Dubbi sul momento meccanico presente nel caso di non parallelismo tra $L$ e $\omega$ nella rotazione di un corpo rigido
Buonasera, mi piacerebbe molto chiarire alcuni dubbi sul moto di rotazione intorno ad un asse fisso di un corpo rigido, nel caso in cui il vettore momento angolare $\vec{L}$ non è parallelo alla velocità angolare $\vec{\omega}$.
In particolare si consideri un manubrio orizzontale con due masse $m$ uguali, costretto a ruotare intorno a un asse verticale $z$ non passante per il suo centro con velocità angolare $\omega$ costante. In questo caso $\vec{L}$, che è la somma dei momenti angolari delle due masse rispetto a un polo fissato sull'asse di rotazione, esegue un moto di precessione uniforme, dunque, mentre la componente parallela all'asse $z$ $L_{z}$ è costante, la componente ad esso perpendicolare $L_{n}$ descrive una circonferenza con velocità angolare $\omega$.
Dal teorema del momento angolare, in questo caso, $\vec{M}=frac{d\vec{L}}{dt} \ne 0$, dunque ci deve essere un momento generato da forze esterne. Poiché $\vec{L}$ segue un moto di precessione uniforme inoltre si ha $\vec{M}=frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\omega} \wedge \vec{L} \implies M= L_{n} \omega $ (1).
Il mio principale dubbio riguarda l'origine di tale momento meccanico. La forza esterna in questione dovrebbe essere la forza peso, che esercita un momento non nullo, visti i due bracci diversi. Tuttavia vi è anche la reazione del supporto del cilindro, che dovrebbe esercitare un momento uguale e contrario, dal momento che il manubrio rimane in tale posizione durante la rotazione. Ora se così è la somma di questi due momenti è zero, ma questo non può essere dato che $\vec{L}$ sta variando nel tempo. Non riesco a capire dove sto sbagliando: forse non devo considerare la reazione del sostegno?
Inoltre vorrei anche chiedere una cosa riguardo a $L_{n}$. Tale componente in generale dipende dal polo scelto per il calcolo del momento angolare, tuttavia (nel caso di precessione uniforme) vale (1). Dunque il momento applicato dalle forze esterne cambia a seconda di come scelgo il polo per il calcolo di $\vec{L}$? Il momento delle forze esterne calcolato con (1) si intende rispetto allo stesso polo usato per il calcolo di $\vec{L}$?
In particolare si consideri un manubrio orizzontale con due masse $m$ uguali, costretto a ruotare intorno a un asse verticale $z$ non passante per il suo centro con velocità angolare $\omega$ costante. In questo caso $\vec{L}$, che è la somma dei momenti angolari delle due masse rispetto a un polo fissato sull'asse di rotazione, esegue un moto di precessione uniforme, dunque, mentre la componente parallela all'asse $z$ $L_{z}$ è costante, la componente ad esso perpendicolare $L_{n}$ descrive una circonferenza con velocità angolare $\omega$.
Dal teorema del momento angolare, in questo caso, $\vec{M}=frac{d\vec{L}}{dt} \ne 0$, dunque ci deve essere un momento generato da forze esterne. Poiché $\vec{L}$ segue un moto di precessione uniforme inoltre si ha $\vec{M}=frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\omega} \wedge \vec{L} \implies M= L_{n} \omega $ (1).
Il mio principale dubbio riguarda l'origine di tale momento meccanico. La forza esterna in questione dovrebbe essere la forza peso, che esercita un momento non nullo, visti i due bracci diversi. Tuttavia vi è anche la reazione del supporto del cilindro, che dovrebbe esercitare un momento uguale e contrario, dal momento che il manubrio rimane in tale posizione durante la rotazione. Ora se così è la somma di questi due momenti è zero, ma questo non può essere dato che $\vec{L}$ sta variando nel tempo. Non riesco a capire dove sto sbagliando: forse non devo considerare la reazione del sostegno?
Inoltre vorrei anche chiedere una cosa riguardo a $L_{n}$. Tale componente in generale dipende dal polo scelto per il calcolo del momento angolare, tuttavia (nel caso di precessione uniforme) vale (1). Dunque il momento applicato dalle forze esterne cambia a seconda di come scelgo il polo per il calcolo di $\vec{L}$? Il momento delle forze esterne calcolato con (1) si intende rispetto allo stesso polo usato per il calcolo di $\vec{L}$?
Risposte
Ma guarda che qui il momento angolare è esattamente assiale.
Il sistema è squilibrato perché l'asse non passa per il CM, ma come noti tu il momento risultante è zero perché i sostegni compensano il momento della forza peso. E infatti non serve momento meccanico, perché $vecL$ durante la rotazione resta costante.
L'esempio che volevi fare tu lo ottieni ruotando di un certo angolo sul piano verticale il manubrio, in modo che diventi diverso da 90 gradi con la verticale (e ovviamente da zero gradi).
Il sistema è squilibrato perché l'asse non passa per il CM, ma come noti tu il momento risultante è zero perché i sostegni compensano il momento della forza peso. E infatti non serve momento meccanico, perché $vecL$ durante la rotazione resta costante.
L'esempio che volevi fare tu lo ottieni ruotando di un certo angolo sul piano verticale il manubrio, in modo che diventi diverso da 90 gradi con la verticale (e ovviamente da zero gradi).
Ommmamma davvero? 
Nono quell' altro esempio per fortuna mi è chiaro
Ma in generale, data l’arbitrarietà della posizione dell’asse di rotazione (non per forza su un asse di simmetria), perchè le componenti ortogonali all’asse $L_{n}$ dei due momenti angolari delle due masse dovrebbero annullarsi?
In ogni caso vorrei riproporre la mia seconda domanda, che riguarda non solo questo esempio (che è pure sbagliato) ma è generale
Nono quell' altro esempio per fortuna mi è chiaro
Ma in generale, data l’arbitrarietà della posizione dell’asse di rotazione (non per forza su un asse di simmetria), perchè le componenti ortogonali all’asse $L_{n}$ dei due momenti angolari delle due masse dovrebbero annullarsi?
In ogni caso vorrei riproporre la mia seconda domanda, che riguarda non solo questo esempio (che è pure sbagliato) ma è generale
Mi accorgo però che ti ho tratto in inganno. Io mi riferivo solo al punto di incontro tra il manubrio e l'asse di rotazione. Se il punto di calcolo di L non è sull'asta del manubrio allora il discorso è diverso.
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