Dubbi su esercizio di statica

[niccoset]

Applico due forze orizzontali ad un'asta verticale: una diretta verso sinistra $ F_1 $ che vale $ 3N $ e l'altra diretta verso destra $ F_2 $ che vale $ 5N $ (le due forza sono applicate in punti diversi). Non voglio far muovere l'asta e quindi, prendendo come polo il centro di massa dell'asta, il momento risultante delle forze applicate su di essa deve essere nullo. Sapendo che la distanza tra $ F_1 $ e il c.d.m. è $ l/2 $ e che la distanza tra $ F_2 $ e il c.d.m. è $ d-l/2 $ dove $ d=20cm $.

Arrivato a questo punto faccio confusione con i segni: usando la regola della mano destra vedo che un momento è diretto "uscente dal foglio" e l'altro "entrante" quindi proiettando lungo questo asse ottengo $ F_1l/2=F_2(d-l/2)$ da cui ottengo che $ l=0,25m $. In classe però ricordo che il professore aveva detto che il risultato (la lunghezza dell'asta) era di circa $ 1m $ che tornerebbe considerando la precedente equazione come $ F_1l/2=-F_2(d-l/2)$.

Perchè?

Grazie.

[fafnir39]

[EDIT: Dal disegno che hai postato, si ha che: $F_1l/2-F_2(l/2-0.20)=0->l=1m$ ]

[niccoset]

Non mi torna

[fcd="Diagramma situazione"][FIDOCAD]
LI 50 70 50 45 0
LI 50 45 50 15 0
TY 50 10 4 3 0 0 0 * A
TY 50 70 4 3 0 0 0 * B
LI 50 15 35 15 0
LI 35 15 40 10 0
LI 40 10 35 15 0
LI 35 15 40 20 0
LI 50 30 75 30 0
LI 75 30 70 25 0
LI 75 30 70 35 0
TY 40 15 4 3 0 0 0 * F1
TY 55 30 4 3 0 0 0 * F2
TY 30 40 4 3 0 0 0 * c.d.m
SA 50 40 0[/fcd]

Il sistema è messo come nell'immagine e a me sembra che il momento della forza F1 rispetto al polo centro di massa sia diretto uscente dal foglio(o detto diversamente:verso di noi che leggiamo) mentre il momento della forza F2 sempre rispetto al polo c.d.m è diretto entrante nel foglio. Inoltre non dovendo far ruotare l'asse mi sembra giusto che un momento di una forza tenda a far ruotare l'asta in un modo e l'altro la tenda a far ruotare in un altro modo. Sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Scusa ma :

1) l'asta è libera , o è incernierata in CM ?
2) chi è $d$ ?

[niccoset]

"navigatore":
1) l'asta è libera , o è incernierata in CM

Dal testo mi sembra di capire che sia libera, qui riporto il testo (dimmi se mi sbaglio):
Un'asta sottile omogenea di lunghezza $ l $ e massa $ m=1Kg $ è soggetta alle due forze $ F1 $ ed $ F2=5N $. Il centro di massa ha un'accelerazione di $ a=2m/s^2 $ e l'asta non ruota e non inizia a ruotare sotto l'azione delle due forze, cioè il moto è di traslazione pura. Si determini la lunghezza dell'asta.

"navigatore":
2) chi è $ d $ ?

$ d=20cm $ è un dato aggiunto successivamente dal professore e rappresenta la lunghezza del segmento che va da $ A $ al punto sull'asta dove è applicata la seconda forza $ F2 $.

[niccoset]

Ragionando in termini vettoriali non mi torna, cioè:
Il momento della forza (rispetto al cdm) $ vecF_1 $ è $ vecM_1=(vecl/2)^^vecF_1 $
Il momento della forza $ vecF_2 $ è $ vecM_2=vec(d-l/2)^^vecF_2 $.
Affinchè il sistema non ruoti ossia stia in equilibrio $ vecM_1+vecM_2=0 $ cioè $ vecM_1=-vecM_2 $ quindi i loro moduli devono coincidere e dunque $ F_1l/2=(d-l/2)F_2 $.

Ed anche se ragiono con i versori non mi torna:
Il momento della forza $ vecF_1 $ è $ vecF_1 $ è $ vecM_1=(vecl/2)^^vecF_1 = (l/2F_1)vecu_z $
Il momento della forza $ vecF_2 $ è $ vecM_2=vec(d-l/2)^^vecF_2 = -((d-l/2)F2)vecu_z $.
Per l'equilibrio del sistema $ vecM_1+vecM_2=0 $ cioè $ (l/2F_1)vecu_z-((d-l/2)F2)vecu_z=0 $ da cui segue $ (l/2F_1 -(d-l/2)F2)vecu_z=0 $ ed infine $ l/2F_1=(d-l/2)F2 $ e quindi $ l=0,25m $.

Cosa sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Viste le precisazioni, la soluzione di fafnir è giusta : equilibrio dei momenti rispetto al CM.
Non ti incasinare coi prodotti vettoriali:

$F_1*l/2 - F_2(l/2-d) = 0$

da cui : $ l/2 = F_2/(F_2 - F_1) *d $

[niccoset]

Ahhh ma che stupido consideravo d-l/2 invece era l/2 - d. Grazie a tutti e due.