Dubbi sul moto di un satellite
Ho dei dubbi sul moto di un satellite, e in particolare su come determinare il semiasse maggiore e minore di un'orbita, partendo solo dalla massa del satellite, dal suo raggio vettore, e della sua velocità, e dalla massa che funge da sole (o da un altro pianeta).
Supponendo che il vettore posizione ha le cordinate su x,y,z e lo stesso la sua velocità iniziale, posso trovarmi il momento angolare, che si conserva su tutto il moto. Il periodo del moto è:
$T= 2 \pi *(V_0)/r_0$
Ora sapendo che i pianeti secondo Keplero hanno orbite ellittiche:
$(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1$
e ricordando per via geometrica che:
$a = (d_1 + d_2)/2$ dove $a$ è il semiasse maggiore, $d_1$ è la distanza perielio - primo fuoco e $d_2$ la distanza primo fuoco - afelio
e facendo la considerazione sulla conservazione del momento angolare:
$d_1 V_1 = d_2 V_2$
non vedo abbasstanza equazioni per trovarmi $a$ e $b$, o sbaglio?
Supponendo che il vettore posizione ha le cordinate su x,y,z e lo stesso la sua velocità iniziale, posso trovarmi il momento angolare, che si conserva su tutto il moto. Il periodo del moto è:
$T= 2 \pi *(V_0)/r_0$
Ora sapendo che i pianeti secondo Keplero hanno orbite ellittiche:
$(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1$
e ricordando per via geometrica che:
$a = (d_1 + d_2)/2$ dove $a$ è il semiasse maggiore, $d_1$ è la distanza perielio - primo fuoco e $d_2$ la distanza primo fuoco - afelio
e facendo la considerazione sulla conservazione del momento angolare:
$d_1 V_1 = d_2 V_2$
non vedo abbasstanza equazioni per trovarmi $a$ e $b$, o sbaglio?
Risposte
l'espressione che hai scritto per il periodo è insensata poichè non tornano le dimensioni.Di solito si usa per determinare il periodo la terza di keplero
In effetti ho scritto io male:
$T = 2 pi r/V$
la terza di Keplero dice che:
$(T^2)/a^3 = K$
io no conosco nè $K$ nè $a$...
dovrei trovarmi $a$ e $b$ partendo da quello che conosco ovvero:
1, massa $m$ che si muove nel campo gravitazionale generato da $M$
2. raggio vettore $r_0$
3. velocità $V_0$
Quello che so:
conservazione momento angolare: $d_1 V_1 = d_2 V2$
conservazione energia meccanica: $E= - G M*m/r + 1/2 m *V^2$ applicabile al corpo con $r_0$, $V_0$, e in afelio e perielio.
equazione della ellisse
momento angolare iniziale del massa $m$ e velocità aereolare....
ma mettendo a sistema, non riesco a trovare $a$ nè $b$
[modificato]
il periodo per un'orbita ellisse è diversa da quella che io ho indicato ovvero:
$T = 2 \pi (a^3/2)/(G M)^(1/2)$
$T = 2 pi r/V$
la terza di Keplero dice che:
$(T^2)/a^3 = K$
io no conosco nè $K$ nè $a$...
dovrei trovarmi $a$ e $b$ partendo da quello che conosco ovvero:
1, massa $m$ che si muove nel campo gravitazionale generato da $M$
2. raggio vettore $r_0$
3. velocità $V_0$
Quello che so:
conservazione momento angolare: $d_1 V_1 = d_2 V2$
conservazione energia meccanica: $E= - G M*m/r + 1/2 m *V^2$ applicabile al corpo con $r_0$, $V_0$, e in afelio e perielio.
equazione della ellisse
momento angolare iniziale del massa $m$ e velocità aereolare....
ma mettendo a sistema, non riesco a trovare $a$ nè $b$
[modificato]
il periodo per un'orbita ellisse è diversa da quella che io ho indicato ovvero:
$T = 2 \pi (a^3/2)/(G M)^(1/2)$
Non ho capito, hai il raggio vettore e il vettore velocità in un punto dell'orbita?
Si, in un certo istante, il vettore posizione e la velocità del corpo $m$ valgono $r_0$ e $V_0$
Se hai il vettore posizione iniziale $\vec(r_0)$ e il vettore velocità iniziale $\vec(v_0)$ potresti procedere con gli strumenti della geometria analitica elementare.
Si sono vettori.
Ho appena trovato su delle slides di un corso di specialistica in matematica che a partire dai quei dati, e scrivendo l'energia meccanica sempre in quel punto, si ha:
$a= -G*M*m/(2*E)$ semiasse maggiore
$b = L*(- 1/(2*m*E))^(1/2)$ semiasse minore
con $L$ momento angolare: $L= m*r_0 *V_0*sin \theta$
però se lo avessi dovuto fare 'manualmente' come sarei dovuto pervernire a quei risultati? *_*
Ho appena trovato su delle slides di un corso di specialistica in matematica che a partire dai quei dati, e scrivendo l'energia meccanica sempre in quel punto, si ha:
$a= -G*M*m/(2*E)$ semiasse maggiore
$b = L*(- 1/(2*m*E))^(1/2)$ semiasse minore
con $L$ momento angolare: $L= m*r_0 *V_0*sin \theta$
però se lo avessi dovuto fare 'manualmente' come sarei dovuto pervernire a quei risultati? *_*
Hai letto il mio ultimo messaggio? Nel modo che ti ho indicato diventa un problema di geometria analitica:
$\vec(r_0)=r_(0x)\veci+r_(0y)\vecj$
$\vec(v_0)=v_(0x)\veci+v_(0y)\vecj$
$\{(r_(0x)^2/a^2+r_(0y)^2/b^2=1),((2r_(0x))/a^2*v_(0x)+(2r_(0y))/b^2*v_(0y)=0):} rarr \{(a^2=...),(b^2=...):}$
$\vec(r_0)=r_(0x)\veci+r_(0y)\vecj$
$\vec(v_0)=v_(0x)\veci+v_(0y)\vecj$
$\{(r_(0x)^2/a^2+r_(0y)^2/b^2=1),((2r_(0x))/a^2*v_(0x)+(2r_(0y))/b^2*v_(0y)=0):} rarr \{(a^2=...),(b^2=...):}$
Scusa si erano accavallati gli invii dei post
Mediante geometria analitica....
Io posto un disegno:
http://imageshack.us/photo/my-images/696/gravs.jpg/
considero il sistema di riferimento con origine uno dei fuochi, con massa $M$.
il raggio vettore può essere visto come ipotenusa di quel triangolo, e da li far considerazioni geometriche?
ponendo un cateto come $a-d_1$ e l'altro $b$ trovare una relazione che unita alle altre dovrebbe darmi tutti e tre i parametri..
Mediante geometria analitica....
Io posto un disegno:
http://imageshack.us/photo/my-images/696/gravs.jpg/
considero il sistema di riferimento con origine uno dei fuochi, con massa $M$.
il raggio vettore può essere visto come ipotenusa di quel triangolo, e da li far considerazioni geometriche?
ponendo un cateto come $a-d_1$ e l'altro $b$ trovare una relazione che unita alle altre dovrebbe darmi tutti e tre i parametri..
"speculor":
Hai letto il mio ultimo messaggio? Nel modo che ti ho indicato diventa un problema di geometria analitica:
$\vec(r_0)=r_(0x)\veci+r_(0y)\vecj$
$\vec(v_0)=v_(0x)\veci+v_(0y)\vecj$
$\{(r_(0x)^2/a^2+r_(0y)^2/b^2=1),((2r_(0x))/a^2*v_(0x)+(2r_(0y))/b^2*v_(0y)=0):} rarr \{(a^2=...),(b^2=...):}$
ho letto adesso la risposta di prima, dunque per la prima hai usato il passaggio per le cordinate x,y del punto.
La seconda invece hai fatto la derivata prima, o sbaglio?
Quel sistema risolve il caso generale. Se le condizioni iniziali sono tali da permettere un ragionamento più "fisico", è possibile procedere anche diversamente. In ogni modo, dovresti trovare il problema trattato "fisicamente" in molti manuali. La seconda condizione è la condizione di tangenza espressa in un modo che ti permette di risparmiare molti conti.
Nel mio manuale di fisica, non è citato nulla, nemmeno sotto forma di esercizio-teorico.
Grazie per la dritta!
Grazie per la dritta!
perchè queste cose non vengono trattate nei manuali di fisica uno, se ti interessa la meccanica celeste puoi
consultare il goldstain meccanica classica.
consultare il goldstain meccanica classica.
Spero di procurarmelo in biblioteca, grazie per il consiglio baldo89!
Tuttavia, ricordando come ha detto speculor, bastava davvero 2 equazioni standard dalla geometria analitica....
Io ho dato occhiata a questo pdf, interessante:
http://www.fisica.uniba.it/augelli/Comp ... ERSALE.pdf
pag 25\26. Li ci sono delle considerazioni energetiche per arrivare al risultato di $a$ e $b$.
Tuttavia, ricordando come ha detto speculor, bastava davvero 2 equazioni standard dalla geometria analitica....
Io ho dato occhiata a questo pdf, interessante:
http://www.fisica.uniba.it/augelli/Comp ... ERSALE.pdf
pag 25\26. Li ci sono delle considerazioni energetiche per arrivare al risultato di $a$ e $b$.
$\{(r_(0x)^2/a^2+r_(0y)^2/b^2=1),((2r_(0x))/a^2*v_(0x)+(2r_(0y))/b^2*v_(0y)=0):} rarr \{(a^2=-r_(0x)/v_(0y)(r_(0y)v_(0x)-r_(0x)v_(0y))),(b^2=+r_(0y)/v_(0x)(r_(0y)v_(0x)-r_(0x)v_(0y))):}$
Bisognerebbe esprimere $a^2$ e $b^2$ in funzione dell'energia meccanica $E$ e del momento angolare $L$. Il momento angolare $L$ si può introdurre facilmente:
$L/m=-r_(0y)v_(0x)+r_(0x)v_(0y) rarr \{(a^2=+r_(0x)/v_(0y)L/m),(b^2=-r_(0y)/v_(0x)L/m):}$
Introdurre l'energia meccanica $E$ mi sembra non poco complicato. Se qualche uomo di buona volontà vuole cimentarsi...
Bisognerebbe esprimere $a^2$ e $b^2$ in funzione dell'energia meccanica $E$ e del momento angolare $L$. Il momento angolare $L$ si può introdurre facilmente:
$L/m=-r_(0y)v_(0x)+r_(0x)v_(0y) rarr \{(a^2=+r_(0x)/v_(0y)L/m),(b^2=-r_(0y)/v_(0x)L/m):}$
Introdurre l'energia meccanica $E$ mi sembra non poco complicato. Se qualche uomo di buona volontà vuole cimentarsi...
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