.
Se la esprimessi in forma Euleriana la formula che uscirebbe fuori sarebbe la relazione che hai scritto tu, ovvero quella formula che lega tale derivata con la derivata locale (Euleriana) e il termine convettivo. Infatti ad esempio sul caputo "turbomacchine" quando introduce la formula citata da te, prima dice di prendere una funzione [tex]f[/tex] dipendente, anziché dalle variabili lagrangiane [tex]x_0, y_0, z_0 , t[/tex], dalle variabili Euleriane locali [tex]x, y, z , t[/tex], con [tex]x, y, z[/tex], coordinate di un generico punto del volume di controllo, e calcolarne la derivata sostanziale rispetto al tempo.
Invece se esprimessi la derivata totale, nel suo mondo di appartenenza, ovvero quello Lagrangiano, considerando quindi la stessa funzione dipendente dalle variabili lagrangiane [tex]x_0, y_0, z_0 , t[/tex], la derivata totale sarebbe semplicemente la derivata della grandezza di interesse rispetto al tempo, avendo l'accortezza di tener fissa la posizione iniziale della particella per identificarla univocamente.
Ora la confusione sta nel fatto che alcuni autori la considerano come una derivata "ordinaria" altri come una derivata parziale, era questo il mio dubbio sostanzialemente.
Qui c'è un link di una dispensa di TurboMacchine sul quale sto studiando che ribadisce quel concetto di prima:
http://www.uniroma2.it/didattica/MAC1CO ... e_2007.pdf (prime pagine).
Alla fine, su una prima cosa siamo d'accordo : che c'è confusione in materia ! 
Ma anche su qualcos'altro .
Sarebbe meglio, a questo punto, lasciar da parte i due signori , e parlare solo di "derivata totale = derivata locale + derivate convettive " . Su questo siamo d'accordo.
ripeto : non sono d'accordo sul definire la derivata totale come "forma euleriana" . Eulero guarda un punto fisso, e le coordinate di questo punto non variano nel tempo.
le variabili spaziali lagrangiane $x,y,z$ "dipendono" dal punto iniziale [tex]x_0, y_0, z_0[/tex] , con indice $0$ prefissato , su questo non ci piove, come dice all'inizio la dispensa che hai allegato.Ma attenzione, $P_0$ è soltanto un punto iniziale, al tempo $t=0$ , quindi ben definito e fisso. Invece $P(t)$ è il punto (= la particella) variabile nel tempo.
Le coordinate dipendono ovviamente anche dal tempo .
Scusa : "derivata parziale" si deve intendere una cosa di questo tipo : $(partialA)/(partialt)$ , oppure anche : $(partialA)/(partialx_i)$ , con $i = 1,2,3$ . Ma quando vai a calcolare $(dA)/(dt) $ , questa è una "ordinaria" derivata totale di una funzione di più variabili , come ho scritto la prima volta .
Grazie per la dispensa, la guarderò con attenzione.
Penso che non sia il caso di aggiungere altro. Beninteso, io posso anche sbagliare, non ho la scienza infusa, e può darsi che ricordi male. Comunque, Eulero vince su Lagrange, anche nello studio delle turbomacchine , come si vede applicando la conservazione del momento della quantità di moto .
Ciao .
Ma anche su qualcos'altro . "Noel_91":
Sul fatto che ci sia un pò di confusione tra gli autori sono d'accordo. Tuttavia la derivata totale, secondo me, scritta come somma di un termine convettivo e di un termine locale, è la sua rappresentazione nella "forma Euleriana".
E' chiaro che entrambi siamo d'accordo che la derivata totale è la variazione della grandezza fisica d'interesse misurata da un osservatore che "viaggia a cavallo" della particella considerata.
Questa derivata totale (detta pure Lagrangiana, visto la definizione da me appena mensionata) è esprimibile sia in forma Lagrangiana, sia in forma Euleriana.
Sarebbe meglio, a questo punto, lasciar da parte i due signori , e parlare solo di "derivata totale = derivata locale + derivate convettive " . Su questo siamo d'accordo.
Se la esprimessi in forma Euleriana la formula che uscirebbe fuori sarebbe la relazione che hai scritto tu, ovvero quella formula che lega tale derivata con la derivata locale (Euleriana) e il termine convettivo.
ripeto : non sono d'accordo sul definire la derivata totale come "forma euleriana" . Eulero guarda un punto fisso, e le coordinate di questo punto non variano nel tempo.
Infatti ad esempio sul caputo "turbomacchine" quando introduce la formula citata da te, prima dice di prendere una funzione [tex]f[/tex] dipendente, anziché dalle variabili lagrangiane [tex]x_0, y_0, z_0 , t[/tex], dalle variabili Euleriane locali [tex]x, y, z , t[/tex], con [tex]x, y, z[/tex], coordinate di un generico punto del volume di controllo, e calcolarne la derivata sostanziale rispetto al tempo.
le variabili spaziali lagrangiane $x,y,z$ "dipendono" dal punto iniziale [tex]x_0, y_0, z_0[/tex] , con indice $0$ prefissato , su questo non ci piove, come dice all'inizio la dispensa che hai allegato.Ma attenzione, $P_0$ è soltanto un punto iniziale, al tempo $t=0$ , quindi ben definito e fisso. Invece $P(t)$ è il punto (= la particella) variabile nel tempo.
Le coordinate dipendono ovviamente anche dal tempo .
Invece se esprimessi la derivata totale, nel suo mondo di appartenenza, ovvero quello Lagrangiano, considerando quindi la stessa funzione dipendente dalle variabili lagrangiane [tex]x_0, y_0, z_0 , t[/tex], la derivata totale sarebbe semplicemente la derivata della grandezza di interesse rispetto al tempo, avendo l'accortezza di tener fissa la posizione iniziale della particella per identificarla univocamente.
Ora la confusione sta nel fatto che alcuni autori la considerano come una derivata "ordinaria" altri come una derivata parziale, era questo il mio dubbio sostanzialemente.
Scusa : "derivata parziale" si deve intendere una cosa di questo tipo : $(partialA)/(partialt)$ , oppure anche : $(partialA)/(partialx_i)$ , con $i = 1,2,3$ . Ma quando vai a calcolare $(dA)/(dt) $ , questa è una "ordinaria" derivata totale di una funzione di più variabili , come ho scritto la prima volta .
Qui c'è un link di una dispensa di TurboMacchine sul quale sto studiando che ribadisce quel concetto di prima:
http://www.uniroma2.it/didattica/MAC1CO ... e_2007.pdf (prime pagine).
Grazie per la dispensa, la guarderò con attenzione.
Penso che non sia il caso di aggiungere altro. Beninteso, io posso anche sbagliare, non ho la scienza infusa, e può darsi che ricordi male. Comunque, Eulero vince su Lagrange, anche nello studio delle turbomacchine , come si vede applicando la conservazione del momento della quantità di moto .
Ciao .
[quote="Shackle" Comunque, Eulero vince su Lagrange, anche nello studio delle turbomacchine , come si vede applicando la conservazione del momento della quantità di moto .
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Su questo non ci piove, ti ringrazio comunque per il tempo speso, ciao!
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Su questo non ci piove, ti ringrazio comunque per il tempo speso, ciao!
Sebbene risponda con molto ritardo, consiglio di leggere le prime pagine del seguente pdf
http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_fluid_c1/cap1.pdf
in modo da chiarire definitavamente la differenza tra approccio lagrangiano, referenziale e euleriano.
http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_fluid_c1/cap1.pdf
in modo da chiarire definitavamente la differenza tra approccio lagrangiano, referenziale e euleriano.
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