Dubbi sul tempo proprio in RG
Se la distanza per eventi che avvengono nello stesso punto è $ds^2=c^2(d(tau))^2=g_(00)(dx^0)^2$ ottengo che la relazione tra il $tau$ e $x^0$ è
$tau=1/cintsqrt(g_(00))dx^0$
Ho provato a calcolare $tau$ usando la metrica di Schwarzschild, dato che $x^0=ct$ quello che ottengo è
$tau=sqrt(1-r_g/r)t$
Non mi sembra di aver chiaro cosa significhi questa formula e dove si debba misurare la coordinata $t$. Oltre tutto questa formula appare diversa nel libro di Barone, la 11.252 scrive $dt=(d(tau))/(1-r_s/r)$
Per sempio se uno sperimentatore a distanza $4r_g$ misura $10s$ tra due eventi (l'evento uno è una posizione della lancetta, il 2 un'altra posizione) cosa misuro ad un'altra distanza?
http://it.wikipedia.org/wiki/Dilatazion ... itazionale
wikipedia mi dice quel tempo t è misurato a distanza infinita quindi
$t=tau/(sqrt(3/4))=11,55s$.
Ma se volessi trovare il tempo $t$ ad una distanza finita cosa dovrei fare? E inoltre, è giusta questa formula?
$tau=1/cintsqrt(g_(00))dx^0$
Ho provato a calcolare $tau$ usando la metrica di Schwarzschild, dato che $x^0=ct$ quello che ottengo è
$tau=sqrt(1-r_g/r)t$
Non mi sembra di aver chiaro cosa significhi questa formula e dove si debba misurare la coordinata $t$. Oltre tutto questa formula appare diversa nel libro di Barone, la 11.252 scrive $dt=(d(tau))/(1-r_s/r)$
Per sempio se uno sperimentatore a distanza $4r_g$ misura $10s$ tra due eventi (l'evento uno è una posizione della lancetta, il 2 un'altra posizione) cosa misuro ad un'altra distanza?
http://it.wikipedia.org/wiki/Dilatazion ... itazionale
wikipedia mi dice quel tempo t è misurato a distanza infinita quindi
$t=tau/(sqrt(3/4))=11,55s$.
Ma se volessi trovare il tempo $t$ ad una distanza finita cosa dovrei fare? E inoltre, è giusta questa formula?
Risposte
"Spremiagrumi":
Se la distanza per eventi che avvengono nello stesso punto è $ ds^2=c^2(d(tau))^2=g_(00)(dx^0)^2 $ ottengo che la relazione tra il $ tau $ e $ x^0 $ è
$ tau=1/cintsqrt(g_(00))dx^0 $
Ho provato a calcolare $ tau $ usando la metrica di Schwarzschild, dato che $ x^0=ct $ quello che ottengo è
$ tau=sqrt(1-r_g/r)t $
Non mi sembra di aver chiaro cosa significhi questa formula e dove si debba misurare la coordinata $ t $.
La $t$ è una $\Deltat$ misurata "a grande distanza" dalla sorgente del campo, dove la correzione relativistica del tempo praticamente è trascurabile. Concordo con te che non è chiaro "dove" si debba misurare il tempo coordinato.
Comunque la formula è corretta : $d\tau = sqrtg_(00)dt$ . Dà un'occhiata qui :
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hb ... im.html#c5
Oltre tutto questa formula appare diversa nel libro di Barone, la 11.252 scrive $ dt=(d(tau))/(1-r_s/r) $
Per esempio se uno sperimentatore a distanza $ 4r_g $ misura $ 10s $ tra due eventi (l'evento uno è una posizione della lancetta, il 2 un'altra posizione) cosa misuro ad un'altra distanza?
http://it.wikipedia.org/wiki/Dilatazion ... itazionale
wikipedia mi dice quel tempo t è misurato a distanza infinita quindi
$ t=tau/(sqrt(3/4))=11,55s $.
Ma se volessi trovare il tempo $ t $ ad una distanza finita cosa dovrei fare? E inoltre, è giusta questa formula?
la formula del libro di Barone è nel paragrafo 11.16.5 , dove si studia il moto di una particella in caduta radiale sulla superficie $r = R_S$, con momento angolare nullo e energia di riposo a distanza infinita pari a $E = mc^2$ . Per cui risulta :
$((dr)/(d\tau))^2 = (2GM)/r$
Proseguendo, si vede che il tempo proprio impiegato dalla particella a cadere da una distanza $R$ sulla superficie di Sch. è finito (formula 11.250). Così pure è finito il tempo proprio per arrivare a $r = 0 $ ( formula 251) .
Invece per calcolare il "tempo coordinato" si parte dalla 11.166 :
$(1-R_S/r)(dt)/(ds) = E/(mc^3)$
dove ponendo $E = mc^2$ si ricava la 11.252 : $ dt = (d\tau)/(1-R_S/r)$
E l'integrale del tempo coordinato $dt$ diverge rispetto a $r$ , per cui il tempo coordinato tende all'infinito.
Non ci sono contraddizioni nelle formule, secondo me.
Ma credo che il tuo esempio numerico non vada bene, perché $dt$ e $d\tau$ sono quantità infinitesime , non puoi passare a quantità finite con una semplice sostituzione $r = 4R_S$ , devi fare un processo di integrazione, ti sembra?
LA pagina di Wikipedia lascia un po' a desiderare.
Avevo seguito i passaggi del Barone naturalmente, solo che mi lasciavano comunque perplesso...La conclusione è quindi che il tempo misurato da un osservatore esterno risulta diverso se la particella sta ferma nel campo o se sta in caduta radiale. E' corretto? Oltre tutto nella formula, essendo il corpo in caduta, volendo integrare dovrei fare
$Deltatau=int_0 ^tdt'(1-r_s/(r(t')))$
Ma il primo termine cosa significa? La particella ha cambiato la sua posizione nello spazio e il tempo "scorre diversamente" da un punto all'altro...quindi che cosa misura $Deltatau$?
Una seconda domanda
Se un osservatore all'interno di un campo gravitazionale a simmetria centrale misura un certo tempo col suo orologio cosa deve fare per sapere cosa misura un altro orologio all'interno dello stesso campo ma ad una distanza $r$ diversa?
Io ho pensato, misuro il tempo per un osservatore infinitamente lontano con $ tau=sqrt(1-r_g/r)t $ e poi faccio la formula inversa sostituendoci la nuova distanza che mi interessa. E' giusto?
PS nelle dispense di Ravanni che mi hai dato ho trovato il teorema di Birkhoff, dimostra come nel vuoto per un campo a simmetria centrale la metrica è statica e coincide con quella di Sch. Il libro di Landau parte proprio da quello per dimostrarlo.
$Deltatau=int_0 ^tdt'(1-r_s/(r(t')))$
Ma il primo termine cosa significa? La particella ha cambiato la sua posizione nello spazio e il tempo "scorre diversamente" da un punto all'altro...quindi che cosa misura $Deltatau$?
Una seconda domanda
Se un osservatore all'interno di un campo gravitazionale a simmetria centrale misura un certo tempo col suo orologio cosa deve fare per sapere cosa misura un altro orologio all'interno dello stesso campo ma ad una distanza $r$ diversa?
Io ho pensato, misuro il tempo per un osservatore infinitamente lontano con $ tau=sqrt(1-r_g/r)t $ e poi faccio la formula inversa sostituendoci la nuova distanza che mi interessa. E' giusto?
PS nelle dispense di Ravanni che mi hai dato ho trovato il teorema di Birkhoff, dimostra come nel vuoto per un campo a simmetria centrale la metrica è statica e coincide con quella di Sch. Il libro di Landau parte proprio da quello per dimostrarlo.
"Spremiagrumi":
Avevo seguito i passaggi del Barone naturalmente, solo che mi lasciavano comunque perplesso...La conclusione è quindi che il tempo misurato da un osservatore esterno risulta diverso se la particella sta ferma nel campo o se sta in caduta radiale. E' corretto?
Aspetta un attimo. L'osservatore esterno misura il tempo coordinato e basta. Il tempo proprio è misurato dall'orologio di quel disgraziato che sta cadendo verso il buco nero, passa l'orizzonte degli eventi e si schianta nella singolarità centrale, in un tempo proprio finito.
L'osservatore esterno vede invece, secondo lui, che quello in moto rallenta la caduta, la quale diventa infinitamente lunga nel tempo coordinato. Sull'orizzonte degli eventi l'immagine del cadente rimane congelata, per così dire, agli occhi dell'osservatore esterno.
Oltre tutto nella formula, essendo il corpo in caduta, volendo integrare dovrei fare
$Deltatau=int_0 ^tdt'(1-r_s/(r(t')))$
Ma il primo termine cosa significa? La particella ha cambiato la sua posizione nello spazio e il tempo "scorre diversamente" da un punto all'altro...quindi che cosa misura $Deltatau$?
Non ho capito.
Una seconda domanda
Se un osservatore all'interno di un campo gravitazionale a simmetria centrale misura un certo tempo col suo orologio cosa deve fare per sapere cosa misura un altro orologio all'interno dello stesso campo ma ad una distanza $r$ diversa?
Io ho pensato, misuro il tempo per un osservatore infinitamente lontano con $ tau=sqrt(1-r_g/r)t $ e poi faccio la formula inversa sostituendoci la nuova distanza che mi interessa. E' giusto?
Direi di si, ma non mi sento espertissimo in materia !
PS nelle dispense di Ravanini che mi hai dato ho trovato il teorema di Birkhoff, dimostra come nel vuoto per un campo a simmetria centrale la metrica è statica e coincide con quella di Sch. Il libro di Landau parte proprio da quello per dimostrarlo.
Grazie, andrò a guardarlo allora !
Aspetta un attimo. L'osservatore esterno misura il tempo coordinato e basta. Il tempo proprio è misurato dall'orologio di quel disgraziato che sta cadendo verso il buco nero, passa l'orizzonte degli eventi e si schianta nella singolarità centrale, in un tempo proprio finito.
L'osservatore esterno vede invece, secondo lui, che quello in moto rallenta la caduta, la quale diventa infinitamente lunga nel tempo coordinato. Sull'orizzonte degli eventi l'immagine del cadente rimane congelata, per così dire, agli occhi dell'osservatore esterno.
Fin qui ci sono. Dimmi se è corretto quanto segue
Sto cadendo dentro il buco nero (o comunque verso un corpo massivo) ancora lontano dal raggio di s, per me passa un certo tempo. Quanto tempo è passato per un osservatore esterno? Dovrei integrare questa formula $ dt = (d\tau)/(1-R_S/r) $.
Se invece sto seduto ad una certa distanza da $r_s$ senza muovermi e misuro un certo tempo $tau$ quanto tempo è passato per un osservatore esterno? La risposta me la questa formula inversa $ tau=sqrt(1-r_g/r)t $ che è uguale a quella del link che mi hai indicato.
Voglio dire, in una formula c'è la radice nell'altra no, ma sono anche due situazioni diverse. Che il tempo proprio sia quello misurato da chi è nel campo gravitazionale in un caso e da chi sta cadendo verso il centro nell'altro non ho dubbi. Il problema è relazionare questo tempo proprio col tempo coordinato.
Ferma tutto, ho capito il problema. Forse prima le idee non erano chiare, ma in queste materie è facile non averne, nessuno deve farsi maestro.
È un problema di RG, in cui un osservatore mobile cade radialmente verso la superficie del buco nero di Sch. provenendo dall'infinito, ed è osservato da un osservatore fisso.
Bisogna rendersi conto che per l'osservatore in caduta cambia il tempo proprio $\tau$ , ma per l'osservatore esterno cambia non solo il tempo coordinato $t$ ma anche la coordinata radiale $r$ ! Perciò , mentre solo localmente è giusta la relazione $d\tau = sqrt(g_(00))dt$, questo non è più vero per l'osservatore fisso quando cambia anche la coordinata radiale dell'oggetto su cui vuole fare valutazioni.
È un po' la stessa situazione che si ha in R. ristretta , quando si dice : $dt = \gammad\tau$ . Questa è valida localmente, quando lo spazio non muta. Ma quando muta, devi tener conto delle trasformazioni di Lorentz, per cui devi applicare :
$dt = \gammadt' + \gamma (vdx')/c^2 $ (con apice le coordinate dell' OI in moto, per il quale $dt' = d\tau$ = tempo proprio ).
E allora come si fa, nel caso nostro della caduta nel b.n. ?
Prendi l'elemento lineare di Sch. (fuori del b.n. , dove "Ricci = 0" ; poni : G = c = 1 , e segnatura della metrica (+,-,-,-) per comodità) . Assumi uguale a zero le due variazioni angolari . Ti rimane :
$d\tau^2 = (r-2M)/rdt^2 - r/(r-2M)dr^2$
È una metrica bidimensionale, il tensore metrico è diagonale. I coefficienti della metrica sono :
$ g_("tt") = (r-2M)/r $
$g_(rr) = -r/(r-2M)$
I coefficienti in forma controvariante li scrivi subito come inversi di questi. Quindi, hai gli strumenti per poter calcolare i simboli di Christoffel , e per poter scrivere le equazioni della geodetica descritta dal corpo in caduta.
Scritte le equazioni (sono due eq. differenziali, riportate col n.(3) nell'allegato seguente) , si devono integrare per determinare, in funzione del tempo proprio, la variazione di tempo coordinato e di coordinata radiale.
Siccome io non mi posso inventare niente, ti indico dove ho trovato e quindi tu puoi trovare il tutto, con i dettagli dei lunghi calcoli, che non riporto :
http://www.mathpages.com/rr/s6-04/6-04.htm
alla fine, si vede che mentre $\tau$ è finito il tempo coordinato $t$ tende ad infinito, come prima detto.
È notevole la formula (è messa prima della (8) ) :
$(dt)/(d\tau) = sqrt(1-(2M)/R)/(1-2M/r)$
tra il tempo coordinato di caduta rapportato al tempo proprio, per una caduta dalla distanza $R$ alla distanza $r$ .
È pure notevole il diagramma. LA formula finale per il tempo coordinato è alquanto complicata.
Questo sito delle "Reflections on relativity" è una miniera d'oro, si trovano idee e calcoli che non si trovano altrove.
È un problema di RG, in cui un osservatore mobile cade radialmente verso la superficie del buco nero di Sch. provenendo dall'infinito, ed è osservato da un osservatore fisso.
Bisogna rendersi conto che per l'osservatore in caduta cambia il tempo proprio $\tau$ , ma per l'osservatore esterno cambia non solo il tempo coordinato $t$ ma anche la coordinata radiale $r$ ! Perciò , mentre solo localmente è giusta la relazione $d\tau = sqrt(g_(00))dt$, questo non è più vero per l'osservatore fisso quando cambia anche la coordinata radiale dell'oggetto su cui vuole fare valutazioni.
È un po' la stessa situazione che si ha in R. ristretta , quando si dice : $dt = \gammad\tau$ . Questa è valida localmente, quando lo spazio non muta. Ma quando muta, devi tener conto delle trasformazioni di Lorentz, per cui devi applicare :
$dt = \gammadt' + \gamma (vdx')/c^2 $ (con apice le coordinate dell' OI in moto, per il quale $dt' = d\tau$ = tempo proprio ).
E allora come si fa, nel caso nostro della caduta nel b.n. ?
Prendi l'elemento lineare di Sch. (fuori del b.n. , dove "Ricci = 0" ; poni : G = c = 1 , e segnatura della metrica (+,-,-,-) per comodità) . Assumi uguale a zero le due variazioni angolari . Ti rimane :
$d\tau^2 = (r-2M)/rdt^2 - r/(r-2M)dr^2$
È una metrica bidimensionale, il tensore metrico è diagonale. I coefficienti della metrica sono :
$ g_("tt") = (r-2M)/r $
$g_(rr) = -r/(r-2M)$
I coefficienti in forma controvariante li scrivi subito come inversi di questi. Quindi, hai gli strumenti per poter calcolare i simboli di Christoffel , e per poter scrivere le equazioni della geodetica descritta dal corpo in caduta.
Scritte le equazioni (sono due eq. differenziali, riportate col n.(3) nell'allegato seguente) , si devono integrare per determinare, in funzione del tempo proprio, la variazione di tempo coordinato e di coordinata radiale.
Siccome io non mi posso inventare niente, ti indico dove ho trovato e quindi tu puoi trovare il tutto, con i dettagli dei lunghi calcoli, che non riporto :
http://www.mathpages.com/rr/s6-04/6-04.htm
alla fine, si vede che mentre $\tau$ è finito il tempo coordinato $t$ tende ad infinito, come prima detto.
È notevole la formula (è messa prima della (8) ) :
$(dt)/(d\tau) = sqrt(1-(2M)/R)/(1-2M/r)$
tra il tempo coordinato di caduta rapportato al tempo proprio, per una caduta dalla distanza $R$ alla distanza $r$ .
È pure notevole il diagramma. LA formula finale per il tempo coordinato è alquanto complicata.
Questo sito delle "Reflections on relativity" è una miniera d'oro, si trovano idee e calcoli che non si trovano altrove.
"navigatore":
Bisogna rendersi conto che per l'osservatore in caduta cambia il tempo proprio $\tau$ , ma per l'osservatore esterno cambia non solo il tempo coordinato $t$ ma anche la coordinata radiale $r$ ! Perciò , mentre solo localmente è giusta la relazione $d\tau = sqrt(g_(00))dt$, questo non è più vero per l'osservatore fisso quando cambia anche la coordinata radiale dell'oggetto su cui vuole fare valutazioni.
Era proprio quello che avevo in testa, non sono riuscito a farmi capire subito.
Grazie della risposta e della pagina web che vado a leggermi, se ho qualche altro dubbio scrivo.
Buona lettura!
Se vuoi qualcosa di più completo (ho fatto or ora una ricerca, l'avevo già messo questo link, ma lo rimetto perché mi sembra molto chiaro) vai al cap. 11 e in particolare al parag. 11.4.1 di queste dispense :
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf
qui la segnatura è (-,+,+,+) . In particolare le formule a cui far riferimento sono le 11.76 e 11.77 .
Ma come avrai duramente imparato, in GR puoi fare solo un passettino alla volta, la materia è difficile e quando vai nelle applicazioni diventa difficile anche la matematica.
Nel cap. 11 ci trovi la metrica di Sch. e la trattazione delle geodetiche in tale metrica, nei paragrafi 11.2 , 11.3 e 11.4 , per particelle sia con massa che senza massa . Però devi sapere quello che c'è prima.
È la parte più bella della RG , ma anche la più ostica. Ma se non sai il precedente, non puoi andare nel seguente. Io sto cercando di rispolverare ora proprio questa parte, e ti dirò che ho le mie brave difficoltà.
Coem dice Arturo, dovremmo contemplarla la Relatività , come un'opera d'arte!
E comunque, ti faccio i miei più vivi complimenti: stai facendo da solo uno sforzo enorme ed encomiabile, per capire una materia alquanto complessa. Tutto lavoro guadagnato per il prossimo anno !
Se vuoi qualcosa di più completo (ho fatto or ora una ricerca, l'avevo già messo questo link, ma lo rimetto perché mi sembra molto chiaro) vai al cap. 11 e in particolare al parag. 11.4.1 di queste dispense :
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf
qui la segnatura è (-,+,+,+) . In particolare le formule a cui far riferimento sono le 11.76 e 11.77 .
Ma come avrai duramente imparato, in GR puoi fare solo un passettino alla volta, la materia è difficile e quando vai nelle applicazioni diventa difficile anche la matematica.
Nel cap. 11 ci trovi la metrica di Sch. e la trattazione delle geodetiche in tale metrica, nei paragrafi 11.2 , 11.3 e 11.4 , per particelle sia con massa che senza massa . Però devi sapere quello che c'è prima.
È la parte più bella della RG , ma anche la più ostica. Ma se non sai il precedente, non puoi andare nel seguente. Io sto cercando di rispolverare ora proprio questa parte, e ti dirò che ho le mie brave difficoltà.
Coem dice Arturo, dovremmo contemplarla la Relatività , come un'opera d'arte!
E comunque, ti faccio i miei più vivi complimenti: stai facendo da solo uno sforzo enorme ed encomiabile, per capire una materia alquanto complessa. Tutto lavoro guadagnato per il prossimo anno !
Ti ringrazio per i complimenti, ma immagino che anche tu l'abbia studiata da solo a tuo tempo, non credo si studi in ingegneria. Pensa che da noi a Cagliari non la fanno nemmeno alla magistrale in fisica, nonostante ci siano una ventina di materie tra cui scegliere.
E' vero, la RG è una della più alte vette della creazione umana e in essa si fondono pensiero razionale, percezione estetica, sublime armonia. La RG dovrebbe essere annoverata fra le prove dell'esistenza di Dio.
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