Doppio pendolo fisico.

[Ziko1]

Salve a tutti,

Il mio problema è quello del classico doppio pendolo fisico. Vorrei se possibile qualche delucidazione sull'impostazione delle equazioni che lo riguardano.



Nell'immagine si vedono le due aste omogenee (la figura riporta il doppio pendolo semplice scusate) con baricentro a metà della lunghezza delle aste. Il mio professore per il caso ad una sola asta ha impostato le seguenti eq.

$B_1 = [(frac{l_1}{2}*sin(\theta_1)), (frac{l_1}{2}*cos(\theta_2)),(0)] $, $\omega_1 = [(0),(0),(\dot{\theta})]$

dove $\omega_1$ è la pulsazione angolare ortogonale al piano del pendolo e passante per il centro O, di conseguenza la velocità del baricentro della prima asta è data da:

$dot{B_1} = \omega xx B_1 = S(\omega)*B_1 = [(0, -dot{\theta} ,0),(dot{theta}, 0, 0),(0, 0, 0)]*[(frac{l_1}{2}*sin(\theta_1)), (frac{l_1}{2}*cos(\theta_2)),(0)]=[(-frac{l_1}{2}cos(\theta_1)\dot{\theta_1}),(frac{l_1}{2}sin(\theta_1)\dot{\theta_1}),(0)]$

Adesso la mia difficoltà è nel ripetere il seguente ragionamento per il secondo baricentro, nello specifico, volendo rimanere continuare sulla strada del mio prof. come definisco il vettore $\omega_2$ con il quale arrivo ad estrapolare la velocità del secondo baricentro?

Grazie per le risposte che darete e, spero di essermi spiegato bene. Nel caso posso rivedere quanto ho appena esposto.

[Nietzsche610]

La velocità del secondo baricentro la puoi ottenere derivandone la posizione che è data da:

$\bbx_(2)=(l_1sin\theta_1+l_2/2sin\theta_2, l_1cos\theta_1+l_2/2cos\theta_2)^T$, con $\bb(\theta)(t)=(\theta_1, \theta_2)$ coordinate libere.

Quindi:

$\bbv_2=(l_1cos\theta_1\dot(\theta_1)+l_2/2cos\theta_2\dot(\theta_2), -l_1sin\theta_1\dot(\theta_1)-l_2/2sin\theta_2\dot(\theta_2))^T$

Volendo usare la tua notazione puoi scrivere:

$\dot(B_2)=-2\dot(B_1)+((\dot(\theta_2),0,0),(0,-\dot(\theta_2),0),(0,0,0))((l_2/2cos\theta_2),(l_2/2sin\theta_2),(0))$.