Doppio Cilindro Conduttore
Salve ragazzi 
ho tale problema :
Un cilindro di altezza $h$ e sezione circolare di raggio $R$ è formato da due cilindri di stessa sezione uniti per la base , aventi altezze $\frac{h}{2}$ e costituiti da materiali diversi con resistività rispettivamente $rho_1$ e $rho_2$ . Le due facce esterne vengono connesse ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale V.
1) Calcolare la densità di corrente nel conduttore in stato stazionario e la densità di carica superficiale alla superficie di contatto fra i due materiali.
2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
Mia possibile risoluzione :
1 ) Calcolo densità di corrente ;
Essendo conduttori Ohmici , uso la legge di Ohm
$i_1=VR_1$ e $i_2=VR_2$ con $R_1=\rho_1\frac{h}{8\pi R^2}$ idem per $R_2$
Da cui $J=\frac{i_1+i_2}{4\pi\R^2} $
Calcolo densità di carica Superficiale ;
$\sigma=\sigma_1 +\sigma_2=\frac{q_1 + q_2}{4\pi\R^2}$
essendo $V=\int_0 ^h E dr=Eh$
dalla legge di Gauss avrò : $q_1+q_2=\frac{16\piVR^2\epsilon_0}{h}$
2) Calcolo campo B ;
$B_1 2\pi r=\mu_1i_1=\mu_1VR_1$ da cui $B_1 (r<=R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 r^3}$ e $B_1 (r>R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 R^3}$
ragionamento simile per l'altro cilindro .
Calcolo di H ;
$H_1(r<=R)=\frac{B_1(r<=R)}{\mu_1}$ e $H_1(r>R)=\frac{B_1(r>R)}{\mu_1}$ idem per l'altro cilindro . ( qui ho seri dubbi! )
Le linee di campo di B sono circolari e giacciono sul piano contenente la base del cilindro .
Cosa ne pensate?
ho tale problema : Un cilindro di altezza $h$ e sezione circolare di raggio $R$ è formato da due cilindri di stessa sezione uniti per la base , aventi altezze $\frac{h}{2}$ e costituiti da materiali diversi con resistività rispettivamente $rho_1$ e $rho_2$ . Le due facce esterne vengono connesse ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale V.
1) Calcolare la densità di corrente nel conduttore in stato stazionario e la densità di carica superficiale alla superficie di contatto fra i due materiali.
2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
Mia possibile risoluzione :
1 ) Calcolo densità di corrente ;
Essendo conduttori Ohmici , uso la legge di Ohm
$i_1=VR_1$ e $i_2=VR_2$ con $R_1=\rho_1\frac{h}{8\pi R^2}$ idem per $R_2$
Da cui $J=\frac{i_1+i_2}{4\pi\R^2} $
Calcolo densità di carica Superficiale ;
$\sigma=\sigma_1 +\sigma_2=\frac{q_1 + q_2}{4\pi\R^2}$
essendo $V=\int_0 ^h E dr=Eh$
dalla legge di Gauss avrò : $q_1+q_2=\frac{16\piVR^2\epsilon_0}{h}$
2) Calcolo campo B ;
$B_1 2\pi r=\mu_1i_1=\mu_1VR_1$ da cui $B_1 (r<=R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 r^3}$ e $B_1 (r>R)=\frac{\mu_1V \rho_1 h}{16\pi^2 R^3}$
ragionamento simile per l'altro cilindro .
Calcolo di H ;
$H_1(r<=R)=\frac{B_1(r<=R)}{\mu_1}$ e $H_1(r>R)=\frac{B_1(r>R)}{\mu_1}$ idem per l'altro cilindro . ( qui ho seri dubbi! )
Le linee di campo di B sono circolari e giacciono sul piano contenente la base del cilindro .
Cosa ne pensate?
Risposte
Che sbadato!
$q=\epsilon_0 J \pi R^2 [\rho_1 -\rho_2 ]$
$q=\epsilon_0 J \pi R^2 [\rho_1 -\rho_2 ]$
Ok, anche se per il segno ora bisognerebbe specificare se la corrente scorre dal primo cilindro al secondo o viceversa.
Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .
$sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\epsilon J [\rho_1 - \rho_2 ] $
Per quando riguarda i campi $B$ avevo pensato di calcolarli cosi :
$\int_{\Gamma] \vec{B}_1 d\vec{r}=\mu_1 i_1$ da cui :
$\vec{B}(r<=R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi r^2 J$
$\vec{B}(r>R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi R^2 J$
$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi r^2 J$
$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi R^2 J$
$sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\epsilon J [\rho_1 - \rho_2 ] $
Per quando riguarda i campi $B$ avevo pensato di calcolarli cosi :
$\int_{\Gamma] \vec{B}_1 d\vec{r}=\mu_1 i_1$ da cui :
$\vec{B}(r<=R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi r^2 J$
$\vec{B}(r>R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi R^2 J$
$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi r^2 J$
$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi R^2 J$
"MillesoliSamuele":
Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .
Ci avrei scommesso, è la solita (brutta) abitudine dei fisici di inserire il generatore a testa in giù
... noi idraulici facciamo esattamente il contrario. "MillesoliSamuele":
...
$sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\epsilon J [\rho_1 - \rho_2 ] $
Ok, e poi sostituendo J ... avremo ...
"MillesoliSamuele":
... Per quando riguarda i campi $B$ avevo pensato di calcolarli cosi : ...
Alla seconda domanda del testo
... 2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
non è possibile dare una (semplice) risposta, in quanto la lunghezza finita dei conduttori non permette di usare la forma semplificata della legge di Biot e Savart, ma obbliga ad usare la prima legge di Laplace, al fine di ottenere il campo in ogni singolo punto interno o esterno che sia, via integrazione dei contributi elementari infinitesimi ... ma, vista la domanda, non credo fosse questa l'idea dello stesore, che non ne ha ricordato i limiti.
Per poter risolvere (in via approssimata) in quel modo, bisognerebbe infatti ipotizzare come minimo una dimensione $h$ di diversi ordini di grandezza superiore al diametro dei due cilindri $h \text{>>} R$ e limitarsi a considerare una zona prossima alla giunzione dei due cilindri; con queste ipotesi addizionali, per il campo esterno $r > R$, non servirà distinguere fra conduttore superiore e inferiore in quanto la corrente $i_1$ è uguale alla $i_2$, ricavando $H$ e $B=\mu_0H$, entrambi inversamente proporzionali a $r$ e direttamente proporzionali alla corrente totale.
Per quanto riguarda il campo interno $r < R$, dovremo invece considerare per il campo $H=H_1=H_2$ la sola frazione $i_p$ della corrente $i$ interna al generico cilindro di raggio $r $, come hai correttamente fatto, e solo in questo caso distinguere il campo $B$ in $B_1$ e $B_2$ per i punti dei due diversi mezzi cilindri.
BTW Come hai scelto gli assi? ... Occhio che il versore risultante da quel prodotto vettoriale (simbolo ormai "preistorico") viene a essere corretto solo per i punti di un semipiano.
"RenzoDF":
[quote="MillesoliSamuele"]Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .
Ci avrei scommesso, è la solita (brutta) abitudine dei fisici di inserire il generatore a testa in giù
... noi idraulici facciamo esattamente il contrario. [/quote]Ahahahah abbiamo tantissime brutte abitudini , per esempio approssimare mucche a sfere ( c'è un bellissimo trattato su ciò ) , un'altra è l'affibiare il sostantivo "oggetto" a qualunque cosa si muova lol
"RenzoDF":
[quote="MillesoliSamuele"]... 2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.
non è possibile dare una (semplice) risposta, in quanto la lunghezza finita dei conduttori non permette di usare la forma semplificata della legge di Biot e Savart, ma obbliga ad usare la prima legge di Laplace, al fine di ottenere il campo in ogni singolo punto interno o esterno che sia, via integrazione dei contributi elementari infinitesimi ... ma, vista la domanda, non credo fosse questa l'idea dello stesore, che non ne ha ricordato i limiti.
Per poter risolvere (in via approssimata) in quel modo, bisognerebbe infatti ipotizzare come minimo una dimensione $h$ di diversi ordini di grandezza superiore al diametro dei due cilindri $h \text{>>} R$ e limitarsi a considerare una zona prossima alla giunzione dei due cilindri; con queste ipotesi addizionali, per il campo esterno $r > R$, non servirà distinguere fra conduttore superiore e inferiore in quanto la corrente $i_1$ è uguale alla $i_2$, ricavando $H$ e $B=\mu_0H$, entrambi inversamente proporzionali a $r$ e direttamente proporzionali alla corrente totale.
Per quanto riguarda il campo interno $r < R$, dovremo invece considerare per il campo $H=H_1=H_2$ la sola frazione $i_p$ della corrente $i$ interna al generico cilindro di raggio $r $, come hai correttamente fatto, e solo in questo caso distinguere il campo $B$ in $B_1$ e $B_2$ per i punti dei due diversi mezzi cilindri. [/quote]
Nella teoria , per conduttori cilindrici , non facciamo alcuna ipotesi sulle dimensioni e applichiamo direttamente la legge di Biot-Savart ... In tal caso come dovrei muovermi per calcolare il campo con la legge di Laplace ?
"RenzoDF":BTW Come hai scelto gli assi? ... Occhio che il versore risultante da quel prodotto vettoriale (simbolo ormai "preistorico") viene a essere corretto solo per i punti di un semipiano.
Immaginando il generatore cilindrico uno sopra l'altro , la sua direttrice è parallela all'asse delle z , mentre la base del cilindro 1 giace sul piano xy . Si hai ragione , è abbastanza preistorico , sarebbe meglio introdurre un versore $hat{\phi}$ nel piano xy .
"MillesoliSamuele":
... Nella teoria , per conduttori cilindrici , non facciamo alcuna ipotesi sulle dimensioni e applichiamo direttamente la legge di Biot-Savart ... In tal caso come dovrei muovermi per calcolare il campo con la legge di Laplace ?
Vuoi forse dirmi che non la conosci nemmeno? ... non riesco a capire come sia possibile.
"MillesoliSamuele":
... Immaginando il generatore cilindrico uno sopra l'altro , la sua direttrice è parallela all'asse delle z , mentre la base del cilindro 1 giace sul piano xy .
Allora hai proprio sbagliato, in quanto con il prodotto vettoriale dei due versori $\hat x $ e $\hat y$ ottieni il versore $\hat z$ parallelo all'asse dei cilindri e non normale allo stesso, come dovrebbe essere per i campi H e B.
"MillesoliSamuele":
... Si hai ragione , è abbastanza preistorico , sarebbe meglio introdurre un versore $hat{\phi}$ nel piano xy .
Intendevo riferirmi al simbolo $\wedge$ usato per indicarlo.
Certo che la conosco .
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