Doppia macchina di Atwood

[_luca94_1]

Supponendo di avere un sistema come in figura e supponendo di conoscere il valore delle tre masse, calcolare l' accelerazione (o le accelerazioni?) del sistema.

[stormy1]

comincererei col definire le seguenti grandezze

$tau$ tensione del filo che collega la massa 1 alla carrucola mobile
$a_T$ accelerazione della carrucola mobile
$tau'$ tensione del filo che collega le masse 2 e 3 (qual è la forza che questo filo applica sulla carrucola mobile ?)
$a_R$ accelerazione della massa 3

[_luca94_1]

"stormy":comincererei col definire le seguenti grandezze

$tau$ tensione del filo che collega la massa 1 alla carrucola mobile
$a_T$ accelerazione della carrucola mobile
$tau'$ tensione del filo che collega le masse 2 e 3 (qual è la forza che questo filo applica sulla carrucola mobile ?)
$a_R$ accelerazione della massa 3 rispetto alla carrucola mobile

Provo a scrivere la sommatoria delle forze per ogni corpo:
$\{(-m_1g + T = m_1a_1),(-m_2g+T'=m_2a_2),(-m_3g+T'=m_3a_3):}$
Ho un po' troppe incognite

Adesso dovrei posizionare un sistema di riferimento solidale con la carrucola mobile, calcolare le accelerazioni relative delle masse 2 e 3 (che sono uguali e che so calcolare, perchè in questo caso la macchina di Atwood non è doppia) e poi definire le accelerazioni così:
$a_2 = a_r + \deltaa_2$
$a_3 = a_r + \deltaa_3$
???
E ammesso che sia così, quei delta sono il contributo della carrucola mobile?

[stormy1]

detta $M$ la massa della carrucola mobile,io la vedo così (e non pretendo di avere la verità in tasca )

$tau-m_1g=m_1a_T$
$2tau'-tau+Mg=Ma_T$
$m_3g-tau'=m_3a_R$
$tau'-m_2g=m_2a_R$

[_luca94_1]

"stormy":detta $M$ la massa della carrucola mobile,io la vedo così (e non pretendo di avere la verità in tasca )

$tau-m_1g=m_1a_T$
$2tau'-tau=Ma_T$
$m_3g-tau'=m_3a_R$
$tau'-m_2g=m_2a_R$

Si, anche io ho pensato cosí!
Ma visto che stiamo parlando carrucole ideali, ha senso parlare di massa della carrucola?

[stormy1]

io penso che per la carrucola mobile non si possa parlare di massa trascurabile,come si fa di solito per le carrucole fisse.
Altrimenti,ragioniamo per assurdo : se la massa della carrucola mobile fosse praticamente nulla,essa si muoverebbe con accelerazione praticamente infinita,e non mi sembra un'opzione realistica

[matteo1113]

se la carrucola ha massa bisogna però considerare pure i momenti e aggiungere quindi che $2T prime- T=1/2M $ e la stessa cosa per l'altra carrucola

[stormy1]

aspetta però,noi stiamo applicando il 2° principio della dinamica ,che coinvolge solo il centro di massa della carrucola
$vecF=mveca_G$

[matteo1113]

si ma quando si parla di corpi in rotazione il secondo principio della dinamica si applica con i momenti, comunque l'esercizio parla semplicemente di 3 masse quindi penso che si debba trascurare quella delle carrucole

[stormy1]

"matteo111":quando si parla di corpi in rotazione il secondo principio della dinamica si applica con i momenti,

ci sono due leggi infatti
$vecF=mveca_G$
$vecM=(dvecP)/(dt)$

noi,essendo la cosa legale,usiamo solo la prima

ciò non toglie che ,come dici giustamente,sembra che nell'esercizio non sia menzionata la massa della carrucola mobile
a mio modesto parere (che peraltro condivido ) , essa non si può ritenere nulla per il motivo già esposto
nel caso della carrucola fissa si pùo fare questa idealizzazione perchè la risultante delle forze che agiscono su di essa è nulla

a proposito,avevo dimenticato di considerare la forza $Mg$
ho corretto

[matteo1113]

Così si commette un piccolo errore, infatti, considerando una macchina singola, se applichiamo solo la prima abbiamo che
$ a=(m2-m1)/(m2+m1) $
usando invece la formula con i momenti abbiamo che
$ a=(m2-m1)/(m2+m1+M/2) $
Lo stesso ragionamento si usa in questo caso.

[stormy1]

a questo punto non riesco a capire : stai forse dicendo che la formula $vecF=mveca_G$ non è sufficiente per determinare $veca_G $ (che nel nostro esercizio ha modulo $a_T$)?
se la risposta è affermativa penso che sia inutile continuare la discussione

[matteo1113]

mi hai convinto