Dubbi sugli angoli di Eulero
Salve a tutti, ho da poco intrapreso lo studio della formulazione meccanica di Eulero e mi ritrovo con un po' di confusione.
Per esser brevi, il moto di un corpo rigido ha 6 gradi di libertà quindi è determinabile con 6 parametri 3 dei quali possono essere gli angoli di Eulero.
1. Perchè proprio quegli angoli? (Forse lo capirò con il prosieguo dello studio?)
2. Adesso sollevo la vera questione, ovvero la domanda stupida.
Perché tre angoli? Perché ho bisogno di tre parametri.
Ma non me ne basterebbero due per individuare la rotazione degli assi solidali al corpo?
Se prediamo come primo angolo quello di nutazione di Eulero che fa coincidere i due assi z e Z. Dopo la "nutazione" i piani xy e XY saranno sovrapposti quindi mi basterebbe solo un altro angolo. Sbaglio? Se così fosse scegliere gli angoli di Eulero come parametri non sarebbe come scegliere tre parametri di cui uno dipenderebbe dagli altri?
Grazie per il tempo
Per esser brevi, il moto di un corpo rigido ha 6 gradi di libertà quindi è determinabile con 6 parametri 3 dei quali possono essere gli angoli di Eulero.
1. Perchè proprio quegli angoli? (Forse lo capirò con il prosieguo dello studio?)
2. Adesso sollevo la vera questione, ovvero la domanda stupida.
Perché tre angoli? Perché ho bisogno di tre parametri.
Ma non me ne basterebbero due per individuare la rotazione degli assi solidali al corpo?
Se prediamo come primo angolo quello di nutazione di Eulero che fa coincidere i due assi z e Z. Dopo la "nutazione" i piani xy e XY saranno sovrapposti quindi mi basterebbe solo un altro angolo. Sbaglio? Se così fosse scegliere gli angoli di Eulero come parametri non sarebbe come scegliere tre parametri di cui uno dipenderebbe dagli altri?
Grazie per il tempo
Risposte
Gli assi attorno a cui può ruotare un corpo (assumiamo un punto fisso) sono tre, pertanto per far assumere al corpo una qualsiasi posizione (sempre mantenendo fisso un punto) devo fissare tre angoli, quelli di Eulero sono una scelta possibile, certo non l'unica. In ogni caso avresti sempre tre angoli.
1. In realtà, non so cosa tu stia studiando, ma io per l'esame di Fisica Matematica (o Meccanica Razionale o Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni come si chiama da me e che ho dato appena una settimana fa, quindi ce li ho ancora freschi questi argomenti) gli angoli di Eulero li ho studiati all'inizio del programma, mentre i corpi rigidi erano proprio all'ultimo capitolo. In questo modo mi è stato subito chiaro perché 3 dei gradi di libertà possono essere determinati attraverso questi angoli.
2. Ma tu li hai (già) studiati gli angoli di Eulero? Perché, da quello che dici, mi sembrerebbe di no.
Non è assolutamente vero che l'angolo di nutazione fa coincidere i due assi z e Z, casomai è il contrario, cioè è l'angolo che rappresenta di quanto Z ruoti rispetto a z.
Gli angoli di Eulero, considerati tutti e tre insieme e non uno per volta, servono per determinare come ruota un sistema di riferimento mobile XYZ rispetto ad uno fisso xyz e sono utili perché con soli tre parametri (gli angoli stessi) ti descrive la matrice caratteristica Q della rotazione che, essendo 3x3, è formata da ben 9 elementi!
Per matrice caratteristica intendo quella formata dalle componenti di queste tre relazione, scritte per colonne:
$ X = Q_11 x + Q_21 y + Q_31 z $
$ Y = Q_12 x + Q_22 y + Q_32 z $
$ Z = Q_13 x + Q_23 y + Q_33 z $
Quindi $ ( ( Q_11 , Q_12 , Q_13 ),( Q_21 , Q_22 , Q_23 ),( Q_31 , Q_32 , Q_33 ) ) $
2. Ma tu li hai (già) studiati gli angoli di Eulero? Perché, da quello che dici, mi sembrerebbe di no.
Non è assolutamente vero che l'angolo di nutazione fa coincidere i due assi z e Z, casomai è il contrario, cioè è l'angolo che rappresenta di quanto Z ruoti rispetto a z.
Gli angoli di Eulero, considerati tutti e tre insieme e non uno per volta, servono per determinare come ruota un sistema di riferimento mobile XYZ rispetto ad uno fisso xyz e sono utili perché con soli tre parametri (gli angoli stessi) ti descrive la matrice caratteristica Q della rotazione che, essendo 3x3, è formata da ben 9 elementi!
Per matrice caratteristica intendo quella formata dalle componenti di queste tre relazione, scritte per colonne:
$ X = Q_11 x + Q_21 y + Q_31 z $
$ Y = Q_12 x + Q_22 y + Q_32 z $
$ Z = Q_13 x + Q_23 y + Q_33 z $
Quindi $ ( ( Q_11 , Q_12 , Q_13 ),( Q_21 , Q_22 , Q_23 ),( Q_31 , Q_32 , Q_33 ) ) $
[scusate l'intromissione]
Anche io ho cominciato a 'intravedere' questo argomento che farò l'anno prossimo.
Nella risposta di Ale, non ho capito perchè già parla di matrice caratteristica, a quanto ne sò io:
Il modello di Eulero si divide in:
1) metodo delle matrici ortogonali
2) metodo degli angoli di Eulero.
e l'unica matrice è nel metodo delle matrici ortogonali.
La tua matrice ($Q$ cosa significa) mi dice dunque la posizione del corpo rigido $C$ come varia?
Inoltre l'angolo di nutazione mi dice semplicemente come cambia l'inclinazione nel tempo tra i due assi, giusto?
Anche io ho cominciato a 'intravedere' questo argomento che farò l'anno prossimo.
Nella risposta di Ale, non ho capito perchè già parla di matrice caratteristica, a quanto ne sò io:
Il modello di Eulero si divide in:
1) metodo delle matrici ortogonali
2) metodo degli angoli di Eulero.
e l'unica matrice è nel metodo delle matrici ortogonali.
La tua matrice ($Q$ cosa significa) mi dice dunque la posizione del corpo rigido $C$ come varia?
Inoltre l'angolo di nutazione mi dice semplicemente come cambia l'inclinazione nel tempo tra i due assi, giusto?
Come già detto, io gli angoli di Eulero non li ho studiati insieme ai corpi rigidi (che a me stanno proprio all'ultimo capitolo), ma all'inizio del programma, quando si parlava del moto di un sistema di riferimento mobile rispetto ad uno fisso.
La matrice Q (non è che significa qualcosa di preciso, ma di solito le matrici ortogonali si indicano con Q), come detto, rappresenta le componenti della rotazione degli assi del sistema di riferimento mobile rispetto a quello fisso. E dalle relazioni che ho scritto su credo sia abbastanza chiaro quello che voglio dire.
Questa matrice $Q(t)$, insieme al vettore posizione $x_{O'}(t)$ che descrive il moto dell'origine del sistema di riferimento mobile, descrive completamente il moto di un sistema di sistema di riferimento mobile rispetto ad uno fisso tramite le 3 componenti del vettore e le 9 componenti della matrice.
Ora, siccome la matrice $Q(t)$ non può essere arbitraria, ma deve essere ortogonale, devono valere le condizioni $\sum_{h=1}^{3} Q_{hi}Q_{hj}=\delta_{ij}$ per $i,j\in\{1,2,3\}$. Se vai a svilupparle, vedi che solo 6 sono linearmente indipendenti (le altre 3 sono uguali a 3 delle 6 relazioni appena citate). Quindi per determinare un sistema di 6 equazioni in 9 incognite o fissi 3 incognite in modo arbitrario e ti calcoli le altre 6 a partire da quelle fissate, oppure utilizzi gli angoli di Eulero e con soli 3 parametri (gli angoli, per l'appunto) ti calcoli tutte e 9 le incognite.
Questo è come l'ho studiato io ed è a prescindere dai corpi rigidi, ma vale in generale e mi è stato molto semplice farlo così. Il testo è di R. Russo e G. Starita, il secondo è proprio il prof. con cui ho fatto l'esame.
La matrice Q (non è che significa qualcosa di preciso, ma di solito le matrici ortogonali si indicano con Q), come detto, rappresenta le componenti della rotazione degli assi del sistema di riferimento mobile rispetto a quello fisso. E dalle relazioni che ho scritto su credo sia abbastanza chiaro quello che voglio dire.
Questa matrice $Q(t)$, insieme al vettore posizione $x_{O'}(t)$ che descrive il moto dell'origine del sistema di riferimento mobile, descrive completamente il moto di un sistema di sistema di riferimento mobile rispetto ad uno fisso tramite le 3 componenti del vettore e le 9 componenti della matrice.
Ora, siccome la matrice $Q(t)$ non può essere arbitraria, ma deve essere ortogonale, devono valere le condizioni $\sum_{h=1}^{3} Q_{hi}Q_{hj}=\delta_{ij}$ per $i,j\in\{1,2,3\}$. Se vai a svilupparle, vedi che solo 6 sono linearmente indipendenti (le altre 3 sono uguali a 3 delle 6 relazioni appena citate). Quindi per determinare un sistema di 6 equazioni in 9 incognite o fissi 3 incognite in modo arbitrario e ti calcoli le altre 6 a partire da quelle fissate, oppure utilizzi gli angoli di Eulero e con soli 3 parametri (gli angoli, per l'appunto) ti calcoli tutte e 9 le incognite.
Questo è come l'ho studiato io ed è a prescindere dai corpi rigidi, ma vale in generale e mi è stato molto semplice farlo così. Il testo è di R. Russo e G. Starita, il secondo è proprio il prof. con cui ho fatto l'esame.
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