Doppia cerniera mobile. 5.116

[Antonio_80]

con soluzione:

Ma questa soluzione mi sta facendo confondere le idee
IO ho fatto il seguente ragionamento.....
Faccio il diagramma del corpo libero seguente:

che come si vede non è lo stesso in termini di quello del testo, , vorrei capirlo il perchè il testo fa il suo diagramma del corpo libero che è nettamente diverso dal mio
Comunque, in attesa di chiarire questi vettori disegnati dal testo in modo differente dal mio, scrivo le equazioni a cui ho pensato io....

Correggetemi se sto per dire cavolate.....

Punto 1)
Filo privo di massa, filo inestensibile, blocchi fermi per la richiesta del punto 1), ci da che $T_1=T_2$ per cui possiamo chiamare la tensione con il semplice $T$, ma in componenti si ha che:
$T_x = Tcos(90-theta_0) = T sen theta_0$
$T_y = Tsen(90-theta_0) = T cos theta_0$
per comodità di scrittura delle componenti della tensione ho usato il punto in cui è situata la massa di $m_1$, dico questo perchè così si evince meglio il metodo a cui sono arrivato alle componenti della tensione.


Blocco con massa $m_2$:
$m_2 ddot(x)= -Tsen theta_0 + f_a$
$N_2-m_2g = 0$
essendo un caso in cui il blocco deve restare fermo, si ha:
$0= -Tsen theta_0 + f_a -> f_a =Tsen theta_0 $
$N_2-m_2g = 0 -> N_2 = m_2g$


Blocco con massa $m_1$:
$m_1 ddot(y) = m_1g + Tcos theta_0$
essendo un caso in cui il blocco deve restare fermo si ha:
$0= m_1g + Tcos theta_0$

In conclusione ho 4 equazioni che messe a sistema sono:

${ ( f_a =Tsen theta_0 ),( f_a = mu_sN_2 ),( N_2 = m_2g ),( 0= m_1g + Tcos theta_0 ) :}$

e svolgendo i calcoli mi trovo con un attrito che è $mu_s=-(m_1)/(m_2) tg theta_0$

ma non mi trovo con quello che scrive il testo:

${ ( N_1=m_2g+T costheta_0 ),( f_a=Tsin theta_0 ):}$


Cosa sto sbagliando

Adesso mi chiedo.....
Perchè il testo nel diagramma del corpo libero, sul blocco $m_2$ scrive che la razione normale è quellla del blocco $m_1$ e cioè $N_1=m_1g$
E perchè sul blocco di massa $m_1$ scrive che la reazione normale è $N_2=m_2g$ che poi corrisponde al blocco dall'altra parte
E poi a cosa serve quella $N_2$ che scrive il testo (in modo errato a mio parere) su $m_1$ dato che il blocco $m_1$ andrebbe a muoversi eventualemente solo lungo la $y$

Noon condivido proprio questo fatto che il testo inverte le reazioni normali sui blocchi!
Ma per quale arzighigolo di motivo fa queste cose il testo

Qualcuno può per favore aiutarmi

[Sk_Anonymous]

Una cosa per volta.

Nella configurazione di equilibrio , la massa $m_1$ , libera di scorrere sull'asse $y$ verticale, non cade. Quindi è in equilibrio sotto l'azione del peso e della componente della tensione $T$ sullo stesso asse $y$ :

$m_1g - T*cos\theta_0 = 0 \rightarrow Tcos\theta_0 = m_1g$

LA massa $m_2$ è in equilibrio, sia alla traslazione verticale che alla traslazione orizzontale.

Per l'equilibrio alla traslazione verticale :

$N_1 - m_2g - Tcos\theta_0 = 0 \rightarrow N_1 = m_2g + Tcos\theta_0 \rightarrow N_1 = (m_1+m_2)g$

e del resto è evidente : la reazione verticale $N_1$ è l'unica forza in grado di equilibrare il peso della massa $m_2$ e impedire la caduta della massa $m_1$ .

Per l'equilibrio alla traslazione orizzontale :

$Tsen\theta_0 - F_a = 0 \rightarrow F_a = Tsen\theta_0$

Poiche deve essere : $\mu_s >=|F_a|/N_1 $ , sarà :

$\mu_s >= (Tsen\theta_0)/((m_1+m_2)g) = …….= m_1/(m_1+m_2)*tan\theta_0 $

e questo coincide col risultato del libro.

[Antonio_80]

La cosa che mi turba è che le reazioni di una massa si riversano sull'altra massa, tutto qui'!
Se mi capita un esercizio del genere, da adesso so risolverlo, solo che mi resta un pò di insicurezza sul fenomeno in se, cioè sul fatto di queste reazioni che se ho la massa $m_1$ le reazioni che si devono considerare sono quelle della massa $m_2$ e cioè su $m_1$ si ha la reazione $N_2$..., insomma, fino ad adesso non mi è mai capitata una cosa del genere, se ho un corpo di massa $m_1$, le reazioni normali per me sono sempre state $N_1$...., mentre nella configurazione di questo esercizio invece capita che sulla massa $m_1$ si ha una reazione normale che è la $N_2$...

Come posso farlo entrare nella mia mente questo fatto

In effetti mi hai dato una spiegazione formidabile:

Per l'equilibrio alla traslazione verticale :

$N_1 - m_2g - Tcos\theta_0 = 0 \rightarrow N_1 = m_2g + Tcos\theta_0 \rightarrow N_1 = (m_1+m_2)g$

e del resto è evidente : la reazione verticale $N_1$ è l'unica forza in grado di equilibrare il peso della massa $m_2$ e impedire la caduta della massa $m_1$

E sinceramente io riesco a concepirla, ho solo paura che se mi capita in un esercizio, io non riesca a saperla utilizzare, tutto qui!

[Antonio_80]

Punto 2)

In questo punto mi viene chiesto di calcolare la velocità del blocco di massa $m_2$ in assenza di attrito e ovviamente l'istante che mi viene chiesto di calcolare la velocità del blocco $m_2$ è quando $ theta=0$.
Io ho pensato di risolvere il punto pensando alla prima equazione cardinale, cioè:

$m_2 ddot(x) = T sen theta - N_1$

La formula dice che il blocco di massa $m_2$ accelera lungo l'asse delle $x$ (cosa ovvia), ma per i motivi trattati nel punto 1) e cioè sulle reazioni normali ecc. la dove io ho avuto delle perplessità, so che il sistema composto da due masse $m_1$ ed $m_2$, queste sono entrambe soggette alla forza gravitazionale, quindi la stessa deve accelerare entrambi le masse ed essendo il blocco di massa $m_1$ l'unico soggetto ad avere velocità lungo la $y$ ed essendo $v_y=v_x$ posso dunque dire che la gravità comporta che

$N_1 = (m_1+m_2)g$ (ricavata nel punto 1))

Quindi:

$m_2 ddot(x) = T sen theta - (m_1+m_2)g$

$ddot(x) = (T sen theta - (m_1+m_2)g)/(m_2)$

integro ed ho:

$dot(x) = (T sen theta - (m_1+m_2)g)/(m_2) * t$

e questa è la velocità!
Per quale motivo non si trova con quella che dice il testo
E poi il testo noto che usa i seguenti segni:

$-m_1glcos theta_0 = - m_1 gl +1/2m_2v_2^2$

il testo usa i segno negativi perchè ha pensato che l'asse $y$ positivo fosse verso l'alto, vero
Ma se io ho pensato che l'asse $y$ positivo è verso il basso, a me viene di scrivere:

$m_1glcos theta_0 = m_1 gl +1/2m_2v_2^2$

ma poi non mi trovo con il segno finale della velocità,
Ho pensato invece che se imposto gli assi come ho detto io, cioè la $y$ positiva verso il basso, si ha che la $y$ in coordinata del potenziale tende a crescere, mentre la velocità tende a zero in quanto va da una certa $x$ iniziale ad una $x=0$, questo vuol dire che il segno della velocità è negativo, ho detto bene
Quindi si ha:

$m_1glcos theta_0 = m_1 gl - 1/2m_2v_2^2 -> v_2 = sqrt((2m_1gl)/(m_2) (1-cos theta_0))$

avendo adesso questa velocità che ha valore positivo:
$v_2 = sqrt((2m_1gl)/(m_2) (1-cos theta_0))$
dovrò mettere un segno meno per dire che tende a zero:

$v_2 =- sqrt((2m_1gl)/(m_2) (1-cos theta_0))$

giusto



Penso che una velocità negativa voglia dire che è una velocità in diminuzione, giusto
E io come avrei dovuto scrivere in termini di segni per trovarmi con la soluzione del testo pensando che l'asse $y$ positivo è come dico io verso il basso

So che si può usare il principio di conservazione dell'energia in quanto non ci sono attriti, ma io ho voluto ugualmente calcolare la velocità in modo alternativo!
Cosa ho sbagliato
Perchè non mi trovo con quello che dice il testo

Punto 3)
La domanda del punto 3) mi chiede di calcolare la tensione del filo in funzione di $theta$ in assenza di attrito, durante l'evoluzione da $theta= theta_0$ ad $theta = 0$, ma io non ho proprio idea di come fare!
Qui si tratta di cinematica, di corpi in movimento, ma in questo caso avreste qualche consiglio su come impostare una soluzione

Help!

[Sk_Anonymous]

Cosa ho sbagliato
Perchè non mi trovo con quello che dice il testo

Perché fai tanti arzigogoli, visto che hai la soluzione ?
La soluzione del punto 2 è un'applicazione del principio di conservazione dell'energia meccanica di tutto il sistema :

$U_i + K_i = U_f + K_f$ ------(1)

È assunto il piano orizzontale contenente l'asse $x$ come livello zero per l'energia potenziale . Quindi la massa $m_2$ ha energia potenziale sempre uguale a zero, all'inizio e alla fine. La massa $m_1$ invece , trovandosi sotto il piano ad una distanza $Lcos\theta_0$ ha un'energia potenziale iniziale negativa :

$U_i = - m_1gLcos\theta_0$

e quando il filo è verticale l'energia potenziale di $m_1$ è diventata : $U_f = - m_1gL$

Invece le energie cinetiche iniziali sono nulle per entrambe le masse, mentre l'en. cinetica finale è solo quella della massa $m_2$ , cioè : $1/2m_2v_2^2$ . Questo perché, come dice la soluzione , la massa $m_1$ è ferma.

PERcio , per la (1) :

$-m_1gLcos\theta_0 = - m_1gL + 1/2m_2v_2^2$

da cui la soluzione.

Ricavare la velocità finale dalla 2° legge della dinamica è complicato, perché la tensione del filo non è costante.

Il terzo punto è piuttosto difficile, lascio stare.

[Antonio_80]

Grazie Nav.!
In sostanza io risolvo prima l'esercizio senza guardare la soluzione e quando pubblico la mia soluzione non vedo la soluzione del testo, dopo che ho ascoltato le tue parole su un esercizio, allora in quel momento vedo tutto quello che c'è da vedere!
In sostanza per me la soluzione è l'ultima spiaggia, ascoltare ciò che c'è dietro, es. ascoltare te, vuol dire di più, tu riesci a dare la spiegazione ai fenomeni che vale molto di più

Grazie amico mio!