Dominio di dipendenza e influenza PDE D'Alembert
Salve a tutti, sono un matematico alle prese con l'esame di fisica matematica, il corso segue a grandi linee queste dispense
https://dipmat.univpm.it/~franca/didattica/opzionaleMetodi/ModelliPDE.pdf
Il mio problema riguarda la formula di D'Alembert, che potete trovare a pagina 65 delle dispense che vi ho postato, o analogamente a pagina 71 del PDF.
Il problema non sta molto nella formula ma sull'osservazione che fa a pagina 67 sul dominio di dipendenza e di influenza.
Mi è chiaro che $\forall(x_0,t_0)$ la soluzione $\u(x_0,t_0)$ dipenda da $\v_0$ in $[(x_0-ct_0,x_0+ct_0)]$ ma non capisco per quale motivo la soluzione dipenda da $u_0$ solo nei punti $x_0-ct_0,x_0+ct_0$. Quello che mi torna strano è che quando ho definito il problema la funzione $u_0$ è definita ovunque, quindi la soluzione dovrebbe dipendere sempre da $u_0$.
La difficoltà ancora più grande l'ho incontrata quando parla del dominio di influenza, non capisco per quale motivo assegnare i dati iniziali in un intervallo implichi che la soluzione venga influenzata in quella parte di piano delimitata dalle caratteristiche, non riesco proprio a spiegarmelo in nessun modo.
Spero che possiate aiutarmi, grazie infinite
https://dipmat.univpm.it/~franca/didattica/opzionaleMetodi/ModelliPDE.pdf
Il mio problema riguarda la formula di D'Alembert, che potete trovare a pagina 65 delle dispense che vi ho postato, o analogamente a pagina 71 del PDF.
Il problema non sta molto nella formula ma sull'osservazione che fa a pagina 67 sul dominio di dipendenza e di influenza.
Mi è chiaro che $\forall(x_0,t_0)$ la soluzione $\u(x_0,t_0)$ dipenda da $\v_0$ in $[(x_0-ct_0,x_0+ct_0)]$ ma non capisco per quale motivo la soluzione dipenda da $u_0$ solo nei punti $x_0-ct_0,x_0+ct_0$. Quello che mi torna strano è che quando ho definito il problema la funzione $u_0$ è definita ovunque, quindi la soluzione dovrebbe dipendere sempre da $u_0$.
La difficoltà ancora più grande l'ho incontrata quando parla del dominio di influenza, non capisco per quale motivo assegnare i dati iniziali in un intervallo implichi che la soluzione venga influenzata in quella parte di piano delimitata dalle caratteristiche, non riesco proprio a spiegarmelo in nessun modo.
Spero che possiate aiutarmi, grazie infinite
Risposte
Per quanto riguarda il primo dubbio, se si calcola $u(x_0,t_0)$ sostituendo $[x=x_0] ^^ [t=t_0]$ in $u(x,t)$ si ottiene:
$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds] ^^ [x=x_0] ^^ [t=t_0] rarr$
$rarr [u(x_0,t_0)=1/2[u_0(x_0-ct_0)+u_0(x_0+ct_0)]+1/(2c)\int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0}v_0(s)ds]$
Come si può osservare, $u(x_0,t_0)$ dipende da $u_0$ solo per i valori del suo argomento $[x_0-ct_0]$ e $[x_0+ct_0]$.
Quando si calcola $u(x,t)$ in $(x_1,t_1)$ e in $(x_2,t_2)$ generici:
$[u(x_1,t_1)=1/2[u_0(x_1-ct_1)+u_0(x_1+ct_1)]+...]$
$[u(x_2,t_2)=1/2[u_0(x_2-ct_2)+u_0(x_2+ct_2)]+...]$
si contemplano tutti i valori dell'argomento di $u_0$. In definitiva, la soluzione $u(x,t)$ dipende da $u_0$ per ogni valore del suo argomento.
$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds] ^^ [x=x_0] ^^ [t=t_0] rarr$
$rarr [u(x_0,t_0)=1/2[u_0(x_0-ct_0)+u_0(x_0+ct_0)]+1/(2c)\int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0}v_0(s)ds]$
Come si può osservare, $u(x_0,t_0)$ dipende da $u_0$ solo per i valori del suo argomento $[x_0-ct_0]$ e $[x_0+ct_0]$.
"materia":
Quello che mi torna strano è che quando ho definito il problema la funzione $u_0$ è definita ovunque, quindi la soluzione dovrebbe dipendere sempre da $u_0$.
Quando si calcola $u(x,t)$ in $(x_1,t_1)$ e in $(x_2,t_2)$ generici:
$[u(x_1,t_1)=1/2[u_0(x_1-ct_1)+u_0(x_1+ct_1)]+...]$
$[u(x_2,t_2)=1/2[u_0(x_2-ct_2)+u_0(x_2+ct_2)]+...]$
si contemplano tutti i valori dell'argomento di $u_0$. In definitiva, la soluzione $u(x,t)$ dipende da $u_0$ per ogni valore del suo argomento.
ah ok certo ora questa cosa mi è chiarissima... GRAZIE. Per quanto riguarda la seconda domanda sapresti aiutarmi?
Conviene riferirsi all'immagine sottostante, avendo posto $[c=1]$:
Intanto, per $[t=0]$, i dati (iniziali) sono assegnati nei punti le cui ascisse soddisfano $[a lt= x lt= b]$. Inoltre, per un generico istante $[t gt 0]$, l'influenza dei dati iniziali si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$. Nell'immagine di cui sopra, il punto P appartiene alla caratteristica $[x+ct=a]$ e le sue coordinate sono $P(a-ct,t)$, il punto Q appartiene alla caratteristica $[x-ct=b]$ e le sue coordinate sono $Q(b+ct,t)$. Più intuitivamente, le cose vanno come se, all'istante $[t=0]$, si accendessero delle lampadine per $[a lt= x lt= b]$. Ebbene, a un generico istante successivo la luce si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$.
Intanto, per $[t=0]$, i dati (iniziali) sono assegnati nei punti le cui ascisse soddisfano $[a lt= x lt= b]$. Inoltre, per un generico istante $[t gt 0]$, l'influenza dei dati iniziali si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$. Nell'immagine di cui sopra, il punto P appartiene alla caratteristica $[x+ct=a]$ e le sue coordinate sono $P(a-ct,t)$, il punto Q appartiene alla caratteristica $[x-ct=b]$ e le sue coordinate sono $Q(b+ct,t)$. Più intuitivamente, le cose vanno come se, all'istante $[t=0]$, si accendessero delle lampadine per $[a lt= x lt= b]$. Ebbene, a un generico istante successivo la luce si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$.
sinceramente ancora non mi è tutto chiaro, io so che la soluzione è costante lungo le caratteristiche, dunque se io so che valgono le condizioni iniziali in [a,b] allora definisco la soluzione lungo tutte le caratteristiche all'avanti e all'indietro passanti per (x,0) con x che varia in [a,b]. però così facendo mi rimane escluso una sorta di triangolo che sta nella regione rossa nell'immagine che tu hai postato, e non riesco a capire come faccio ad influenzare la soluzione anche in quella regione.
Ho tipo l'impressione di non aver capito nulla
. scusa e grazie per la pazienza.
Ho tipo l'impressione di non aver capito nulla
. scusa e grazie per la pazienza.
Premesso che, nella formula di d'Alembert:
$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds]$
per determinare il dominio di influenza dei dati iniziali nell'intervallo $[a,b]$ è necessario considerare anche il termine contenente l'integrale, è piuttosto evidente che il medesimo integrale è senz'altro nullo, indipendentemente da $v(s)$, se e solo se l'ascissa $x$ e l'istante $t$ in cui si valuta la soluzione soddisfano la seguente condizione:
$[[x+ct lt a] vv [x-ct gt b]] ^^ [t gt= 0]$
Proprio la suddetta condizione è la motivazione dell'immagine allegata nel mio messaggio precedente. Tuttavia:
onestà intellettuale impone di ritenere l'esempio sopra citato incompleto e di ringraziarti per la puntuale obiezione. Ad ogni modo, uno studio più approfondito della dipendenza della soluzione da entrambe le condizioni iniziali può senz'altro facilitare la comprensione.
$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds]$
per determinare il dominio di influenza dei dati iniziali nell'intervallo $[a,b]$ è necessario considerare anche il termine contenente l'integrale, è piuttosto evidente che il medesimo integrale è senz'altro nullo, indipendentemente da $v(s)$, se e solo se l'ascissa $x$ e l'istante $t$ in cui si valuta la soluzione soddisfano la seguente condizione:
$[[x+ct lt a] vv [x-ct gt b]] ^^ [t gt= 0]$
Proprio la suddetta condizione è la motivazione dell'immagine allegata nel mio messaggio precedente. Tuttavia:
"anonymous_0b37e9":
Più intuitivamente, le cose vanno come se, all'istante $[t=0]$, si accendessero delle lampadine per $[a lt= x lt= b]$. Ebbene, a un generico istante successivo la luce si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$.
onestà intellettuale impone di ritenere l'esempio sopra citato incompleto e di ringraziarti per la puntuale obiezione. Ad ogni modo, uno studio più approfondito della dipendenza della soluzione da entrambe le condizioni iniziali può senz'altro facilitare la comprensione.
visto che non ero molto preparato per l'esame ho rimandato l'esame a settembre. Sto proprio ora ripetendo la parte che avevo chiesto, e forse ora sono riuscito a capire il mio inghippo mentale. Nell'ultima figura che ho postato, quella con le aree in verde e blu, ho rappresentato solo l'influenza della condizione iniziale su $u_0(x+ct)$ e $u_0(x-ct)$, ma dal momento che nella formula di D'Alembert compare anche l'integrale avente come estremi le due rette x+ct e x-ct allora l'influenza avviene anche in quel triangolo che nell'ultima mia foto postata sta tra le regioni verde e blu. Dovrebbe essere questo il motivo giusto? Ecco perché @anonymous_0b37e9 mi aveva risposto dicendo che dovevo far attenzione anche all'integrale. Grazie!
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