Dubbi teorici diffrazione 2 - la vendetta

[Silence1]

Buonasera, ho qualche dubbio di riepilogo teorico riguardo la diffrazione. Sono consapevole che il post sia abbastanza voluminoso, quindi grazie a chiunque abbia il tempo di rispondere anche a una sola delle mie domande (o di corregere una delle mie affermazioni).

Dunque, parto dall'intensità definità dalla diffrazione

$I=I_0sin^2(pi/lambdaasintheta)/(pi/lambdaasintheta)^2$, con $a$ apertura della fenditura.

Ora, gli zeri (i minimi) di questa intensità sono gli "anelli d'ombra" della figura di diffrazione, e si ottengono per
$sin^2(pi/lambdaasintheta)=0->pi/lambdaasintheta=mpi->sintheta=mlambda/a$

Prima domanda: forse è stato un caso, ma non mi sono mai imbattuto nei massimi di diffrazione, non li ho mai visti usati per nulla. Suppongo vengano da $sin(pi/lambdaasintheta)=+-1$ ma forse non val la pena considerarli? Eppure la figura di diffrazione chiaramente li ha.
Seconda domanda: la differenza tra una fenditura rettangolare e circolare è semplicemente che nel caso circolare il criterio di Rayleigh ha un 1,22 davanti?

Per quanto riguarda invece i reticoli (o comunque più fenditure, anche solo due), si ha che:
$I=I_0sin^2(Npi/lambdadsintheta)/sin^2(pi/lambdadsintheta)*sin^2(pi/lambdaasintheta)/(pi/lambdaasintheta)^2$ con $a, d, N$ rispettivamente apertura delle fenditure, passo del reticolo e numero di fenditure. La prima frazione è il contributo dell'interferenza, la seconda della diffrazione. Qui invece sono considerati sia i massimi che i minimi, ma sono quelli dell'interferenza, trovati eguagliando a zero rispettivamente denominatore o numeratore.

Terza domanda: quando viene detto che il massimo di ordine $m$ non è visibile, significa che il massimo di ordine $m$ di interferenza è oscurato dal primo ordine di diffrazione? Non potrebbe essere oscurato dal secondo, oppure voler dire che lo schermo non è abbastanza lungo (come quando si calcola, in un'interferenza, il massimo ordine visibile)?

Grazie infinite.

[cooper1]

"Silence":Prima domanda

non si usano mai un po' perchè poco rilevanti, un po' perchè la loro derivazione è più complicata di quella dei minimi. per questi infatti riusciamo a fare considerazioni trigonometriche perchè studiamo la differenza di cammino ottico rispetto al minimo centrale. con i massimi tutte queste verità sono perse e la loro derivazione si complica. quello che voglio dire è che i minimi non si trovano annullando l'intensità come hai detto ma si nota solo che questa si annulla esattamente in corrispondenza dei minimi, ma non è lei appunto a determinarli

"Silence":Seconda domanda

si e qualitativamente si hanno i dischi di Airy

"Silence":Qui invece sono considerati sia i massimi che i minimi, ma sono quelli dell'interferenza, trovati eguagliando a zero rispettivamente denominatore o numeratore.

considerazione analoga a prima. anche perchè non è che puoi annullare i pezzi di formula che interessano e basta

"Silence":Terza domanda

il problema secondo me riguarda più che altro la risoluzione del reticolo ed il fatto che $m_(\text{max})

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[Silence1]

In primo luogo grazie infinite per l'aiuto. Ho un solo dubbio a questo punto:

"cooper":
[quote="Silence"]Qui invece sono considerati sia i massimi che i minimi, ma sono quelli dell'interferenza, trovati eguagliando a zero rispettivamente denominatore o numeratore.

considerazione analoga a prima. anche perchè non è che puoi annullare i pezzi di formula che interessano e basta
[/quote]

Anche a me lascia perplesso il considerare solo la prima parte, ma ho svolto e studiato diversi esercizi che usano questa meccanica. Facendo un po' di archeologia digitale ho anche trovato questo post di 4 anni fa:

"Light_":

per il reticolo di diffrazione vale la formuletta :

$I(vartheta)=I_0(sin((Npidsinalpha)/(lambda))/sin((pidsinalpha)/(lambda)))^2(sin((piasinalpha)/(lambda))/((piasinalpha)/(lambda)))^2 $

Lascimo stare per il momento il contributo modulatore della diffrazione , occupiamoci dei massimi e minimi d'interferenza:

Si hanno dei massimi quando :

$ (pidsinalpha)/(lambda)=mpi $ con $m=0,+-1,+-2...$

Si hanno dei minimi quando :

$ (Npidsinalpha)/(lambda)=mpi $ con $m=+-1,+-2...$

Mi rendo conto che ha scritto "dei" massimi e non "i" massimi, ma è esattamente ciò che abbiamo usato anche ad esercitazione. Allego un'immagine di una delle nostre esercitazioni, ti prego di scusare la grafia aliena, non è la mia. Ci ho messo quasi più tempo a decifrarla che non a impararmi la diffrazione intera...





Forse mi son perso qualcosa io e non è quello che intendi? O forse per quella che è la nostra preparazione semplicemente ci accontentiamo?

Ancora grazie!

[cooper1]

le formule sono giuste ma è il modo con cui che arrivi a quelle che mi sembra sbagliato. non le ottieni prendendo una volta il numeratore ed annullandolo ed una volta il denominatore ed annullandolo.

[cooper1]

vedendo l'immagine non saprei. non ho mai visto farla al rovescio, a questo punto non saprei che dirti. secondo me non è corretto, ma professore (nè tantomeno esperto) non sono.

[Silence1]

D'accordo, continuo a cercare, ti ringrazio molto!

[anonymous_0b37e9]

"Silence":
... non mi sono mai imbattuto nei massimi di diffrazione ...

Intensità in funzione di $\theta$

$[\alpha=(\pia)/\lambdasin\theta] rarr [I_\theta=I_0(sin^2\alpha)/\alpha^2]$

Derivata

$(dI_\theta)/(d\theta)=(dI_\theta)/(d\alpha)(d\alpha)/(d\theta)=I_0(2\alpha^2cos\alphasin\alpha-2\alphasin^2\alpha)/\alpha^4(\pia)/\lambdacos\theta=(2I_0\piacos\theta)/\lambda(sin\alpha(\alphacos\alpha-sin\alpha))/\alpha^3$

Condizione per i minimi e i massimi

$(dI_\theta)/(d\theta)=0 rarr sin\alpha(\alphacos\alpha-sin\alpha)=0$

Minimi

$sin\alpha=0$

Massimi

$tg\alpha=\alpha$

In definitiva, per determinare la posizione dei massimi è necessario risolvere numericamente la seguente equazione:

$tg\alpha=\alpha$

e, dopo aver determinato $\alpha$, determinare $\theta$ mediante la prima relazione di cui sopra:

$\alpha=(\pia)/\lambdasin\theta$

[Silence1]

Ecco, ora capisco, questi concetti non li abbiamo approfonditi. In fondo stiamo dando solo una spazzata all'ottica come corollario dell'elettromagnetismo, la dimostrazione che ho io è ben più superficiale.
Curiosità: risolvere $tgalpha=alpha$ significa trovare quel valore di $alpha$ sufficientemente piccolo per cui si può adottare quell'uguaglianza, (cioè che per $alpha$ piccolo si ha $tgalpha~sinalpha~alpha$), o è proprio da risolvere?

[anonymous_0b37e9]

Trattandosi di una relazione esatta:

$I_\theta=I_0(sin^2\alpha)/\alpha^2$

non c'è alcun motivo per cui $\alpha$ debba essere sufficientemente piccolo. Quindi, basta risolvere numericamente:

$tg\alpha=\alpha$

con la precisione voluta.

[Silence1]

Perfetto, ti ringrazio moltissimo per l'aiuto!

[ospiteee]

"Silence":D'accordo, continuo a cercare, ti ringrazio molto!

Spero di non aver frainteso il problema, provo a dare il mio contributo.
Le considerazioni che si fanno sulle differenze di cammini ottici sono molto utili in quanto, quando possibile, consentono di arrivare a risultati notevoli in modo molto semplice e intuitivo. In realtà le cose si complicano abbastanza facilmente (se avessi aperture con forme strane cosa potrebbe succedere?). Un modo più rigoroso per giungere ai risultati di interferenza e diffrazione è, ad esempio, questo: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_optics (tra l'altro la derivazione della formula per l'interferenza di N fenditure la trovo molto interessante, si utilizza il pettine di Dirac, nel caso fossi interessato).

Comunque, tornando al problema, una volta trovata la formula che descrive l'intensità in funzione dell'angolo con l'asse del reticolo si tratta solo di interpretarla e capirne l'andamento. Potresti metterti a derivare e troveresti i risultati attesi, però puoi vederla in modo più intuitivo. Allego un grafico in modo che si capisca meglio quello che sto scrivendo (in rosso il numeratore, in verde il denominatore, in blu il loro rapporto normalizzato).



Tralasciando il fattore della diffrazione la formula è:
$$
I(\theta)=I_0\frac{\sin^2(N\delta)}{\sin^2(\delta)}, \quad \text{con } \delta=\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}
$$
Il numeratore è una contrazione del denominatore (in modo brutale oscilla più velocemente), quindi ci saranno una serie di punti in cui il numeratore è zero e il denominatore è diverso da zero. In questi casi non ci sono problemi: l'intensità è zero e quindi c'è un minimo. Il problema sorge quando il denominatore si annulla (e ovviamente il numeratore visto che ha come argomento un multiplo dell'argomento del seno al denominatore): in questi punti la funzione non è definita, ma si può dimostrare che è prolungabile con continuità. Si ha che per $\delta \to 0$ (ma analogamente anche per $\delta \to m\pi$) approssimiamo al primo ordine i due seni ($sinx \approx x$ ): risulta quindi
$$
I(\theta) \approx I_0 \frac{N^2 \delta ^2}{\delta^2}=I_0N^2
$$

(coerente con il risultato noto delle due fenditure, in cui l'intensità dei massimi è quattro volta quella delle sorgenti).

(Non ho capito cosa ho sbagliato nell'inserire l'immagine, però la parte importante si vede lo stesso)

[Silence1]

Eh, magari ci avessero dato queste spiegazioni invece che semplici esercitazioni sintetiche. Molto interessante, ti ringrazio moltissimo. Per caso hai anche un'ipotesi sul perchè allora nelle immagini che ho aggiunto, consideri i massimi semplicemente azzerando il denominatore? Soprattutto visto che la funzione è indeterminata.

[ospiteee]

Posso provare a fare un'ipotesi, ma il professore sicuramente avrà avuto i suoi buoni motivi

L'unico motivo che mi viene in mente è questo: si parte dall'evidenza sperimentale che da qualche parte ci sono dei massimi "più massimi" degli altri (questo per un reticolo con più di due fenditure), a questo punto si cerca di maggiorare l'intensità minimizzando il denominatore (ovvero mandando a zero il seno). In questo modo però non ci si fanno troppe preoccupazioni circa la conservazione dell'energia (se il denominatore tende a zero la funzione potrebbe andare anche a infinito se non si studiasse il numeratore).

Questo approccio potrebbe essere sufficiente nel caso si studiasse l'argomento come una minima parte di elettromagnetismo magari in ingegneria, però a mio parere a questo punto sarebbe meglio non stare a scomodare una formula che, non studiata accuratamente, non dice praticamente nulla, soprattutto perché non necessario. Come qualcun altro ha detto sopra c'è un modo molto più intuitivo per ricavare i massimi: le N sorgenti del reticolo devono essere tutte in fase (ovvero devono avere una differenza di cammino ottico di una lunghezza d'onda), che si traduce nella condizione $d\sin\theta=m\lambda$ (qui trovi un disegnino che ti fa capire un po' meglio.

Questa è ovviamente la mia opinione comunque, quindi può essere che ci siano altre validissime ragioni che io non riesco a vedere!

[Silence1]

Beh è comunque ben più di quanto non abbia saputo intuire io. E ci hai pure visto giusto riguardo il contesto, è un corollario dell'elettromagnetismo, quindi magari è davvero un po' "buttata lì". In ogni caso grazie mille per l'aiuto e per i disegni, sono stati entrambi particolarmente utili.

A questo punto però ho un ultimo (spero) dubbio. Hai detto che per ottenere i massimi di diffrazione serve che tutte le fonti siano in fase. Eppure quando considero una fessura, sapendo che l'intensità di diffrazione è

$I=I_0sin^2(delta/2)/(delta/2)^2, delta=(2pi)/lambdaasintheta$, i suoi zeri si trovano per $pi/lambdaasintheta=mpi -> asintheta=mlambda$, che è la condizione di massimo di interferenza. Cosa mi sto perdendo?

[ospiteee]

Figurati! Comunque non sono cose che ho intuito personalmente, ho seguito un corso proprio su queste cose, quindi credo sia normalissimo non riuscire a intuirle quando questi argomenti vengono trattati marginalmente

Per quanto riguarda il tuo dubbio non ti stai perdendo nulla, anche qui si può arrivare al medesimo risultato in due modi.
Supponendo di avere in qualche modo ricavato la funzione che descrive come viene distribuita l'intensità è sufficiente capire un po' come è fatta: in questo caso al numeratore hai solo $\sin(\frac{\delta}{2})$ e il denominatore si annulla solo quando $\delta=0$, quindi non crea problemi altrove. infatti quando hai $\sin(\frac{\delta}{2})=0$ ma $\delta\ne 0$ l'intensità risulta ovviamente nulla.

Chiaro che come spiegazione non è molto soddisfacente dal punto di vista fisico. La ragione più "profonda" risiede nel fatto che c'è stato un passaggio al continuo, ora non hai più un numero finito di sorgenti puntiformi che fanno interferenza, ma ne hai un numero infinito! Questo implica che le differenze di cammini ottici (e quindi gli sfasamenti) non sono più "fissi", ma sono anch'essi continui. In questo caso è facile trovare una condizione geometrica che associ a una sorgente arbitraria un'altra sorgente che sia in controfase. Il risultato è che ogni sorgente ha la sua "gemella" che la annulla, sommando il tutto si arriva a un minimo. Fare gli accoppiamenti è facile: prendi la "prima" sorgente attaccata all'inizio dell'apertura e quella in mezzo, quando la differenza di cammino ottico tra queste è di mezza lunghezza d'onda, anche le due sorgenti appena sotto hanno la stessa differenza di fase tra di loro (per ragioni geometriche evidenti con sotto gli occhi un disegno) e quindi sono anch'esse in controfase. In questo modo esaurisci le infinite sorgenti che si annullano a due a due.
Qui puoi trovare una spiegazione con dei disegni (che rendono il tutto molto più chiaro) al paragrafo 14.5.

Potrebbe sorgere un'ulteriore domanda però: perché non posso fare lo stesso ragionamento anche con i massimi? Perché così facendo riesci a trovare sorgenti che hanno tra di loro la stessa differenza di fase, ma per avere un massimo hai bisogno che tutte le sorgenti siano in fase, non che lo siano a due a due. Ogni coppia di sorgenti in fase è leggerissimamente sfasata rispetto alla coppia appena sotto: il risultato è che, sommando infinite coppie con infiniti sfasamenti diversi il risultato è zero. Puoi anche vederla in un altro modo: hai associato alla prima sorgente quella in mezzo, imponendo che abbiano una differenza di fase, ad esempio, di una lunghezza d'onda; ora prendi la sorgente che sta in mezzo a queste due (quindi che si trova a un quarto dell'apertura), ti sei appena ricondotto al caso precedente dei minimi. Infatti la sorgente appena sotto a quella iniziale sarà in controfase rispetto a quella appena sotto alla sorgente che si trova a un quarto dell'apertura e così via, non volendolo sei finito di nuovo a trovare dei minimi.

Chiudo il papiro con una considerazione di Feynman che io ho trovato per certi versi illuminante, tratta da qui:

This chapter is a direct continuation of the previous one, although the name has been changed from Interference to Diffraction. No one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage, and there is no specific, important physical difference between them. The best we can do, roughly speaking, is to say that when there are only a few sources, say two, interfering, then the result is usually called interference, but if there is a large number of them, it seems that the word diffraction is more often used.

In sintesi: il fenomeno che si descrive è lo stesso e utilizzando gli strumenti matematici adatti ci si rende conto che c'è ben poca differenza tra come viene trattata l'interferenza e la diffrazione. Ciò che è determinante è la differenza tra la somma un numero finito di addendi e la somma di infiniti termini (in ambito fisico un integrale): bisogna fare un po' più di attenzione, ma a questo punto è più una questione matematica che fisica

[Silence1]

Magnifico, con questo penso di avere le idee chiare. Ancora grazie infinite, sei stato a dir poco illuminante, non avevo proprio considerato il passaggio al continuo. Avevo letto della fase a coppie, ma per qualche motivo non avevo collegato le due cose. E in effetti sì, interferenza e diffrazione sono praticamente l'una il "multiplo" dell'altra, tant'è vero che il primo termine dell'intensità di un reticolo di diffrazione è il contributo dell'interferenza...
Beh, a questo punto direi che posso anche slittare verso la birifrangenza. Ti ringrazio tantissimo ancora per l'aiuto e per i link (che mi sono salvato), buona serata!