Dubbi passaggi matematici
1)
$ \sum_{i=1}^Nv_{c.m}m_i=v_{c.m}\sum_{i=1}^Nm_i $ (c.m.= centro di massa)
In questa formula porto fuori il termine $ v_{c.m} $ in quanto non dipendente dall'indice $ i $
$ \intv_{c.m.}dm=v_{c.m.}\intdm $ (c.m.= centro di massa)
In questa come faccio a giustificare l'aver portato fuori dall'integrale $ v_{c.m.} $. Di solito posso portare fuori una costante oppure una variabile indipendente da quella di integrazione però non riesco a capire in quale dei due casi sono.
2)
$ \int[\vec\omega\wedge(\vecr-\vecr_{c.m.})]^2dm=\omega^2I_c $ (c.m.= centro di massa Ic = momento di inerzia rispetto ad una asse passante per c.m. e parallelo a $ \vec\omega $)
Come faccio a svolgere il quadrato del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra parentesi? Come fa a risultarne uno scalare?
$ \sum_{i=1}^Nv_{c.m}m_i=v_{c.m}\sum_{i=1}^Nm_i $ (c.m.= centro di massa)
In questa formula porto fuori il termine $ v_{c.m} $ in quanto non dipendente dall'indice $ i $
$ \intv_{c.m.}dm=v_{c.m.}\intdm $ (c.m.= centro di massa)
In questa come faccio a giustificare l'aver portato fuori dall'integrale $ v_{c.m.} $. Di solito posso portare fuori una costante oppure una variabile indipendente da quella di integrazione però non riesco a capire in quale dei due casi sono.
2)
$ \int[\vec\omega\wedge(\vecr-\vecr_{c.m.})]^2dm=\omega^2I_c $ (c.m.= centro di massa Ic = momento di inerzia rispetto ad una asse passante per c.m. e parallelo a $ \vec\omega $)
Come faccio a svolgere il quadrato del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra parentesi? Come fa a risultarne uno scalare?
Risposte
La velocità del centro di massa è una costante.
Ricordati la definizione di prodotto vettoriale.
Ricordati la definizione di prodotto vettoriale.
costante rispetto a cosa? non credo rispetto al tempo in quanto il corpo potrebbe essere sottoposto a forze esterne che provocano variazioni della velocità del c.m.!
"TS778LB":
costante rispetto a cosa? non credo rispetto al tempo in quanto il corpo potrebbe essere sottoposto a forze esterne che provocano variazioni della velocità del c.m.!
E' costante rispetto a $dm$, non deve essere costante rispetto al tempo per poterla portare fuori dall'integrale
Dato un sistema discreto di punti materiali $m_i$ , individuati, come posizione, da raggi vettori $vecr_i$ rispetto a un polo $O$, si definisce centro di massa il punto individuato dal raggio vettore :
$vecr_(CM) = (\Sigma m_ivecr_i)/(\Sigmam_i) = 1/M \Sigma m_ivecr_i$
derivando rispetto al tempo si ha :
$dot\vec r_(CM) = vecv_(CM) = 1/M \Sigma m_idot vecr_i=1/M \Sigma m_ivecv_i$
Naturalmente, nelle applicazioni si esprimono i vettori $vecr_i$ e $vecv_i$ in componenti rispetto a un sistema di coordinate .
Se il sistema è continuo anziché discreto , basta sostituire l'integrale alla sommatoria, sia al numeratore che al denominatore. Si tratta di concetti e definizioni standard, non c'è niente che devi portare fuori o dentro il segno di integrale.
$vecr_(CM) = (\Sigma m_ivecr_i)/(\Sigmam_i) = 1/M \Sigma m_ivecr_i$
derivando rispetto al tempo si ha :
$dot\vec r_(CM) = vecv_(CM) = 1/M \Sigma m_idot vecr_i=1/M \Sigma m_ivecv_i$
Naturalmente, nelle applicazioni si esprimono i vettori $vecr_i$ e $vecv_i$ in componenti rispetto a un sistema di coordinate .
Se il sistema è continuo anziché discreto , basta sostituire l'integrale alla sommatoria, sia al numeratore che al denominatore. Si tratta di concetti e definizioni standard, non c'è niente che devi portare fuori o dentro il segno di integrale.
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