Dov'è l'errore?

[Zkeggia]

Vi propongo un esercizio banale, che però risolto in un modo porta a un assurdo.
Supponiamo che una pallina di raggio r e massa m, e momento di inerzia chiaramente $I=1/2mr^2$ rotoli orizzontalmente su un piano orizzontale, senza strisciare. Vogliamo calcolarne il moto.

Allora scriverò:
$ma_(cm) = -f$
$Idotw = f*r$
e la condizione di rotolamento puro:
$v_(cm) = -wr$
ora io trovo che:
$a = -f/m$
$dotw = f*r/I = 2f/(mr)$

derivando la condizione trovata imponendo il puro rotolamento ho
$a = -dotw r -> -f/m = -2f/m -> 1 = 2$

Assurdo! Io ritengo che l'errore sia stato nel derivare la condizione trovata con il puro rotolamento, ma non riesco a capirlo!

[VINX89]

Osserva cosa accade se manipolo la seconda equazione cardinale:

$I alpha = f r$

$1/2 m r^2 a/r = f r$

$a = (2 f)/m$

Dalla prima, invece, ho $a_(cm) = f/m$

E' possibile che la prima accelerazione non sia del centro di massa, ma di un punto che giace sulla circonferenza massima della sfera?

[Zkeggia]

non credo, in quanto il polo l'ho proprio fatto coincidere con il centro di massa. Io credo che ci sia un problema più a monte, ovvero delle condizioni fisiche. Ma aspettavo che qualcuno dicesse la sua prima di dire la mia.

[Faussone]

"Zkeggia":Vi propongo un esercizio banale, che però risolto in un modo porta a un assurdo.
Supponiamo che una pallina di raggio r e massa m, e momento di inerzia chiaramente $I=1/2mr^2$ rotoli orizzontalmente su un piano orizzontale, senza strisciare. Vogliamo calcolarne il moto.
[...]

Non ho capito: la pallina rotola senza strisciare su un piano orizzontale? Allora la forza che consideri che forza è?
Se è la forza nel punto di contatto quella non può essere altro che zero: la pallina rotola senza strisciare indefinitamente....
Per questo ti vien quell'assurdo, non puoi semplificare perché $f=0$.
Se $f \ne 0$ allora la pallina non rotolerebbe senza strisciare.

[Zkeggia]

la forza di attrito è presente e permete il puro rotolamento. Però penso sia qui l'errore.

[Faussone]

"Zkeggia":la forza di attrito è presente e permete il puro rotolamento. Però penso sia qui l'errore.

No! La forza di attrito è presente PRIMA che si inneschi il puro rotolamento e è necessaria affinchè possa iniziare il rotolamento puro quindi. Una volta che questo è iniziato è pari a zero.
Ovviamente siamo in condizioni ideali in cui il punto di contatto è un punto (o una retta).

[Zkeggia]

Questo perché la velocità del punto di contatto è zero e di consequenza l'attrito non fa effetto. Però nel caso in cui il corpo sia spostato da una forza che agisce sul suo centro di massa (e quindi non da momento rispetto al polo scelto sul centro di massa) ad esempio una corda attaccata al c.d.m tirata da una persona, a quel punto si può ottenere un moto di rotolamento puro, e la forza di attrito c'è e fa momento, momento che causa accelerazione angolare... non capisco se in questo caso sia possibile un rotolamento puro.

[Faussone]

"Zkeggia":Questo perché la velocità del punto di contatto è zero e di consequenza l'attrito non fa effetto. Però nel caso in cui il corpo sia spostato da una forza che agisce sul suo centro di massa (e quindi non da momento rispetto al polo scelto sul centro di massa) ad esempio una corda attaccata al c.d.m tirata da una persona, a quel punto si può ottenere un moto di rotolamento puro, e la forza di attrito c'è e fa momento, momento che causa accelerazione angolare... non capisco se in questo caso sia possibile un rotolamento puro.

Il fatto che la velocità è zero nel punto di contatto non implica che l'attrito è zero (puoi avere attrito statico), pensa al caso del cilindro che rotola senza strisciare su un piano inclinato in quel caso l'attrito nel punto di contatto deve esserci per permettere il rotolamento puro.
Qualcosa di simile accade su un piano orizzontale se hai una forza che tira il cilindro in corrispondenza del centro di massa, anche in questo caso puoi avere rotolamento puro. Puoi scrivere le equazioni e calcolare quanto deve essere il valore della forza di attrito statico nel punto di contatto. Ovviamente il coefficiente di attrito deve essere sufficiente a permettere l'instaurarsi di questa forza. Non ottieni nessun assurdo in questo caso.