Dubbi su applicazione teorema energia cinetica o conservazione dell'energia
Scusate ho dei dubbi su quando applicare il teorema energia cinetica o conservazione dell'energia.
Do' alcuni esempi:
1) un molla che si allunga o viene compressa da un massa di cui si conosce il peso e la velocità iniziale e si cerca di quanto viene allungata o compressa la molla conoscendo la costante elastica della molla.
Ora io ho trovato che viene applicata questa $L=m*(v_f - v_i)^2/2$ e non la conservazione $K_f - K_i = U_i - U_f $ perchè?
E nel caso in cui viene utilizzato il teorema delle forze vive perchè se la molla è compressa viene messo come lavoro il lavoro della molla (parlando il teorema dell'energia cinetica di lavoro compiuto da una forza esterna) e questo è inoltre negativo cioè $- 1/2kx^2$? Si fa riferimento al lavoro di una forza conservativa che è -DeltaK cioè $-(1/2kx_f^2- 1/2kx_i^2)$ ma perchè comunque rimarrebbe $- 1/2kx^2$?? E se la molla venisse allungata?
2) Guardate questo esercizio. Una palla è scagliata in alto con una velocità di 19.6 m/s. Quale massima altezza raggiungerà?
(A) 15 m (B) 20 m (C) 25 m (D) 30 m (E) 60 m
Soluzione. Qui si applica la conservazione dell'energia poichè nel punto piu' alto (h) la velocità sara' nulla $mgh= 1/2mv^2$
Questo è perchè applicando $K_i + U_i = K_f + U_f $ se $K_f=0$ poi anche $ U_i = 0 $ e $U_f =mgh$ ?
Comunque quando in generale è meglio (se cosi' si puo' dire) applicare il terorema dell'energia cinetica e quando quello della conservazione?
Do' alcuni esempi:
1) un molla che si allunga o viene compressa da un massa di cui si conosce il peso e la velocità iniziale e si cerca di quanto viene allungata o compressa la molla conoscendo la costante elastica della molla.
Ora io ho trovato che viene applicata questa $L=m*(v_f - v_i)^2/2$ e non la conservazione $K_f - K_i = U_i - U_f $ perchè?
E nel caso in cui viene utilizzato il teorema delle forze vive perchè se la molla è compressa viene messo come lavoro il lavoro della molla (parlando il teorema dell'energia cinetica di lavoro compiuto da una forza esterna) e questo è inoltre negativo cioè $- 1/2kx^2$? Si fa riferimento al lavoro di una forza conservativa che è -DeltaK cioè $-(1/2kx_f^2- 1/2kx_i^2)$ ma perchè comunque rimarrebbe $- 1/2kx^2$?? E se la molla venisse allungata?
2) Guardate questo esercizio. Una palla è scagliata in alto con una velocità di 19.6 m/s. Quale massima altezza raggiungerà?
(A) 15 m (B) 20 m (C) 25 m (D) 30 m (E) 60 m
Soluzione. Qui si applica la conservazione dell'energia poichè nel punto piu' alto (h) la velocità sara' nulla $mgh= 1/2mv^2$
Questo è perchè applicando $K_i + U_i = K_f + U_f $ se $K_f=0$ poi anche $ U_i = 0 $ e $U_f =mgh$ ?
Comunque quando in generale è meglio (se cosi' si puo' dire) applicare il terorema dell'energia cinetica e quando quello della conservazione?
Risposte
Nel caso di forze conservative, i 2 metodi sono equivalenti.
Il teorema delle forze vive ti dice $L=E_[kf]-E_[ki]$ e non vi e' limitazione sul tipo di forza che non dove essere necessariamente conservativa.
Se le forze sono conservative, allora $V_f-V_i=DeltaV=L$. La variazione di energia potenziale (definita come l' opposto di $DeltaV$) e' pertanto necessariamente $-L$.
Quindi $-L=U_f-U_i=E_[ki]-E_[kf]$, da cui: $E_[ki]+U_i=E_[kf]+U_f$.
Detto questo, sia per la molla che per il corpo lanciato verso l'alto, puoi applicare indifferentemente l'uno o l'altro metodo.
Per esempio, per il secondo esercizio, se vuoi risolverlo con il TDFV, basta notare che la variazione di energia cinetica tra istante iniziale (quando il corpo viene lanciato) e istante finale, quando si ferma a mezz'aria, e' negativa e vale $-1/2mv_i^2$.
Il lavoro delle forza applicate (la forza peso e' l'unica forza applicata) e' $L=-mgh$, negativo anche esso perche la forza peso e' opposta allo spostamento del corpo. Quindi: $-1/2mv_i^2=-mgh$, da cui h, che ovviamente e' positivo.
Una nota guardando anche un altro quesito che hai posto: come ti dice Mgrau, devi usare anche il buon senso. NON E" VERO, come dice il tuo libro, che il lavoro fatto da una molla su un corpo e' sempre negativo. Quest'affermazione e' valida con delle limitazioni. Se, per esempio, tu carichi un molla, comprimendola di un tratto $delta$, e lasci andare la massa, il lavoro che la molla fa sulla massa e' positivo e' vale $1/2kdelta^2$. Vale anche il contrario: se tiri una molla stirandola e lasci andare il tutto, il lavoro fatto dalla molla nel richiamare la massa a se' e' sempre positivo.
Il teorema delle forze vive ti dice $L=E_[kf]-E_[ki]$ e non vi e' limitazione sul tipo di forza che non dove essere necessariamente conservativa.
Se le forze sono conservative, allora $V_f-V_i=DeltaV=L$. La variazione di energia potenziale (definita come l' opposto di $DeltaV$) e' pertanto necessariamente $-L$.
Quindi $-L=U_f-U_i=E_[ki]-E_[kf]$, da cui: $E_[ki]+U_i=E_[kf]+U_f$.
Detto questo, sia per la molla che per il corpo lanciato verso l'alto, puoi applicare indifferentemente l'uno o l'altro metodo.
Per esempio, per il secondo esercizio, se vuoi risolverlo con il TDFV, basta notare che la variazione di energia cinetica tra istante iniziale (quando il corpo viene lanciato) e istante finale, quando si ferma a mezz'aria, e' negativa e vale $-1/2mv_i^2$.
Il lavoro delle forza applicate (la forza peso e' l'unica forza applicata) e' $L=-mgh$, negativo anche esso perche la forza peso e' opposta allo spostamento del corpo. Quindi: $-1/2mv_i^2=-mgh$, da cui h, che ovviamente e' positivo.
Una nota guardando anche un altro quesito che hai posto: come ti dice Mgrau, devi usare anche il buon senso. NON E" VERO, come dice il tuo libro, che il lavoro fatto da una molla su un corpo e' sempre negativo. Quest'affermazione e' valida con delle limitazioni. Se, per esempio, tu carichi un molla, comprimendola di un tratto $delta$, e lasci andare la massa, il lavoro che la molla fa sulla massa e' positivo e' vale $1/2kdelta^2$. Vale anche il contrario: se tiri una molla stirandola e lasci andare il tutto, il lavoro fatto dalla molla nel richiamare la massa a se' e' sempre positivo.
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