Dubbi sull'energia di una distribuzione di cariche
Ciao a tutti, ho dei dubbi sull'energia di una distribuzione di cariche, più precisamente riguardo alle differenze delle espressioni valide per distribuzioni continue e discrete.
Per una distribuzione discreta si ha $$U = \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_i V(r_i)$$ mentre per una distribuzione continua si ha $$U = \dfrac{\epsilon_0}{2}\int_{spazio}\vec{E}^2 d\tau$$
Guardando le due espressioni due domande sorgono spontanee:
1. L'energia sta nel campo o nella carica?
2. Come mai l'energia elettrostatica nel caso discreto può essere sia positiva che negativa mentre nel caso continuo è sempre definita positiva?
Qualcuno saprebbe spiegarlo? Grazie in anticipo.
Per una distribuzione discreta si ha $$U = \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_i V(r_i)$$ mentre per una distribuzione continua si ha $$U = \dfrac{\epsilon_0}{2}\int_{spazio}\vec{E}^2 d\tau$$
Guardando le due espressioni due domande sorgono spontanee:
1. L'energia sta nel campo o nella carica?
2. Come mai l'energia elettrostatica nel caso discreto può essere sia positiva che negativa mentre nel caso continuo è sempre definita positiva?
Qualcuno saprebbe spiegarlo? Grazie in anticipo.
Risposte
Avrei voluto risponderti, ma mi accorgo che la questione mi mette in crisi.
Non tanto il punto 1), a cui mi pare si possa rispondere sostanzialmente "Dipende", oppure, più estesamente: "dipende dal modo specifico in cui vuoi estrarre energia da una certa configurazione".
Per esempio, se hai un campo elettrico NON generato da cariche, come in un'onda e.m. , se cariche non ce ne sono, la risposta è unica. Oppure, se hai due particelle cariche vicine, e le lasci allontanare, ottieni del lavoro dal moto delle particelle; però anche il campo nel frattempo diminuisce... la puoi vedere un po' come vuoi.
La crisi invece viene da 2), e anch'io auspico che qualcuno che ne sa di più chiarisca la situazione.
Ho una mia idea, un po' informe, che è questa.
Immagina due cariche si segno opposte, piccole (non puntiformi, così ci togliamo di mezzo le singolarità).
Se si trovano ad una certa distanza d, l'energia del sistema è negativa: occorre del lavoro per separarle e portarle all'infinito.
Però, il campo che producono quando sono a distanza d ha un'energia positiva: e allora? (è la tua domanda).
Allora direi: quando hai separato le cariche, non sei in una situazione in cui il campo è nullo dappertutto, abbiamo invece DUE campi dovuti ad una singola particella, campi che hanno ciascuno una sua energia, la cui somma è SUPERIORE a quella del campo iniziale. La DIFFERENZA è il lavoro che abbiamo fornito.
In sostanza: se esprimi l'energia come integrale di $E^2$ questo si azzera se e solo se E è nullo dappertutto.
Ma se usi la forma discreta, il campo non si annulla mai, al massimo ottieni una sommatoria di campi di particella singola.
Non tanto il punto 1), a cui mi pare si possa rispondere sostanzialmente "Dipende", oppure, più estesamente: "dipende dal modo specifico in cui vuoi estrarre energia da una certa configurazione".
Per esempio, se hai un campo elettrico NON generato da cariche, come in un'onda e.m. , se cariche non ce ne sono, la risposta è unica. Oppure, se hai due particelle cariche vicine, e le lasci allontanare, ottieni del lavoro dal moto delle particelle; però anche il campo nel frattempo diminuisce... la puoi vedere un po' come vuoi.
La crisi invece viene da 2), e anch'io auspico che qualcuno che ne sa di più chiarisca la situazione.
Ho una mia idea, un po' informe, che è questa.
Immagina due cariche si segno opposte, piccole (non puntiformi, così ci togliamo di mezzo le singolarità).
Se si trovano ad una certa distanza d, l'energia del sistema è negativa: occorre del lavoro per separarle e portarle all'infinito.
Però, il campo che producono quando sono a distanza d ha un'energia positiva: e allora? (è la tua domanda).
Allora direi: quando hai separato le cariche, non sei in una situazione in cui il campo è nullo dappertutto, abbiamo invece DUE campi dovuti ad una singola particella, campi che hanno ciascuno una sua energia, la cui somma è SUPERIORE a quella del campo iniziale. La DIFFERENZA è il lavoro che abbiamo fornito.
In sostanza: se esprimi l'energia come integrale di $E^2$ questo si azzera se e solo se E è nullo dappertutto.
Ma se usi la forma discreta, il campo non si annulla mai, al massimo ottieni una sommatoria di campi di particella singola.
Nel capitolo 1 del Jackson, Elettrodinamica classica è presente una spiegazione:
Quindi, riassumendo, la risposta alla mia domanda 2 è che l'energia di una distribuzione discreta può essere negativa perché tiene conto solo dell'energia di interazione e non delle "auto-energie"?
Certamente.
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