Dubbi sullo schema di Heisenberg
Salve a tutti. Sto studiando una prima introduzione alla meccanica quantistica. Il libro che sto consultando è il Nardulli. Non lo trovo un gran libro, ma il mio professore si attiene fedelmente a questo e quindi vorrei almeno una prima volta studiare da qui.
Il grande problema è che molte cose di algebra e geometria o non le ricordo bene o peggio non le ho mai studiate (nel senso proprio che non ci erano mai state fatte vedere). Quindi in mezzo a operatori hermitiani e altre cose (per me) strane ho più di qualche dubbio.
Lo schema di Heisenberg consiste nel lasciare invariato lo stato (il ket) e procedere a una trasformazione temporale dell'operatore applicato. La trasformazione è unitaria ed è quindi del tipo
\[ A_H(t)=U^{\dagger}(t)AU(t), \]
che nasce dalla trasformazione dei vettori di base \[ |x>\to U^{\dagger} (t)|x>. \]
Derivando rispetto al tempo (supponendo una dipendenza di $A_H$ da tempo esplicita):
\[ \frac{dA_H}{dt}=\frac{dU^{\dagger}}{dt}AU+U^{\dagger}A\frac{dU}{dt}+U^{\dagger}\frac{\partial A}{\partial t}U. \]
Ora la trasformazione temporale è legata all'operatore di Hamilton mediante la formula
\[ i\hbar\frac{dU}{dt}=HU, \]
sicché il libro dice che si arriva a
\[ \frac{dA_H}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[A_H,H]+\frac{\partial A_H}{\partial t}. \]
Ora ciò che non capisco è questo:
se sviluppo il commutatore ottengo (non considero il coefficiente con la costante di Plank per agilità di scrittura)
\[ [A_H,H]=A_HH-HA_H=U^\dagger AUH-HU^\dagger AU. \]
Il dubbio è: io mi ritrovo $UH$ e non $HU$ quindi è ancora lecito sostituire il primo addendo con ${dU}/dt$? E poi il secondo termine per forza di cose cambia segno... Sarà dovuto al fatto di avere
\[ HU^\dagger=H^\dagger U^\dagger ?\]
Insomma io non capisco la comparsa del meno e il fatto di scambiare $HU$ con $UH$.
Chiedo scusa se non mi sono espresso chiaramente ma la cosa non è chiara nemmeno a me
Spero che qualcuno mi possa aiutare e lo ringrazio tanto
.
Il grande problema è che molte cose di algebra e geometria o non le ricordo bene o peggio non le ho mai studiate (nel senso proprio che non ci erano mai state fatte vedere). Quindi in mezzo a operatori hermitiani e altre cose (per me) strane ho più di qualche dubbio.
Lo schema di Heisenberg consiste nel lasciare invariato lo stato (il ket) e procedere a una trasformazione temporale dell'operatore applicato. La trasformazione è unitaria ed è quindi del tipo
\[ A_H(t)=U^{\dagger}(t)AU(t), \]
che nasce dalla trasformazione dei vettori di base \[ |x>\to U^{\dagger} (t)|x>. \]
Derivando rispetto al tempo (supponendo una dipendenza di $A_H$ da tempo esplicita):
\[ \frac{dA_H}{dt}=\frac{dU^{\dagger}}{dt}AU+U^{\dagger}A\frac{dU}{dt}+U^{\dagger}\frac{\partial A}{\partial t}U. \]
Ora la trasformazione temporale è legata all'operatore di Hamilton mediante la formula
\[ i\hbar\frac{dU}{dt}=HU, \]
sicché il libro dice che si arriva a
\[ \frac{dA_H}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[A_H,H]+\frac{\partial A_H}{\partial t}. \]
Ora ciò che non capisco è questo:
se sviluppo il commutatore ottengo (non considero il coefficiente con la costante di Plank per agilità di scrittura)
\[ [A_H,H]=A_HH-HA_H=U^\dagger AUH-HU^\dagger AU. \]
Il dubbio è: io mi ritrovo $UH$ e non $HU$ quindi è ancora lecito sostituire il primo addendo con ${dU}/dt$? E poi il secondo termine per forza di cose cambia segno... Sarà dovuto al fatto di avere
\[ HU^\dagger=H^\dagger U^\dagger ?\]
Insomma io non capisco la comparsa del meno e il fatto di scambiare $HU$ con $UH$.
Chiedo scusa se non mi sono espresso chiaramente ma la cosa non è chiara nemmeno a me
Spero che qualcuno mi possa aiutare e lo ringrazio tanto
.
Risposte
Devi trasformare pure $H$.
$H_I=U^{\dagger} H_S U$
$H_I=U^{\dagger} H_S U$
Ci ho riflettuto un po' e ho trovato qualche informazione in più. Innanzitutto la cosa non dovrebbe dipendere dalla dipendenza temporale di $H$, o meglio dovrebbe funzionare anche se $H$ non dipende esplicitamente dal tempo, per cui non viene trasformata da $U$ e dunque commuta con $U$:
\[ U^\dagger HU=H \implies UU^\dagger HU =UH \implies HU=UH \iff [H,U]=0. \]
Poi ho riflettuto un attimo sulla formula
\[ i\hbar \frac{dU(t)}{dt}=HU(t) \]
che, considerando i "coniugati" di entrambi i membri, porta a
\[ U^\dagger H = \frac{dU^\dagger}{dt}\hbar i^*=-i\hbar \frac{dU^\dagger}{dt}. \]
Il problema della commutazione si risolve considerando che $H$ non si trasforma sotto $U$, mentre il problema del segno dovrebbe venir risolto nel considerare il complesso coniugato di $i$.
C'è solo un piccolo piccolo problema... non sono per nulla sicuro di ciò che ho scritto
Mi sembrano cose di buon senso, ma davvero mi hanno buttato in mezzo a questa meccanica quantistica e finché non riprendo un po' di matematica persa per strada e faccio un po' di pratica avrò sicuramente di queste difficoltà.
\[ U^\dagger HU=H \implies UU^\dagger HU =UH \implies HU=UH \iff [H,U]=0. \]
Poi ho riflettuto un attimo sulla formula
\[ i\hbar \frac{dU(t)}{dt}=HU(t) \]
che, considerando i "coniugati" di entrambi i membri, porta a
\[ U^\dagger H = \frac{dU^\dagger}{dt}\hbar i^*=-i\hbar \frac{dU^\dagger}{dt}. \]
Il problema della commutazione si risolve considerando che $H$ non si trasforma sotto $U$, mentre il problema del segno dovrebbe venir risolto nel considerare il complesso coniugato di $i$.
C'è solo un piccolo piccolo problema... non sono per nulla sicuro di ciò che ho scritto
Mi sembrano cose di buon senso, ma davvero mi hanno buttato in mezzo a questa meccanica quantistica e finché non riprendo un po' di matematica persa per strada e faccio un po' di pratica avrò sicuramente di queste difficoltà.
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