Domandina commutazione

[albireo1]

Sia $L_z$ la proiezione del momento angolare di una particella sull'asse $z$ e $A$ un operatore che non sia una funzione di $L_z$ ma che commuti con esso.
Secondo voi si può affermare che $A$ commuta anche con $L_x$ e $L_y$?

[5mrkv]

Boh, direi che in generale è falso. \(L_{x_i}\) non commutano neppure fra di loro e anche se fosse non credo si possa utilizzare come relazione. Inoltre sono funzioni di variabili diverse, \(L_{z}\) è funzione di \(x\) ed \(y\) quindi si potrebbe scrivere una funzione che commuti con \(L_{z}\) e nono commuti con le altre due.

Ecco, il controesempio più semplice sarebbe l'operatore posizione ed è presente anche su wiki: link.

[albireo1]

Ma l'operatore posizione non è un controesempio perchè con $L_z$ commuta solo la componente $z$ dell'operatore posizione e quindi non si può dire che l'operatore posizione commuta con $L_z$

"5mrkv":si potrebbe scrivere una funzione che commuti con \(L_{z}\) e nono commuti con le altre due.

Come fai ad esser certo che una funzione così costruita non sia una funzione di $L_z$?


EDIT: in effetti considerando solo l'operatore $Z$ questo commuta con $L_z$ ma non con $L_x$ e $L_y$.

Ma se invece siamo sotto le stesse ipotesi, cioè dato $A$ un operatore che non sia funzione di $L_z$ ma tale che commuti con esso, si può dire che $A$ commuta con $L_x^2$ e $L_y^2$ ? Oppure si può dire che commuta con $\vec {L^2}$ ?

[5mrkv]

Prova ancora a vedere se \(z\) commuta con gli altri operatori che proponi.

[albireo1]

Su tuo suggerimento ho provato a sviluppare $[L_x^2,z], [L_y^2,z]$ e $[L^2,z]$ e mi vien fuori un'espressione che non credo proprio possa annullarsi.

Un'ultima curiosità: sappiamo che dati due operatori $A$ e $B$ che commutano, allora $A$ ccommuta anche con un operatore che sia una funzione di $B$. La domanda è: se invece $A$ e $B$ non commutano si può dire che $A$ non commuta con un qualunque operatore che sia funzione di $B$?