Dubbi termodinamici
L'ho già confessato e lo ribadisco: la termodinamica è la mia bestia nera, ho il sospetto di non averla mai capita sul serio.
In particolare mi risulta misterioso tutto quanto discende dal secondo principio.
Provo a spiegarmi.
Il secondo principio in sé non lo discuto, lo accetto come si accetta un postulato che trova la sua giustificazione in numerose prove sperimentali che mai l'hanno smentito finora.
Mi si dice poi che esiste il teorema di Carnot secondo il quale una macchina irreversibile non può avere rendimento superiore a quello di una macchina reversibile e si dimostra ciò per assurdo facendo vedere che se così fosse si contravverrebbe al secondo principio. Mi sta bene.
Poi mi si mostra il teorema di Clausius come una generalizzazione del teorema di Carnot per infinite sorgenti, e mi si fa vedere che quando le trasformazioni sono reversibili la circuitazione di un certo differenziale lungo un cammino termodinamico chiuso qualsiasi è nulla. Ciò porta a definire la funzione di stato Entropia.
Tutto ciò mi starebbe bene se qualcuno avesse avuto la bontà di chiarirmi perché mai una macchina di Carnot dovrebbe avere quel rendimento che tutti sappiamo, e dal quale esce fuori il famigerato differenziale esatto $dS=(\deltaQ)/T$.
Mi si dimostra la cosa solo per il gas ideale e poi mi si dice che il risultato ha valenza generale.
Allora qua mi manca un anello logico: o mi si dimostra questa generalità, oppure devo supporre che con le sostanze reali si rimane lontani dal rendimento di Carnot solo per una banale evidenza sperimentale mai smentita anche dai più accurati esperimenti dove si eviti ogni irreversibilità, e che nelle sostanze reali le trasformazioni adiabatiche quasi statiche e reversibili non sono mai isoentropiche per limiti costituzionali, perché nei casi reali esiste sempre una generazione virtuale di entropia legata alla non idealità della sostanza.
Allora domando qui agli esperti in materia: le cose stanno come ho appena detto io oppure anche nei casi delle sostanze reali si potrebbe in teoria avvicinarsi quanto si vuole al rendimento di Carnot se si facesse l'esperimento in modo quasi perfettamente statico e reversibile? e se fosse così come si dimostra allora la generalità del rendimento di Carnot per sostanze qualsiasi?
Scusatemi per questo outing di conclamata ignoranza; se mi date una dritta vedrò di studiare di più.
Grazie.
In particolare mi risulta misterioso tutto quanto discende dal secondo principio.
Provo a spiegarmi.
Il secondo principio in sé non lo discuto, lo accetto come si accetta un postulato che trova la sua giustificazione in numerose prove sperimentali che mai l'hanno smentito finora.
Mi si dice poi che esiste il teorema di Carnot secondo il quale una macchina irreversibile non può avere rendimento superiore a quello di una macchina reversibile e si dimostra ciò per assurdo facendo vedere che se così fosse si contravverrebbe al secondo principio. Mi sta bene.
Poi mi si mostra il teorema di Clausius come una generalizzazione del teorema di Carnot per infinite sorgenti, e mi si fa vedere che quando le trasformazioni sono reversibili la circuitazione di un certo differenziale lungo un cammino termodinamico chiuso qualsiasi è nulla. Ciò porta a definire la funzione di stato Entropia.
Tutto ciò mi starebbe bene se qualcuno avesse avuto la bontà di chiarirmi perché mai una macchina di Carnot dovrebbe avere quel rendimento che tutti sappiamo, e dal quale esce fuori il famigerato differenziale esatto $dS=(\deltaQ)/T$.
Mi si dimostra la cosa solo per il gas ideale e poi mi si dice che il risultato ha valenza generale.
Allora qua mi manca un anello logico: o mi si dimostra questa generalità, oppure devo supporre che con le sostanze reali si rimane lontani dal rendimento di Carnot solo per una banale evidenza sperimentale mai smentita anche dai più accurati esperimenti dove si eviti ogni irreversibilità, e che nelle sostanze reali le trasformazioni adiabatiche quasi statiche e reversibili non sono mai isoentropiche per limiti costituzionali, perché nei casi reali esiste sempre una generazione virtuale di entropia legata alla non idealità della sostanza.
Allora domando qui agli esperti in materia: le cose stanno come ho appena detto io oppure anche nei casi delle sostanze reali si potrebbe in teoria avvicinarsi quanto si vuole al rendimento di Carnot se si facesse l'esperimento in modo quasi perfettamente statico e reversibile? e se fosse così come si dimostra allora la generalità del rendimento di Carnot per sostanze qualsiasi?
Scusatemi per questo outing di conclamata ignoranza; se mi date una dritta vedrò di studiare di più.
Grazie.
Risposte
"Falco5x":
Tutto ciò mi starebbe bene se qualcuno avesse avuto la bontà di chiarirmi perché mai una macchina di Carnot dovrebbe avere quel rendimento che tutti sappiamo, e dal quale esce fuori il famigerato differenziale esatto $dS=(\deltaQ)/T$.
Mi si dimostra la cosa solo per il gas ideale e poi mi si dice che il risultato ha valenza generale.
Allora qua mi manca un anello logico: o mi si dimostra questa generalità, oppure devo supporre che con le sostanze reali si rimane lontani dal rendimento di Carnot solo per una banale evidenza sperimentale mai smentita anche dai più accurati esperimenti dove si eviti ogni irreversibilità, e che nelle sostanze reali le trasformazioni adiabatiche quasi statiche e reversibili non sono mai isoentropiche per limiti costituzionali, perché nei casi reali esiste sempre una generazione virtuale di entropia legata alla non idealità della sostanza.
Se non ricordo male il teorema di Clausius non riguarda solo i gas ideali ma un sistema termodinamico in generale. Le macchine di Carnot vengono utilizzate nella sua dimostrazione ma non costituiscono necessariamente il sistema termodinamico oggetto del teorema.
"sonoqui_":
Se non ricordo male il teorema di Clausius non riguarda solo i gas ideali ma un sistema termodinamico in generale. Le macchine di Carnot vengono utilizzate nella sua dimostrazione ma non costituiscono necessariamente il sistema termodinamico oggetto del teorema.
Pare anche a me che sia così, però il teorema di Clausius mette un segno <= davanti alla circuitazione e non ho trovato da nessuna parte che si dica mai se il segno = si riferisce solo al gas ideale oppure no. E se non si riferisce solo al gas ideale, allora vuol dire che un ciclo di Carnot con rendimento ideale può in teoria svolgersi anche con gas non ideale, ma allora se le cose stanno così mi piacerebbe vedere la dimostrazione. Invece ho sempre visto dimostrazioni del rendimento limite di Carnot calcolate col gas ideale. Sulla possibilità teorica che si possa ottenere a prescindere dal mezzo i testi che ho visto io hanno sempre glissato.
E stavolta mi piacerebbe proprio che qualcuno mi desse un cenno di dimostrazione del rendimento limite di Carnot non legato al gas ideale, o mi dicesse dove andarla a vedere. Oppure mi dicesse che è dimostrabile solo per il gas ideale, mentre per i fluidi reali non è dimostrabile ma è una congettura assai probabile... oppure che i gas reali non possono in nessun modo avvicinarsi al rendimento di Carnot... insomma che mi chiarisse il punto una volta per tutte senza girarci intorno.
scusa, leggevo la discussione, ovviamente lascio la parola a chi è più competente di un semplice studente, ma ricordo dalle spiegazioni di fisica 1 che il prof ci aveva sottolineato (e ho controllato anche negli appunti presi) che il rendimento della macchina è indipendente dalla sostanza impiegata per compiere il ciclo di Carnot (anzi trovo scritto proprio "tutte le macchine reversibili che lavorano tra 2 sole temperature hanno lo stesso rendimento -gas ideale o no."). non si parla di gas ideale, ma di processo ideale, ossia quello delle adiabatiche reversibili tra 2 sole sorgenti
"jollothesmog":
scusa, leggevo la discussione, ovviamente lascio la parola a chi è più competente di un semplice studente, ma ricordo dalle spiegazioni di fisica 1 che il prof ci aveva sottolineato (e ho controllato anche negli appunti presi) che il rendimento della macchina è indipendente dalla sostanza impiegata per compiere il ciclo di Carnot (anzi trovo scritto proprio "tutte le macchine reversibili che lavorano tra 2 sole temperature hanno lo stesso rendimento -gas ideale o no."). non si parla di gas ideale, ma di processo ideale, ossia quello delle adiabatiche reversibili tra 2 sole sorgenti
Ottimo. E allora vorrei vedere la dimostrazione generale.
Ciao Falco!
Mi chiedevi di darti la mia visione allora ci provo, sperando di rispondere al dubbio.
La dimostrazione della eguaglianza di Clausius per cui se abbiamo una macchina termica reversibile che assorbe una quantità di calore $Q_1$ da una sorgente a temperatura $T_1$ e cede una quantità di calore $Q_2$ ad una sorgente a temperatura $T_2$ vale $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$ (considerando positivo il calore preso dalla sorgente e negativo quello ceduto alla sorgente) in effetti è dimostrata partendo da una macchina termica di Carnot a gas ideale.
Certo il fatto che la macchina sia di Carnot è ovvio dovendo scambiare calore solo con sorgenti a temperatura fissa, e dovendo essere lo scambio reversibile, il discorso del fluido ideale invece come dici può apparire una forzatura in più.
Il nocciolo della questione credo sia nella domanda: “se la macchina fosse una macchina reversibile il cui gas seguisse una legge diversa dai gas perfetti potrei sempre scrivere quella relazione con l’uguaglianza”? In altre parole l’uguaglianza è stata determinata assumendo fluido ideale e se il fluido fosse reale, e posto le trasformazioni sempre reversibili, chi mi assicura che quella equazione valga ancora?
Per risolvere forse basta osservare che questo dubbio può essere anche riformulato così: “ chi mi assicura che le due macchine reversibili, una che usa come gas un gas ideale ed una come gas un gas reale abbiano lo stesso rendimento?”
Infatti il rendimento della macchina a gas ideale vale $eta_{"gas ideale"}=1-Q_2/Q_1=1-T_2/T_1$, mentre quello della macchina a gas reale (da adesso lo indico col pedice $R$) vale vale $eta_{"gas reale"}=1-Q_{2R}/Q_{1R}$, se riusciamo a dimostrare che il rendimento di una macchina a gas reale è uguale al rendimento della macchine a gas ideale ne consegue subito, eguagliando i rendimenti e tenendo conto che quello ideale è funzione solo della temperatura delle sorgenti, che $Q_{1R}/T_1-Q_{2R}/T_2=0$, che è proprio quello che si vuole dimostrare (qui ho assunto le $Q$ maggiori di zero e messo i segni, come si fa normalmente quando si deriva la relazione per la macchina a gas ideale).
Quest’ultima cosa però si dimostra esattamente come si dimostra il teorema di Carnot, poiché se sia la macchina a gas reale sia a quella a gas ideale sono reversibili necessariamente devono avere il medesimo rendimento, si può infatti ripetere la dimostrazione del teorema di Carnot, assumendo che il rendimento sia diverso (l'uno maggiore o minore dell'altro) e arrivando sempre ad un assurdo, negando il secondo principio.
PS: Mi fa piacere che hai fiducia in me, ti avverto però che ad un'esame all'università un professore mi disse che di termodinamica non ne capivo niente
. Per fortuna non mi fece passare l'interesse per il tema comunque.
Mi chiedevi di darti la mia visione allora ci provo, sperando di rispondere al dubbio.
La dimostrazione della eguaglianza di Clausius per cui se abbiamo una macchina termica reversibile che assorbe una quantità di calore $Q_1$ da una sorgente a temperatura $T_1$ e cede una quantità di calore $Q_2$ ad una sorgente a temperatura $T_2$ vale $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$ (considerando positivo il calore preso dalla sorgente e negativo quello ceduto alla sorgente) in effetti è dimostrata partendo da una macchina termica di Carnot a gas ideale.
Certo il fatto che la macchina sia di Carnot è ovvio dovendo scambiare calore solo con sorgenti a temperatura fissa, e dovendo essere lo scambio reversibile, il discorso del fluido ideale invece come dici può apparire una forzatura in più.
Il nocciolo della questione credo sia nella domanda: “se la macchina fosse una macchina reversibile il cui gas seguisse una legge diversa dai gas perfetti potrei sempre scrivere quella relazione con l’uguaglianza”? In altre parole l’uguaglianza è stata determinata assumendo fluido ideale e se il fluido fosse reale, e posto le trasformazioni sempre reversibili, chi mi assicura che quella equazione valga ancora?
Per risolvere forse basta osservare che questo dubbio può essere anche riformulato così: “ chi mi assicura che le due macchine reversibili, una che usa come gas un gas ideale ed una come gas un gas reale abbiano lo stesso rendimento?”
Infatti il rendimento della macchina a gas ideale vale $eta_{"gas ideale"}=1-Q_2/Q_1=1-T_2/T_1$, mentre quello della macchina a gas reale (da adesso lo indico col pedice $R$) vale vale $eta_{"gas reale"}=1-Q_{2R}/Q_{1R}$, se riusciamo a dimostrare che il rendimento di una macchina a gas reale è uguale al rendimento della macchine a gas ideale ne consegue subito, eguagliando i rendimenti e tenendo conto che quello ideale è funzione solo della temperatura delle sorgenti, che $Q_{1R}/T_1-Q_{2R}/T_2=0$, che è proprio quello che si vuole dimostrare (qui ho assunto le $Q$ maggiori di zero e messo i segni, come si fa normalmente quando si deriva la relazione per la macchina a gas ideale).
Quest’ultima cosa però si dimostra esattamente come si dimostra il teorema di Carnot, poiché se sia la macchina a gas reale sia a quella a gas ideale sono reversibili necessariamente devono avere il medesimo rendimento, si può infatti ripetere la dimostrazione del teorema di Carnot, assumendo che il rendimento sia diverso (l'uno maggiore o minore dell'altro) e arrivando sempre ad un assurdo, negando il secondo principio.
PS: Mi fa piacere che hai fiducia in me, ti avverto però che ad un'esame all'università un professore mi disse che di termodinamica non ne capivo niente
. Per fortuna non mi fece passare l'interesse per il tema comunque.
ciao Falco5x
se ho ben interpretato i tuoi dubbi,non riesci a capire da dove salta fuori la disuguaglianza di clausius..dico bene?
ora lasciamo stare il rendimento di carnot che non ho ancora studiato ma credo che tutto ciò che dirò possa essere visto tranquillamente senza parlare di "rendimento", se non al più di un semplice ciclo fatto da due isoterme e due adiabatiche che un certo carnot ha voluto dedicarsi(o a cui è stato dedicato...poco importa!)
partiamo dalla "formulina" $dq/T$(non conosco il simbolo per indicare il differenziale nn esatto..scusa)
ora clausius dice che in un ciclo questa quantità è sempre minore o uguale a 0(reversibilità interna)
come dimostrarla?..andiamo con calma.
conoscerai la scala termodinamica assoluta credo..giusto?
bene,questa si ricava facilmente considerando un ciclo composta da due isoterme e due adiabatiche(ciclo di carnot)
questa scala termometrica risulta essere identica ad una scala termometrica a gas ideale e a volume costante,dove si sceglie come stato di riferimento il punto triplo(questa congettura è già più difficile da dimostrare..ne parliamo dopo)
grazie a questa scala termometrica posso scrivere $(Q/Q_0=(T/T_0$
torniamo a clausius:immagina ora una macchina termica in grado di prelevare calore da una sorgente calda e di produrre lavoro,per non contraddire kelvin ci deve però essere anche del calore che si dirige in un pozzo( in genere viene chiamato calore ceduto)..
a questo punto è possibile scrivere il primo principio come $dl_1=dq_a$(il pedice sta ad indicate la sorgente calda..cerca di immaginare una superficie di controllo che considera solo il calore della sorgente calda)
ricordando quanto detto sopra sulla scala termometrica è possibile scrivere $(Q_a/Q=(T_a/T)$ dove il pedice "a" indica la temperatura della sorgente.
perciò il lavoro sarà $L=T_a$ per la circuitazione di $dq/T$
ma ora sapendo che la temperatura assoluta è $>=0$ e cercando di non violare il postulato di kelvin giungiamo alla conclusione che quell'integrale deve necessariamente essere minore di 0...(ovvero..LAVORO minore di 0)
per quanto riguarda tutte le dimostrazioni che ti ho citato ma che nn ho fatto,ti posso passare un ottimo file del mio docente dove spiega un pò "le origini" di tutto!!
edit:non ho fatto in tempo a leggere il messaggio di faussone
se ho ben interpretato i tuoi dubbi,non riesci a capire da dove salta fuori la disuguaglianza di clausius..dico bene?
ora lasciamo stare il rendimento di carnot che non ho ancora studiato ma credo che tutto ciò che dirò possa essere visto tranquillamente senza parlare di "rendimento", se non al più di un semplice ciclo fatto da due isoterme e due adiabatiche che un certo carnot ha voluto dedicarsi(o a cui è stato dedicato...poco importa!)
partiamo dalla "formulina" $dq/T$(non conosco il simbolo per indicare il differenziale nn esatto..scusa)
ora clausius dice che in un ciclo questa quantità è sempre minore o uguale a 0(reversibilità interna)
come dimostrarla?..andiamo con calma.
conoscerai la scala termodinamica assoluta credo..giusto?
bene,questa si ricava facilmente considerando un ciclo composta da due isoterme e due adiabatiche(ciclo di carnot)
questa scala termometrica risulta essere identica ad una scala termometrica a gas ideale e a volume costante,dove si sceglie come stato di riferimento il punto triplo(questa congettura è già più difficile da dimostrare..ne parliamo dopo)
grazie a questa scala termometrica posso scrivere $(Q/Q_0=(T/T_0$
torniamo a clausius:immagina ora una macchina termica in grado di prelevare calore da una sorgente calda e di produrre lavoro,per non contraddire kelvin ci deve però essere anche del calore che si dirige in un pozzo( in genere viene chiamato calore ceduto)..
a questo punto è possibile scrivere il primo principio come $dl_1=dq_a$(il pedice sta ad indicate la sorgente calda..cerca di immaginare una superficie di controllo che considera solo il calore della sorgente calda)
ricordando quanto detto sopra sulla scala termometrica è possibile scrivere $(Q_a/Q=(T_a/T)$ dove il pedice "a" indica la temperatura della sorgente.
perciò il lavoro sarà $L=T_a$ per la circuitazione di $dq/T$
ma ora sapendo che la temperatura assoluta è $>=0$ e cercando di non violare il postulato di kelvin giungiamo alla conclusione che quell'integrale deve necessariamente essere minore di 0...(ovvero..LAVORO minore di 0)
per quanto riguarda tutte le dimostrazioni che ti ho citato ma che nn ho fatto,ti posso passare un ottimo file del mio docente dove spiega un pò "le origini" di tutto!!
edit:non ho fatto in tempo a leggere il messaggio di faussone
@ giolb10
Siamo d'accordo che se vale la proporzionalità tra T e Q vale anche Clausius, e la proporzionalità tra T e Q si dimostra col ciclo di Carnot applicato a un gas ideale (lo stesso gas che si usa nel termometro a gas ideale).
Il mio problema era sapere se c'è una dimostrazione che dimostri la medesima proporzionalità quando il gas non è ideale ma reale e qualsiasi. I casi reali possono essere i più complicati, pensa che durante le isoterme e le adiabatiche possono esserci anche cambiamenti di stato o altre diavolerie del genere, perché la realtà ha più fantasia di qualunque nostro modello.
@Faussone
Ti ringrazio per la dimostrazione, che però mi lascia un po' perplesso. Non la tua dimostrazione in sé, che è coerente con quanto si usa dire anche per dimostrare che non può esistere macchina reale con rendimento superiore a quello di Carnot, quanto piuttosto il fatto che si usi lo stesso metodo per dimostrare l'impossibilità di un rendimento inferiore a quello ideale...
Insomma se uno mi dice che la realtà non può essere migliore di un certo ideale mi vien da crederci; ma se uno mi vuole dimostrare che la realtà deve essere per forza all'altezza dell'idealità perché non può esserne inferiore... beh la cosa non la digerisco altrettanto bene, questa obbligatorietà del rendimento ideale nei gas reali (solo perché la trasformazione è reversibile) mi suona comunque strana.
Mah...
devo pensarci su.
Siamo d'accordo che se vale la proporzionalità tra T e Q vale anche Clausius, e la proporzionalità tra T e Q si dimostra col ciclo di Carnot applicato a un gas ideale (lo stesso gas che si usa nel termometro a gas ideale).
Il mio problema era sapere se c'è una dimostrazione che dimostri la medesima proporzionalità quando il gas non è ideale ma reale e qualsiasi. I casi reali possono essere i più complicati, pensa che durante le isoterme e le adiabatiche possono esserci anche cambiamenti di stato o altre diavolerie del genere, perché la realtà ha più fantasia di qualunque nostro modello.
@Faussone
Ti ringrazio per la dimostrazione, che però mi lascia un po' perplesso. Non la tua dimostrazione in sé, che è coerente con quanto si usa dire anche per dimostrare che non può esistere macchina reale con rendimento superiore a quello di Carnot, quanto piuttosto il fatto che si usi lo stesso metodo per dimostrare l'impossibilità di un rendimento inferiore a quello ideale...
Insomma se uno mi dice che la realtà non può essere migliore di un certo ideale mi vien da crederci; ma se uno mi vuole dimostrare che la realtà deve essere per forza all'altezza dell'idealità perché non può esserne inferiore... beh la cosa non la digerisco altrettanto bene, questa obbligatorietà del rendimento ideale nei gas reali (solo perché la trasformazione è reversibile) mi suona comunque strana.
Mah...
devo pensarci su.
"Falco5x":
.
Insomma se uno mi dice che la realtà non può essere migliore di un certo ideale mi vien da crederci; ma se uno mi vuole dimostrare che la realtà deve essere per forza all'altezza dell'idealità perché non può esserne inferiore... beh la cosa non la digerisco altrettanto bene, questa obbligatorietà del rendimento ideale nei gas reali (solo perché la trasformazione è reversibile) mi suona comunque strana.
Mah...
devo pensarci su.
Ok prova a rifletterci e fammi sapere se ti torna.
Comunque osserva che l'idealità per così dire, non sta nel fatto che il gas segua la legge dei gas perfetti (parlare di gas ideale e reale forse trae in inganno), la legge dei gas perfetti approssima infatti in molti casi benissimo il comportamento di un gas vero, ma nel fatto che le trasformazioni sono reversibili. Se le trasformazioni sono reversibili il rendimento deve dipendere solo dalle temperature delle sorgenti, qualunque sia il legame tra pressione volume e temperatura del gas utilizzato per il ciclo di Carnot. Infatti nel ragionamento che ti dicevo che ripete la dimostrazione del teorema di Carnot, non appena una delle due macchine non è reversibile immediatamente non si riesce a dimostrare che il suo rendimento debba essere superiore a quello dell'altra macchina (cosa che si fa facendo lavorare la macchina come frigorifero), per cui l'uguaglianza dei rendimenti (e quindi l'uguaglianza di Clausius) non vale più.
Sarà sicuramente perché non ho dimestichezza con questi concetti della termodinamica, però esaminando un diagramma reale le perplessità anziché dissiparsi aumentano.
Allora riprendiamo il ciclo di Carnot. Esso si svolge tra due isoterme e due adiabatiche. Poiché si tratta di trasformazioni reversibili, le due adiabatiche sono anche isoentropiche, no? perché così facendo le isoterme che le raccordano hanno lo stesso salto entropico, dunque il calore scambiato su di esse è proporzionale alla temperatura assoluta delle isoterme, e si ha il famoso rendimento ideale.
Ebbene allora mi aspetto che se prendo due isoentropiche in un diagramma reale queste siano anche adiabatiche...
Allora o io non so leggere i diagrammi oppure c'è qualcosa d'altro che non capisco.
Prendiamo questo diagramma:
http://img196.imageshack.us/img196/543/termodinamica.jpg
Se faccio un tratto di trasformazione isoentropica, ad esempio dal punti 1 rosso al punto 3 azzurro, mi aspetterei che fosse adiabatica, mentre se faccio i calcoli come in tabella sottostante trovo invece che il bilancio tra energia e lavoro è nettamente diverso da zero:
(i calcoli sono fatti un po' in soldoni ma dovrebbero rendere l'idea)
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto3 \\
\rho = 200\quad P = 5 \cdot {10^6}\quad V = 5,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 510\quad U = H - PV = - 24450 \\
\Delta U = 20J \\
\Delta L \approx - {P_m}\Delta V \approx 7,5 \cdot {10^6} \cdot 2,5 \cdot {10^{ - 3}} \approx 18750J \\
\Delta S \approx 0 \\
T = 200 - 160K \\
\end{array}[/tex]
Viceversa se faccio una trasformazione dal punto 1 rosso al punto 2 rosso ottengo praticamente un bilancio di equilibrio tra lavoro entrante e aumento energia interna, dunque una situazione praticamente adiabatica, ma con diminuzione netta di entropia:
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto2 \\
\rho = 500\quad P = {10^7}\quad V = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 480\quad U = H - PV = - 19520 \\
\Delta U = 4950J \\
\Delta L = - P\Delta V = 5000J \\
\Delta S \approx -100J/\left( {kgK} \right) \\
T = 200 - 170K \\
\end{array}[/tex]
Probabilmente sono io che sbaglio a interpretare il grafico.
Qualcuno mi può dire dove sbaglio? (magari Faussone?)
Allora riprendiamo il ciclo di Carnot. Esso si svolge tra due isoterme e due adiabatiche. Poiché si tratta di trasformazioni reversibili, le due adiabatiche sono anche isoentropiche, no? perché così facendo le isoterme che le raccordano hanno lo stesso salto entropico, dunque il calore scambiato su di esse è proporzionale alla temperatura assoluta delle isoterme, e si ha il famoso rendimento ideale.
Ebbene allora mi aspetto che se prendo due isoentropiche in un diagramma reale queste siano anche adiabatiche...
Allora o io non so leggere i diagrammi oppure c'è qualcosa d'altro che non capisco.
Prendiamo questo diagramma:
http://img196.imageshack.us/img196/543/termodinamica.jpg
Se faccio un tratto di trasformazione isoentropica, ad esempio dal punti 1 rosso al punto 3 azzurro, mi aspetterei che fosse adiabatica, mentre se faccio i calcoli come in tabella sottostante trovo invece che il bilancio tra energia e lavoro è nettamente diverso da zero:
(i calcoli sono fatti un po' in soldoni ma dovrebbero rendere l'idea)
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto3 \\
\rho = 200\quad P = 5 \cdot {10^6}\quad V = 5,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 510\quad U = H - PV = - 24450 \\
\Delta U = 20J \\
\Delta L \approx - {P_m}\Delta V \approx 7,5 \cdot {10^6} \cdot 2,5 \cdot {10^{ - 3}} \approx 18750J \\
\Delta S \approx 0 \\
T = 200 - 160K \\
\end{array}[/tex]
Viceversa se faccio una trasformazione dal punto 1 rosso al punto 2 rosso ottengo praticamente un bilancio di equilibrio tra lavoro entrante e aumento energia interna, dunque una situazione praticamente adiabatica, ma con diminuzione netta di entropia:
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto2 \\
\rho = 500\quad P = {10^7}\quad V = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 480\quad U = H - PV = - 19520 \\
\Delta U = 4950J \\
\Delta L = - P\Delta V = 5000J \\
\Delta S \approx -100J/\left( {kgK} \right) \\
T = 200 - 170K \\
\end{array}[/tex]
Probabilmente sono io che sbaglio a interpretare il grafico.
Qualcuno mi può dire dove sbaglio? (magari Faussone?)
"Falco5x":
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto3 \\
\rho = 200\quad P = 5 \cdot {10^6}\quad V = 5,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 510\quad U = H - PV = - 24450 \\
\Delta U = 20J \\
\Delta L \approx - {P_m}\Delta V \approx 7,5 \cdot {10^6} \cdot 2,5 \cdot {10^{ - 3}} \approx 18750J \\
\Delta S \approx 0 \\
T = 200 - 160K \\
\end{array}[/tex]
Viceversa se faccio una trasformazione dal punto 1 rosso al punto 2 rosso ottengo praticamente un bilancio di equilibrio tra lavoro entrante e aumento energia interna, dunque una situazione praticamente adiabatica, ma con diminuzione netta di entropia:
[tex]\begin{array}{l}
Punto1 \\
\rho = 400\quad P = {10^7}\quad V = 2,5 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 530\quad U = H - PV = - 24470 \\
Punto2 \\
\rho = 500\quad P = {10^7}\quad V = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}\quad H = 480\quad U = H - PV = - 19520 \\
\Delta U = 4950J \\
\Delta L = - P\Delta V = 5000J \\
\Delta S \approx -100J/\left( {kgK} \right) \\
T = 200 - 170K \\
\end{array}[/tex]
Per la prima parte calcolando il lavoro come $p_m Delta V$ fai un errore troppo grande, dovresti fare l'integrale visto che sia la pressione che il volume specifico cambiano. Ma è inutile che fai quel calcolo: se assumi la trasformazione reversibile (e quindi fai l'integrale) allora l'adiabaticità ce l'hai per definizione.
Per la seconda parte dici che la trasformazione è adiabatica, ma non lo è: infatti ottieni uno sbilanciamento tra variazione energia interna e lavoro; tieni conto d'altra parte che per comprimere un gas (stai comprimendo perché ne aumenti la densità) a pressione costante devi sottrarre calore al gas, pertanto una diminuzione di entropia non sorprende.
Scusa tanto Faussone ma ti pregherei di spiegarmi meglio ciò che intendi.
Perdonami ma questa non l'ho capita: anche se il calcolo è approssimato ci sono quasi 19kJ che mancano (ho dimenticato nel lavoro un segno -, perché è lavoro che esce dal sistema essendo un'espansione) e tu dici che è adiabatica? per fare questa espansione mi pare si dovrebbe assumere 19kJ di calore dall'esterno, altro che adiabatica, mentre la S è costante, dnque mi sembra ci sia una contraddizione notevole (non ho capito il ragionamento sulla adiabaticità che dovrebbe discendere dalla reversibilità...
)
Ottengo uno sbilanciamento? ma è quasi un pareggio, 50J di differenza si tratta di una quantità piccolissima in rapporto a una variazione di entropia che moltiplicata per la temperatura media dovrebbe indicare una fuoriuscita di calore dell'ordine dei 18kJ! (con buona pace del fatto che anche qui non faccio un integrale ma guardo solo gli ordini di grandezza)
"Faussone":
Per la prima parte calcolando il lavoro come $p_m Delta V$ fai un errore troppo grande, dovresti fare l'integrale visto che sia la pressione che il volume specifico cambiano. Ma è inutile che fai quel calcolo: se assumi la trasformazione reversibile (e quindi fai l'integrale) allora l'adiabaticità ce l'hai per definizione.
Perdonami ma questa non l'ho capita: anche se il calcolo è approssimato ci sono quasi 19kJ che mancano (ho dimenticato nel lavoro un segno -, perché è lavoro che esce dal sistema essendo un'espansione) e tu dici che è adiabatica? per fare questa espansione mi pare si dovrebbe assumere 19kJ di calore dall'esterno, altro che adiabatica, mentre la S è costante, dnque mi sembra ci sia una contraddizione notevole (non ho capito il ragionamento sulla adiabaticità che dovrebbe discendere dalla reversibilità...
)"Faussone":
Per la seconda parte dici che la trasformazione è adiabatica, ma non lo è: infatti ottieni uno sbilanciamento tra variazione energia interna e lavoro; tieni conto d'altra parte che per comprimere un gas (stai comprimendo perché ne aumenti la densità) a pressione costante devi sottrarre calore al gas, pertanto una diminuzione di entropia non sorprende.
Ottengo uno sbilanciamento? ma è quasi un pareggio, 50J di differenza si tratta di una quantità piccolissima in rapporto a una variazione di entropia che moltiplicata per la temperatura media dovrebbe indicare una fuoriuscita di calore dell'ordine dei 18kJ! (con buona pace del fatto che anche qui non faccio un integrale ma guardo solo gli ordini di grandezza)
"Falco5x":
Perdonami ma questa non l'ho capita: anche se il calcolo è approssimato ci sono quasi 19kJ che mancano (ho dimenticato nel lavoro un segno -, perché è lavoro che esce dal sistema essendo un'espansione) e tu dici che è adiabatica? per fare questa espansione mi pare si dovrebbe assumere 19kJ di calore dall'esterno, altro che adiabatica, mentre la S è costante, dnque mi sembra ci sia una contraddizione notevole (non ho capito il ragionamento sulla adiabaticità che dovrebbe discendere dalla reversibilità...
Perdonami tu Falco, ma sono io che non capisco il tuo dubbio.
Il fatto che una trasformazione reversibile è isoentropica se e solo se è adiabatica, mi pare abbastanza evidente.
L'implicazione che adiabatica reversibile comporta isoentropica è immediata, ma anche quella inversa lo è abbastanza se ci rifletti, cosa è che non ti torna?
Riguardo ai conti che fai a me torna così:
Punto 1: $p=10MPa$, $rho=400 \frac{kg}{m^3}$ $h = 530 \frac{kJ}{kg}$ $-> u_1=530 *10^3-10*10^6/400 \frac{J}{kg}$
Punto 3: $p=5MPa$, $rho=200 \frac{kg}{m^3}$ $h = 510 \frac{kJ}{kg}$ $-> u_2=510 *10^3-5*10^6/200 \frac{J}{kg}$
$Delta u= -20000 \frac{J}{kg}$
Il lavoro andrebbe calcolato con un integrale, ma se da ingegneracci quali siamo vogliamo fare ad occhio occorre stare attenti alla scelta della pressione media (le scale non sono tutte lineari) io la prenderei più uguale circa a $8 MPa$.
Così facendo si ottiene $l=p_m Delta v = 8 *10^6*(1/200-1/400)=20000 \frac{J}{kg}$
Quindi la trasformazione è adiabatica, come deve essere necessariamente.
"Falco5x":
Ottengo uno sbilanciamento? ma è quasi un pareggio, 50J di differenza si tratta di una quantità piccolissima in rapporto a una variazione di entropia che moltiplicata per la temperatura media dovrebbe indicare una fuoriuscita di calore dell'ordine dei 18kJ! (con buona pace del fatto che anche qui non faccio un integrale ma guardo solo gli ordini di grandezza)
Qui non ho rifatto i conti in ogni caso l'argomento che ti dicevo, cioé che una compressione isobara, deve comportare una sottrazione di calore al gas, taglia già la testa al toro mi pare.
Grazie Faussone, sapevo che non mi avresti deluso!
Allora riassumo.
Nella mia diffidenza preconcetta verso i gas reali e le considerazioni entropiche applicate ai medesimi (forse ingiustificata ma sostenuta da uguale diffidenza sulla dimostrazione del rendimento di Carnot applicata a gas reali) ho voluto provare a vedere, riguardo a un gas reale del quale ho trovato in rete il diagramma di stato, se almeno come ordini di grandezza tornavano i conti tra il bilancio del primo principio e la variazione di entropia riportata sul diagramma.
In teoria il calore calcolato con il primo metodo doveva essere simile al calore calcolato col secondo metodo, ma non mi ci trovavo assolutamente.
Ma ora grazie a te ho semplicemente scoperto che leggevo l'entalpia in Joule mentre invece il grafico intendeva kJoule (la legenda dell'asse H è parzialmente cancellata ma colpa mia che non ho fatto attenzione).
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Tutto qua.
Bene, e allora brindiamo
"Falco5x":
Bene, e allora brindiamo
Ti sei arreso anche tu al secondo principio e all'ineluttabilità dell'aumento dell'entropia?Brindiamo allora, anche se siamo consapevoli che man mano che smaltiremo la sbronza le bottiglie consumate non si ri-riempiranno da sole. Maledetto secondo principio!
In ogni caso salute!!
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