Doppio Cilindro Conduttore
Salve ragazzi 
ho tale problema :
Un cilindro di altezza $h$ e sezione circolare di raggio $R$ è formato da due cilindri di stessa sezione uniti per la base , aventi altezze $\frac{h}{2}$ e costituiti da materiali diversi con resistività rispettivamente $rho_1$ e $rho_2$ . Le due facce esterne vengono connesse ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale V.
1) Calcolare la densità di corrente nel conduttore in stato stazionario e la densità di carica superficiale alla superficie di contatto fra i due materiali.
2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
Mia possibile risoluzione :
1 ) Calcolo densità di corrente ;
Essendo conduttori Ohmici , uso la legge di Ohm
$i_1=VR_1$ e $i_2=VR_2$ con $R_1=\rho_1\frac{h}{8\pi R^2}$ idem per $R_2$
Da cui $J=\frac{i_1+i_2}{4\pi\R^2} $
Calcolo densità di carica Superficiale ;
$\sigma=\sigma_1 +\sigma_2=\frac{q_1 + q_2}{4\pi\R^2}$
essendo $V=\int_0 ^h E dr=Eh$
dalla legge di Gauss avrò : $q_1+q_2=\frac{16\piVR^2\epsilon_0}{h}$
2) Calcolo campo B ;
$B_1 2\pi r=\mu_1i_1=\mu_1VR_1$ da cui $B_1 (r<=R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 r^3}$ e $B_1 (r>R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 R^3}$
ragionamento simile per l'altro cilindro .
Calcolo di H ;
$H_1(r<=R)=\frac{B_1(r<=R)}{\mu_1}$ e $H_1(r>R)=\frac{B_1(r>R)}{\mu_1}$ idem per l'altro cilindro . ( qui ho seri dubbi! )
Le linee di campo di B sono circolari e giacciono sul piano contenente la base del cilindro .
Cosa ne pensate?
ho tale problema : Un cilindro di altezza $h$ e sezione circolare di raggio $R$ è formato da due cilindri di stessa sezione uniti per la base , aventi altezze $\frac{h}{2}$ e costituiti da materiali diversi con resistività rispettivamente $rho_1$ e $rho_2$ . Le due facce esterne vengono connesse ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale V.
1) Calcolare la densità di corrente nel conduttore in stato stazionario e la densità di carica superficiale alla superficie di contatto fra i due materiali.
2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
Mia possibile risoluzione :
1 ) Calcolo densità di corrente ;
Essendo conduttori Ohmici , uso la legge di Ohm
$i_1=VR_1$ e $i_2=VR_2$ con $R_1=\rho_1\frac{h}{8\pi R^2}$ idem per $R_2$
Da cui $J=\frac{i_1+i_2}{4\pi\R^2} $
Calcolo densità di carica Superficiale ;
$\sigma=\sigma_1 +\sigma_2=\frac{q_1 + q_2}{4\pi\R^2}$
essendo $V=\int_0 ^h E dr=Eh$
dalla legge di Gauss avrò : $q_1+q_2=\frac{16\piVR^2\epsilon_0}{h}$
2) Calcolo campo B ;
$B_1 2\pi r=\mu_1i_1=\mu_1VR_1$ da cui $B_1 (r<=R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 r^3}$ e $B_1 (r>R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 R^3}$
ragionamento simile per l'altro cilindro .
Calcolo di H ;
$H_1(r<=R)=\frac{B_1(r<=R)}{\mu_1}$ e $H_1(r>R)=\frac{B_1(r>R)}{\mu_1}$ idem per l'altro cilindro . ( qui ho seri dubbi! )
Le linee di campo di B sono circolari e giacciono sul piano contenente la base del cilindro .
Cosa ne pensate?
Risposte
"MillesoliSamuele":
... uso la legge di Ohm
$i_1=VR_1$ e $i_2=VR_2$ con $R_1=\rho_1\frac{h}{8\pi R^2}$ idem per $R_2$
Da cui $J=\frac{i_1+i_2}{4\pi\R^2} $
Giusto per cominciare, mi spiegheresti: cosa afferma la legge di Ohm, cosa rappresenta $8\pi R^2$ nella seconda relazione, perché sommi le correnti ... e perché dividi per $4\pi\R^2$?
La legge di Ohm descrive la proporzionalità tra la differenza di potenziale e la corrente elettrica $R=\frac{V}{i}$
Per cui , nel mio caso, $i_1=\frac{V}{R_1}$ e $i_2=\frac{V}{R_2}$ ;
$J=J_1+J_2=\frac{i_1}{S}+\frac{i_2}{S}=\frac{V}{R_1 S}+\frac{V}{R_2 S}=\frac{V}{\pi R^2 }(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})=\frac{2V}{h}(\frac{1}{rho_1}+\frac{1}{rho_2})$
con $R_1=\frac{\rho_1 h}{2\piR^2}$ e $R_2=\frac{\rho_2 h}{2\piR^2}$
Niente , a quanto pare mi ero confuso abbastanza..
Per cui , nel mio caso, $i_1=\frac{V}{R_1}$ e $i_2=\frac{V}{R_2}$ ;
$J=J_1+J_2=\frac{i_1}{S}+\frac{i_2}{S}=\frac{V}{R_1 S}+\frac{V}{R_2 S}=\frac{V}{\pi R^2 }(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})=\frac{2V}{h}(\frac{1}{rho_1}+\frac{1}{rho_2})$
con $R_1=\frac{\rho_1 h}{2\piR^2}$ e $R_2=\frac{\rho_2 h}{2\piR^2}$
Niente , a quanto pare mi ero confuso abbastanza..
Scusa ma questi cilindri non sono forse "uniti per le basi"? ... e quindi la corrente è unica ed uguale per entrambi, ovvero le resistenze degli stessi sono in serie non in parallelo.
E anche in quel caso non avrebbe senso sommare le densità di corrente.
E anche in quel caso non avrebbe senso sommare le densità di corrente.
Quindi secondo il tuo ragionamento , se non ho capito male : $i=\frac{V}{R_{eq}}=\frac{V}{\rho_1 \frac{h}{2 \pi R^2}+\rho_2 \frac{h}{2\pi R^2}}=\frac{2\pi R^2 V}{h(\rho_1+\rho_2)}$
Per cui $J=\frac{i}{S}=\frac{2V}{h(\rho_1+\rho_2)}$
Per cui $J=\frac{i}{S}=\frac{2V}{h(\rho_1+\rho_2)}$
Ok, ma ti consiglio di usare la legge di Ohm in forma "locale", ovvero
$\vec E_1=\vec J \rho_1$
$\vec E_2=\vec J \rho_2$
dalle quali via integrale di linea del campo elettrico lungo l'asse
$V=E_1 \frac{h}{2}+E_2\frac{h}{2}$
otterrai la densità $J$.
Ora come andiamo avanti?
$\vec E_1=\vec J \rho_1$
$\vec E_2=\vec J \rho_2$
dalle quali via integrale di linea del campo elettrico lungo l'asse
$V=E_1 \frac{h}{2}+E_2\frac{h}{2}$
otterrai la densità $J$.
Ora come andiamo avanti?
La legge di Ohm microscopica , si ci avevo pensato , ma poi decisi di prendere , ahimè , l'altra strada...
Proprio da tale legge , che sò che vale pure il forma scalare , ricavo i campi $E_1$ ed $E_2$ e con essi , utilizzando la legge di Gauss , determino le cariche $q_1$ e $q_2$ e quindi $sigma=\frac{q_1+q_2}{S}=\frac{J2h\epsilon_0(\rho_1+\rho_2)}{R}$
Proprio da tale legge , che sò che vale pure il forma scalare , ricavo i campi $E_1$ ed $E_2$ e con essi , utilizzando la legge di Gauss , determino le cariche $q_1$ e $q_2$ e quindi $sigma=\frac{q_1+q_2}{S}=\frac{J2h\epsilon_0(\rho_1+\rho_2)}{R}$
"MillesoliSamuele":
... Proprio da tale legge , che sò che vale pure il forma scalare , ricavo i campi $E_1$ ed $E_2$ e con essi , utilizzando la legge di Gauss , ...
Proprio così, ora entra in campo Gauss
... "MillesoliSamuele":
... determino le cariche $q_1$ e $q_2$
... ma questa non l'ho capita, me la spieghi? ... dove starebbero queste cariche?
... ma anche per Gauss ti consiglio la forma locale.
La densità di carica $sigma$ è uguale a $sigma=\frac{q}{S}$
La densità di carica superficiale possiamo ricavarcela solo sulla superficie di separazione fra i due cilindri [nota]Sulle altre due basi non abbiamo le necessarie informazioni per poterla ricavare e infatti non ci viene richiesta.[/nota] e la possiamo ottenere dalla legge di Gauss, se ti ricordi qual'è la sua forma locale sarebbe meglio, ad ogni modo anche con la forma "normale" applicata ad un cilindretto coassiale ai due cilindri di spessore infinitesimo che ha la prima base nel cilindro conduttore superiore e la seconda in quello inferiore, in questo caso particolare, va ugualmente bene.
La legge di Gauss in forma locale è $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}= \frac{\rho}{\epsilon_0}$
Quindi conoscendo $\vec{E}=\frac{2V}{h}\hat{n}$ ,con $\hat{n}$ versore normale alla superficie del cilindro, ricavo $\rho$ , giusto ?
No, $E$ non è quello e non è costante ... e a dire il vero qui abbiamo una discontinuità del campo elettrico e quindi ci conviene usare la forma integrale.
Scusa, errore mio.
Scusa, errore mio.
"RenzoDF":
No, E non è quello e non è costante ... e a dire il vero però qui abbiamo una discontinuità del campo elettrico e quindi ci conviene usare la forma integrale.
Scusa, errore mio.
Tranquillo
Quindi $\int_S \vec{E}d\vec{S}=\frac{q}{\epsilon_0}$ da cui $q=4\pi\epsilon_0 RV$
quindi $sigma=\frac{q}{S}=\frac{4\epsilon_0 V}{R}$ dimensionalmente ci siamo..
Ripeto, il campo elettrico presenta una discontinuità in corrispondenza della superficie di separazione e di conseguenza (come dicevo nel mio messaggio 1921) nell'integrale devi separare il calcolo sulla superficie interna al cilindro superiore e su quella interna a quello inferiore, del cilindro di spessore infinitesimo che sta "a cavallo" dei due cilindri.
"RenzoDF":
... nell'integrale devi separare il calcolo sulla superficie interna al cilindro superiore e su quella interna a quello inferiore, del cilindro di spessore infinitesimo che sta "a cavallo" dei due cilindri.
Allora.. dalla legge di Gauss $\int_S [\vec{E}_1 + \vec{E}_2 ] d\vec{S}=\frac{q}{\epsilon_0}$ avrò :
$q=\epsilon_0 J[ \rho_1 \int_{S_1} dS + \rho_2 \int_{S_2} dS ]$
Qui mi blocco.. le due superfici interne non sono uguali?
Certo che sono uguali, ma non sono di uguale segno i due contributi parziali.
$q=\epsilon_0 J[ \rho_1 \int_{S_1} dS + \rho_2 \int_{S_2} dS ]$
$q=\epsilon_0 J[\rho_1 2\pir\frac{h}{2} \rho_2 2\pir\frac{h}{2} ] = \epsilon_0 J\pi rh [\rho_1 -\rho_2]$
non mi convince..
$q=\epsilon_0 J[\rho_1 2\pir\frac{h}{2} \rho_2 2\pir\frac{h}{2} ] = \epsilon_0 J\pi rh [\rho_1 -\rho_2]$
non mi convince..
Scusa ma quali superfici stai considerando? ... S1 e S2 sono le due superfici di base del cilindro di spessore infinitesimo normali all'asse del sistema e interne ai due diversi conduttori.
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