Domande sulla cinematica del corpo rigido
Salve ragazzi, stavo ragionando sulla cinematica del corpo rigido e volevo sapere se posso ritenere di aver capito bene la questione.
Il problema è: come descrivere in maniera non ambigua il moto di un corpo rigido?
La prima cosa da fare è quella di fissare un sistema di riferimento "fisso" e la terna canonica ortonormale di tale riferimento, $vec i_1, vec i_2, vec i_3$. A questo punto, il passo successivo è quello di conoscere in funzione del tempo la posizione di un punto, $Q$, del corpo rigido; per fare ciò, tuttavia, sono obbligato a dotare il corpo rigido di un sistema di riferimento solidale con esso e dei corrispondenti tre versori $vec e_1, vec e_2, vec e_3$ canonici. Fatto questo posso dunque considerare un punto $Q$ del corpo rigido (tramite l'indicazione delle sue coordinate rispetto alla terna solidale) e scriverne la sua legge oraria (naturalmente rispetto al riferimento fisso). La conoscenza di tale funzione tuttavia non è sufficiente per individuare univocamente il moto del corpo rigido nello spazio: mi serve dell'altro. Siccome per descrivere il moto del punto $Q$ ho dovuto introdurre una terna solidale, potrei utilizzare questa per definire completamente il moto del corpo rigido, e cioè potrei ricavare le leggi che esprimono come variano i versori $vec e_1, vec e_2, vec e_3$ rispetto al sistema fisso, cioè le tre funzioni vettoriali $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ giusto? Quindi, la conoscenza dell'evoluzione nel tempo di $Q$ e delle funzioni $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ rispetto naturalmente al sistema di riferimento fisso consente di definire completamente il moto del corpo rigido nello spazio.
Ora, dal momento che per ipotesi i tre versori della terna solidale sono ortogonali tra loro, le funzioni $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ non possono essere funzioni arbitrarie del tempo, ma devono soddisfare delle particolari condizioni.
In particolare, nel caso di un corpo rigido che si muove nello spazio, le condizioni sono queste:
1) devono valere le identità $vec e_1(t) *vec e_2(t)=vec e_1(t) *vec e_3(t)=vec e_2(t) *vec e_3(t)=0$, che impongono la reciproca ortogonalità dei tre versori;
Poi non ho capito perche devono valere queste altre condizioni
2) $vec e_1 *vec e_1=vec e_2 *vec e_2=vec e_3 *vec e_3=1$. A che serve questa condizione?
3) $vec e_1 xx vec e_2 *vec e_3=1$, che, come dice il mio testo, corrisponde alla richiesta che la terna mobile sia destrorsa. Domanda: che vuol dire che la terna mobile è destrorsa?
Per ora mi fermo qua, poi farò altre considerazioni. Grazie a tutti per le risposte
.
Il problema è: come descrivere in maniera non ambigua il moto di un corpo rigido?
La prima cosa da fare è quella di fissare un sistema di riferimento "fisso" e la terna canonica ortonormale di tale riferimento, $vec i_1, vec i_2, vec i_3$. A questo punto, il passo successivo è quello di conoscere in funzione del tempo la posizione di un punto, $Q$, del corpo rigido; per fare ciò, tuttavia, sono obbligato a dotare il corpo rigido di un sistema di riferimento solidale con esso e dei corrispondenti tre versori $vec e_1, vec e_2, vec e_3$ canonici. Fatto questo posso dunque considerare un punto $Q$ del corpo rigido (tramite l'indicazione delle sue coordinate rispetto alla terna solidale) e scriverne la sua legge oraria (naturalmente rispetto al riferimento fisso). La conoscenza di tale funzione tuttavia non è sufficiente per individuare univocamente il moto del corpo rigido nello spazio: mi serve dell'altro. Siccome per descrivere il moto del punto $Q$ ho dovuto introdurre una terna solidale, potrei utilizzare questa per definire completamente il moto del corpo rigido, e cioè potrei ricavare le leggi che esprimono come variano i versori $vec e_1, vec e_2, vec e_3$ rispetto al sistema fisso, cioè le tre funzioni vettoriali $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ giusto? Quindi, la conoscenza dell'evoluzione nel tempo di $Q$ e delle funzioni $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ rispetto naturalmente al sistema di riferimento fisso consente di definire completamente il moto del corpo rigido nello spazio.
Ora, dal momento che per ipotesi i tre versori della terna solidale sono ortogonali tra loro, le funzioni $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ non possono essere funzioni arbitrarie del tempo, ma devono soddisfare delle particolari condizioni.
In particolare, nel caso di un corpo rigido che si muove nello spazio, le condizioni sono queste:
1) devono valere le identità $vec e_1(t) *vec e_2(t)=vec e_1(t) *vec e_3(t)=vec e_2(t) *vec e_3(t)=0$, che impongono la reciproca ortogonalità dei tre versori;
Poi non ho capito perche devono valere queste altre condizioni
2) $vec e_1 *vec e_1=vec e_2 *vec e_2=vec e_3 *vec e_3=1$. A che serve questa condizione?
3) $vec e_1 xx vec e_2 *vec e_3=1$, che, come dice il mio testo, corrisponde alla richiesta che la terna mobile sia destrorsa. Domanda: che vuol dire che la terna mobile è destrorsa?
Per ora mi fermo qua, poi farò altre considerazioni. Grazie a tutti per le risposte
.
Risposte
lisdap,
qualche giorno fa , parlando di "moto circolare uniforme" , ho messo un paio di pagine scansite dal libro di Meccanica di Landau , dove si parla del moto di un corpo rigido :
il-moto-circolare-uniforme-t92854-30.html#p620286
vedi un pò se la lettura di quelle due paginette ti aiuta . Ciao
---------------------------------------
Perchè ,quando si scrivono le formule con i vettori ( la freccia sopra il simbolo) , le scritte vengono così male ? Si potrebbe migliorare ?
qualche giorno fa , parlando di "moto circolare uniforme" , ho messo un paio di pagine scansite dal libro di Meccanica di Landau , dove si parla del moto di un corpo rigido :
il-moto-circolare-uniforme-t92854-30.html#p620286
vedi un pò se la lettura di quelle due paginette ti aiuta . Ciao
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Perchè ,quando si scrivono le formule con i vettori ( la freccia sopra il simbolo) , le scritte vengono così male ? Si potrebbe migliorare ?
Ciao lisdap,
tutto corretto ciò che hai scritto, penso tu abbia ben compreso ciò di cui parli
Tornando alla domanda,
la prima relazione che non ti è chiara si riverisce alla condizione di avere modulo unitario dei versori che
definiscono la terna solidale.
La seconda domanda che poni è più sottile;
una terna sinistrorsa è il riferimento cartesiano più comunemente usato nello spazio, in cui i tre assi x, y, z hanno orientamento destro, cioè seguono la "regola della mano destra". Per passare da una terna sinistrorsa a una terna destrorsa basta cambiare il verso di uno degli assi. Questa distinzione è importante, perchè la matrice del cambiamento di base che
che lega i versori della terna solidale ai versori della terna fissa è una matrice di $SO(3)$, cioè appartiene al gruppo delle matrici ortogonali speciali. A livello applicativo vuol dire che una rotazione varia l'assetto della terna mobile rispetto alla fissa, ma non "l'orientamento" relativo tra i versori che compongono la terna mobile.
Confido nell'esserti stato d'aiuto.
Saluti
tutto corretto ciò che hai scritto, penso tu abbia ben compreso ciò di cui parli
Tornando alla domanda,
la prima relazione che non ti è chiara si riverisce alla condizione di avere modulo unitario dei versori che
definiscono la terna solidale.
La seconda domanda che poni è più sottile;
una terna sinistrorsa è il riferimento cartesiano più comunemente usato nello spazio, in cui i tre assi x, y, z hanno orientamento destro, cioè seguono la "regola della mano destra". Per passare da una terna sinistrorsa a una terna destrorsa basta cambiare il verso di uno degli assi. Questa distinzione è importante, perchè la matrice del cambiamento di base che
che lega i versori della terna solidale ai versori della terna fissa è una matrice di $SO(3)$, cioè appartiene al gruppo delle matrici ortogonali speciali. A livello applicativo vuol dire che una rotazione varia l'assetto della terna mobile rispetto alla fissa, ma non "l'orientamento" relativo tra i versori che compongono la terna mobile.
Confido nell'esserti stato d'aiuto.
Saluti
@ navigatore: grazie, leggerò quanto mi hai proposto e lo confronterò con quello che penso!
@ seven: grazie per la risposta, ho chiarito alcuni dubbi
Continuo come accennato prima.
Abbiamo detto che i tre versori della terna solidale devono rispettare le condizioni dei punti 1), 2) e 3), cioè in totale sette condizioni giusto? Le incognite di tali equazioni, che sono le componenti dei tre versori della terna solidale, sono 9 giusto?
Come faccio ora a dimostrare questa affermazione del testo: "alla luce delle condizioni imposte possiamo anticipare che le nove quantità $a_(h,k)$ saranno esprimibili come funzione di tre parametri."
Quando ho studiato geometria mi ricordo che se avevamo un sistema LINEARE dove il numero delle incognite era maggiore di quello delle equazioni, tutte le soluzioni del sistema si ottenevano facendo variare un certo parametro. Penso che anche qui il discorso sia simile, però il sistema in questione non è lineare e non ho idea di come possa essere risolto.
Grazie per l'aiuto.
@ seven: grazie per la risposta, ho chiarito alcuni dubbi
Continuo come accennato prima.
Abbiamo detto che i tre versori della terna solidale devono rispettare le condizioni dei punti 1), 2) e 3), cioè in totale sette condizioni giusto? Le incognite di tali equazioni, che sono le componenti dei tre versori della terna solidale, sono 9 giusto?
Come faccio ora a dimostrare questa affermazione del testo: "alla luce delle condizioni imposte possiamo anticipare che le nove quantità $a_(h,k)$ saranno esprimibili come funzione di tre parametri."
Quando ho studiato geometria mi ricordo che se avevamo un sistema LINEARE dove il numero delle incognite era maggiore di quello delle equazioni, tutte le soluzioni del sistema si ottenevano facendo variare un certo parametro. Penso che anche qui il discorso sia simile, però il sistema in questione non è lineare e non ho idea di come possa essere risolto.
Grazie per l'aiuto.
Allora,
prima di tutto considera solo sei equazioni, la settima ci dice che la matrice del cambiamento di base deve avere determinante $+1$. Hai fatto il teorema del Dini in più dimensioni? quello che chiedi vale per quel teorema
prima di tutto considera solo sei equazioni, la settima ci dice che la matrice del cambiamento di base deve avere determinante $+1$. Hai fatto il teorema del Dini in più dimensioni? quello che chiedi vale per quel teorema
Ciao seven, il libro dal quale sto studiando non dice nulla del teorema del Dini.
Innanzitutto ti faccio questa domanda: il testo dice che ogni componente $a_(h,k)$ è esprimibile come funzione di tre parametri arbitrari. Quindi, in altre parole, risolvendo il sistema di equazioni si ha che le soluzioni si ottengono al variare di tre parametri arbitrari giusto?
Ora cosa c'entrano questi tre parametri arbitrari con gli angoli di Eulero o di Cardano?
Per caso tali costruzioni di Eulero o di Cardano mirano a dare un'interpretazione "geometrica" alle soluzioni del sistema di equazioni?
Grazie!
Innanzitutto ti faccio questa domanda: il testo dice che ogni componente $a_(h,k)$ è esprimibile come funzione di tre parametri arbitrari. Quindi, in altre parole, risolvendo il sistema di equazioni si ha che le soluzioni si ottengono al variare di tre parametri arbitrari giusto?
Ora cosa c'entrano questi tre parametri arbitrari con gli angoli di Eulero o di Cardano?
Per caso tali costruzioni di Eulero o di Cardano mirano a dare un'interpretazione "geometrica" alle soluzioni del sistema di equazioni?
Grazie!
Ciao, nel frattempo posto un'altra domanda.
Consideriamo un sistema di riferimento fisso e un sistema mobile solidale ad un corpo rigido in movimento nello spazio.
Consideriamo due punti $Q$ e $P$ del corpo rigido, e quindi il segmento orientato $vec (QP)$. Tale vettore, rispetto al sistema solidale, sarà individuato da tre componenti costanti: $vec (QP)-=(y_1,y_2,y_3)=vec e_1 * y_1+vec e_2 * y_2+vec e_3 * y_3$, dove $vec e_1,vec e_2,vec e_3$ sono i versori ortonormali del sistema solidale al corpo rigido.
Se il vettore $vec (QP)$ è descritto rispetto al riferimento fisso, ovviamente le sue componenti non sono quantità costanti, bensì funzioni del tempo: $vec (QP)(t)-=y_1*vec e_1(t)+y_2*vec e_2(t)+y_3*vec e_3(t)$, dove $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ sono i vettori del sistema solidale descritti rispetto al sistema fisso.
Descritto quindi il vettore $vec (QP)$ rispetto al sistema fisso al trascorrere del tempo, e detti $vec OP$ e $vec OQ$ i vettori che partono dall'origine della terna fissa e terminano nei punti $P$ e $Q$, allora possiamo dire che, in ogni istante di tempo, l'uguaglianza $vec (OP(t))=vec (OQ(t))+y_1*vec e_1(t)+y_2*vec e_2(t)+y_3*vec e_3(t)$ è un'identità, comunque siano scelti i punti $Q$ e $P$, che sono assolutamente arbitrari.
Ora, derivando rispetto al tempo entrambi i membri di questa identità e tenendo conto delle formule di Poisson, si ottiene che l'uguaglianza $vec v_P(t)=vec v_Q(t)+vec w(t) xx vec (QP(t))$, con $w$ velocità angolare, è ancora un'identità al variare di $t$ nell'intervallo di osservazione del fenomeno.
Se riferiamo il tutto ad un preciso istante di tempo, abbiamo che l'identità di cui sopra si trasforma nell'identità
$vec v_P=vec v_Q+vec w xx vec QP$.
Quest'ultima uguaglianza che ho ricavato è appunto una identità, non un'equazione. A questo punto si può quindi generalizzare, considerando alcuni numeri dell'identità come delle incognite. Per esempio, se considero noti $vec w$, $vec v_Q$ e le corrdinate del punto $Q$ rispetto al riferimento fisso (tutto ad un certo istante), quell'identità si trasforma in un'equazione nelle incognite $vec v_P$ e $P$ le cui soluzioni descrivono un insieme di coppie ordinate il cui primo elemento è dato dalle coordinate del punto $P$ ed il secondo elemento dalla sua velocità, cioè un campo vettoriale delle velocità che viene detto atto di moto, rototraslatorio in particolare.
Sono corrette queste considerazioni?
Grazie
Consideriamo un sistema di riferimento fisso e un sistema mobile solidale ad un corpo rigido in movimento nello spazio.
Consideriamo due punti $Q$ e $P$ del corpo rigido, e quindi il segmento orientato $vec (QP)$. Tale vettore, rispetto al sistema solidale, sarà individuato da tre componenti costanti: $vec (QP)-=(y_1,y_2,y_3)=vec e_1 * y_1+vec e_2 * y_2+vec e_3 * y_3$, dove $vec e_1,vec e_2,vec e_3$ sono i versori ortonormali del sistema solidale al corpo rigido.
Se il vettore $vec (QP)$ è descritto rispetto al riferimento fisso, ovviamente le sue componenti non sono quantità costanti, bensì funzioni del tempo: $vec (QP)(t)-=y_1*vec e_1(t)+y_2*vec e_2(t)+y_3*vec e_3(t)$, dove $vec e_1(t), vec e_2(t), vec e_3(t)$ sono i vettori del sistema solidale descritti rispetto al sistema fisso.
Descritto quindi il vettore $vec (QP)$ rispetto al sistema fisso al trascorrere del tempo, e detti $vec OP$ e $vec OQ$ i vettori che partono dall'origine della terna fissa e terminano nei punti $P$ e $Q$, allora possiamo dire che, in ogni istante di tempo, l'uguaglianza $vec (OP(t))=vec (OQ(t))+y_1*vec e_1(t)+y_2*vec e_2(t)+y_3*vec e_3(t)$ è un'identità, comunque siano scelti i punti $Q$ e $P$, che sono assolutamente arbitrari.
Ora, derivando rispetto al tempo entrambi i membri di questa identità e tenendo conto delle formule di Poisson, si ottiene che l'uguaglianza $vec v_P(t)=vec v_Q(t)+vec w(t) xx vec (QP(t))$, con $w$ velocità angolare, è ancora un'identità al variare di $t$ nell'intervallo di osservazione del fenomeno.
Se riferiamo il tutto ad un preciso istante di tempo, abbiamo che l'identità di cui sopra si trasforma nell'identità
$vec v_P=vec v_Q+vec w xx vec QP$.
Quest'ultima uguaglianza che ho ricavato è appunto una identità, non un'equazione. A questo punto si può quindi generalizzare, considerando alcuni numeri dell'identità come delle incognite. Per esempio, se considero noti $vec w$, $vec v_Q$ e le corrdinate del punto $Q$ rispetto al riferimento fisso (tutto ad un certo istante), quell'identità si trasforma in un'equazione nelle incognite $vec v_P$ e $P$ le cui soluzioni descrivono un insieme di coppie ordinate il cui primo elemento è dato dalle coordinate del punto $P$ ed il secondo elemento dalla sua velocità, cioè un campo vettoriale delle velocità che viene detto atto di moto, rototraslatorio in particolare.
Sono corrette queste considerazioni?
Grazie
Ciao,
si le considerazione -mi pare- siano corrette.
Gli angoli di eulero e gli angoli di cardano sono delle variabili lagrangiane -essenziali- rispetto alle quali puoi facilmente esprimere le componenti dei vettori della base solidale rispetto alla fissa. Tale rappresentazione, come sai, è singolare per alcuni valori. Dire che le $a_{hk}$ sono esprimibili come funzioni di tre parametri - si, ma quali? - e dire che questi tre parametri sono gli angoli di eulero o cardano non è un passaggio diretto -la relazione infatti non è biunivoca su \(\mathbb{R^3}\)- ; questi derivano da una scelta di comodo.
si le considerazione -mi pare- siano corrette.
Gli angoli di eulero e gli angoli di cardano sono delle variabili lagrangiane -essenziali- rispetto alle quali puoi facilmente esprimere le componenti dei vettori della base solidale rispetto alla fissa. Tale rappresentazione, come sai, è singolare per alcuni valori. Dire che le $a_{hk}$ sono esprimibili come funzioni di tre parametri - si, ma quali? - e dire che questi tre parametri sono gli angoli di eulero o cardano non è un passaggio diretto -la relazione infatti non è biunivoca su \(\mathbb{R^3}\)- ; questi derivano da una scelta di comodo.
Ok, grazie!
Ho un altra domanda.
Se vogliamo identificare un punto del corpo rigido dobbiamo per forza fissare un sistema di riferimento solidale con il corpo in questione. Ma in base a quale criterio "posiziono" la terna solidale in un posto o un altro del corpo rigido?
Per caso la terna solidale è qualcosa di intrinseco ad un corpo rigido, e quindi non ha senso chiedermi come e dove essa venga fissata?
Ho un altra domanda.
Se vogliamo identificare un punto del corpo rigido dobbiamo per forza fissare un sistema di riferimento solidale con il corpo in questione. Ma in base a quale criterio "posiziono" la terna solidale in un posto o un altro del corpo rigido?
Per caso la terna solidale è qualcosa di intrinseco ad un corpo rigido, e quindi non ha senso chiedermi come e dove essa venga fissata?
A che punto sei del programma? a certe domande le risposte te le darai da solo.. intanto però dovresi sapere che non esiste un riferimento solidale intrinseco -si possono scegliere \(\infty^6\) riferimenti solidali-. Tipicamente nei problemi di dinamica la scelta del riferimento solidale da adottare è in base al problema, quando applicherai le equazioni cardinali te ne accorgerai.
D'accordo, allora vedremo quando sarò più avanti, grazie!
Ciao, mi chiedevo: perchè è necessario introdurre gli angoli di Eulero e di Cardano?
Provo a dare una risposta, anche se non sono sicuro che sia corretta.
I vettori $vec e_1-=(a_11,a_21,a_31)$, $vec e_2-=(a_12,a_22,a_32)$ e $vec e_3-=(a_13,a_23,a_33)$ della terna solidale di un corpo rigido, qualunque sia il movimento di quest'ultimo nello spazio, devono sempre soddisfare le equazioni
$a_11^2+a_21^2+a_31^2=1, a_12^2+a_22^2+a_32^2=1, a_13^2+a_23^2+a_33^2=1, a_11*a_12+a_21*a_22+a_31*a_32=0$,
$a_11*a_13+a_21*a_23+a_31*a_33=0, a_12*a_13+a_22*a_23+a_32*a_33=0$.
Risolvendo questo sistema di equazioni (non so come), si arriva a delle equazioni del tipo:
$a_11=f_1(a,b,c)$ $a_12=g_1(a,b,c)$ $a_13=h_1(a,b,c)$
$a_21=f_2(a,b,c)$ $a_22=g_2(a,b,c)$ $a_23=h_2(a,b,c)$
$a_31=f_3(a,b,c)$ $a_32=g_3(a,b,c)$ $a_33=h_3(a,b,c)$,
dove $a,b,c$ sono dei parametri arbitrari che variano entro un certo insieme.
Al variare di questi parametri ottengo tutte le soluzioni del sistema, cioè ottengo tutte le orientazioni possibili nello spazio della terna solidale al corpo rigido, giusto?
Ora io mi posso chiedere: esiste un altro modo che mi permette di ottenere le stesse soluzioni che otterrei facendo variare $a,b,c$ nelle equazioni di prima? Le equazioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$ che ho scritto prima definiscono una funzione da $RR^3$ a $RR^9$. L'immagine di questa funzione è l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, mentre il suo dominio è dato dall'insieme dei valori che possono assumere i parametri. Questi parametri, tuttavia, non hanno alcun significato geometrico. Io mi chiedo dunque: è possibile definire una funzione che va sempre da $RR^3$ a $RR^9$, che abbia come immagine esattamente l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, e le cui variabili indipendenti siano in numero tre e abbiano un qualche significato geometrico?
La risposta a tale domanda è parzialmente affermativa, ed è fornita appunto dagli angoli di Eulero per esempio. In tale costruzione, infatti, gli angoli, che hanno lo stesso ruolo dei parametri indipendenti $a,b,c$, hanno il significato geometrico di angoli, ed, al loro variare, si ottengono QUASI tutte le orientazioni possibili della terna solidale. L'unico problema, comune a tutte le costruzioni di questo tipo, è che al variare degli angoli di Eulero non si ottengono esattamente tutte le soluzioni che si otterrebbero considerando come parametri $a,b,c$, ma qualcuna in meno.
La costruzione di Eulero o costruzioni simili sono importanti, perchè il valore delle componenti (rispetto al sistema fisso) dei vettori ortonormali della terna solidale può essere conosciuto semplicemente conoscendo certi determinati angoli che la terna solidale forma con quella fissa. In assenza di tale costruzione, l'unico modo che ho per conoscere tali valori è misurarli fisicamente, in quanto non saprei quale valore assegnare ai parametri delle soluzioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$.
Spero di essermi spiegato in modo chiaro
Che ne pensi?
Grazie
Provo a dare una risposta, anche se non sono sicuro che sia corretta.
I vettori $vec e_1-=(a_11,a_21,a_31)$, $vec e_2-=(a_12,a_22,a_32)$ e $vec e_3-=(a_13,a_23,a_33)$ della terna solidale di un corpo rigido, qualunque sia il movimento di quest'ultimo nello spazio, devono sempre soddisfare le equazioni
$a_11^2+a_21^2+a_31^2=1, a_12^2+a_22^2+a_32^2=1, a_13^2+a_23^2+a_33^2=1, a_11*a_12+a_21*a_22+a_31*a_32=0$,
$a_11*a_13+a_21*a_23+a_31*a_33=0, a_12*a_13+a_22*a_23+a_32*a_33=0$.
Risolvendo questo sistema di equazioni (non so come), si arriva a delle equazioni del tipo:
$a_11=f_1(a,b,c)$ $a_12=g_1(a,b,c)$ $a_13=h_1(a,b,c)$
$a_21=f_2(a,b,c)$ $a_22=g_2(a,b,c)$ $a_23=h_2(a,b,c)$
$a_31=f_3(a,b,c)$ $a_32=g_3(a,b,c)$ $a_33=h_3(a,b,c)$,
dove $a,b,c$ sono dei parametri arbitrari che variano entro un certo insieme.
Al variare di questi parametri ottengo tutte le soluzioni del sistema, cioè ottengo tutte le orientazioni possibili nello spazio della terna solidale al corpo rigido, giusto?
Ora io mi posso chiedere: esiste un altro modo che mi permette di ottenere le stesse soluzioni che otterrei facendo variare $a,b,c$ nelle equazioni di prima? Le equazioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$ che ho scritto prima definiscono una funzione da $RR^3$ a $RR^9$. L'immagine di questa funzione è l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, mentre il suo dominio è dato dall'insieme dei valori che possono assumere i parametri. Questi parametri, tuttavia, non hanno alcun significato geometrico. Io mi chiedo dunque: è possibile definire una funzione che va sempre da $RR^3$ a $RR^9$, che abbia come immagine esattamente l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, e le cui variabili indipendenti siano in numero tre e abbiano un qualche significato geometrico?
La risposta a tale domanda è parzialmente affermativa, ed è fornita appunto dagli angoli di Eulero per esempio. In tale costruzione, infatti, gli angoli, che hanno lo stesso ruolo dei parametri indipendenti $a,b,c$, hanno il significato geometrico di angoli, ed, al loro variare, si ottengono QUASI tutte le orientazioni possibili della terna solidale. L'unico problema, comune a tutte le costruzioni di questo tipo, è che al variare degli angoli di Eulero non si ottengono esattamente tutte le soluzioni che si otterrebbero considerando come parametri $a,b,c$, ma qualcuna in meno.
La costruzione di Eulero o costruzioni simili sono importanti, perchè il valore delle componenti (rispetto al sistema fisso) dei vettori ortonormali della terna solidale può essere conosciuto semplicemente conoscendo certi determinati angoli che la terna solidale forma con quella fissa. In assenza di tale costruzione, l'unico modo che ho per conoscere tali valori è misurarli fisicamente, in quanto non saprei quale valore assegnare ai parametri delle soluzioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$.
Spero di essermi spiegato in modo chiaro
Che ne pensi?
Grazie
"lisdap":
Risolvendo questo sistema di equazioni (non so come), si arriva a delle equazioni del tipo:
$a_11=f_1(a,b,c)$ $a_12=g_1(a,b,c)$ $a_13=h_1(a,b,c)$
$a_21=f_2(a,b,c)$ $a_22=g_2(a,b,c)$ $a_23=h_2(a,b,c)$
$a_31=f_3(a,b,c)$ $a_32=g_3(a,b,c)$ $a_33=h_3(a,b,c)$,
dove $a,b,c$ sono dei parametri arbitrari che variano entro un certo insieme.
Parametri arbitrari nel senso che che li puoi scegliere ad arbitrio, ma che vanno definiti geometricamente in modo chiaro senza ambiguità, possibilmente stabilendo una relazione biunivoca tra tali parametri e le componenti nell'intervallo più completo possibile.
"lisdap":
Al variare di questi parametri ottengo tutte le soluzioni del sistema, cioè ottengo tutte le orientazioni possibili nello spazio della terna solidale al corpo rigido, giusto?
Dipende dalla definizione che ne dai
Se scorri qualche pagina e studi i concetti di vincolo regolare, gradi di libertà di un sistema, e coordinate lagrangiane vedrai che è la medesima cosa. Puoi interpretare le relazioni che legano tra di loro le componenti come dei vincoli e verificarne la regolarità o meno, e dunque sapere il numero di gradi di libertà del sistema.
Il teorema chiave è quello che trovi all'ultima pagina di questo link
http://www.mat.uniroma1.it/people/terracina/dini.pdf
puoi cimentarti e provare, scegliendo come tre parametri tre componenti scelte con cura (ma te lo sconsiglio
)."lisdap":
Ora io mi posso chiedere: esiste un altro modo che mi permette di ottenere le stesse soluzioni che otterrei facendo variare $a,b,c$ nelle equazioni di prima? Le equazioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$ che ho scritto prima definiscono una funzione da $RR^3$ a $RR^9$. L'immagine di questa funzione è l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, mentre il suo dominio è dato dall'insieme dei valori che possono assumere i parametri. Questi parametri, tuttavia, non hanno alcun significato geometrico. Io mi chiedo dunque: è possibile definire una funzione che va sempre da $RR^3$ a $RR^9$, che abbia come immagine esattamente l'insieme che ha per elementi tutte le soluzioni del sistema, e le cui variabili indipendenti siano in numero tre e abbiano un qualche significato geometrico?
La risposta a tale domanda è parzialmente affermativa, ed è fornita appunto dagli angoli di Eulero per esempio. In tale costruzione, infatti, gli angoli, che hanno lo stesso ruolo dei parametri indipendenti $a,b,c$, hanno il significato geometrico di angoli, ed, al loro variare, si ottengono QUASI tutte le orientazioni possibili della terna solidale. L'unico problema, comune a tutte le costruzioni di questo tipo, è che al variare degli angoli di Eulero non si ottengono esattamente tutte le soluzioni che si otterrebbero considerando come parametri $a,b,c$, ma qualcuna in meno.
La costruzione di Eulero o costruzioni simili sono importanti, perchè il valore delle componenti (rispetto al sistema fisso) dei vettori ortonormali della terna solidale può essere conosciuto semplicemente conoscendo certi determinati angoli che la terna solidale forma con quella fissa. In assenza di tale costruzione, l'unico modo che ho per conoscere tali valori è misurarli fisicamente, in quanto non saprei quale valore assegnare ai parametri delle soluzioni $a_(ik)=f_i(a,b,c)$.
Spero di essermi spiegato in modo chiaro
Che ne pensi?
Grazie
non si tratta di misurare.
Tratto da Wikipedia
Occorre puntualizzare che la sequenza descritta in questa sezione è solo una delle 12 possibili per operare il cambiamento di base indicato. Dal nome degli assi intorno ai quali si sono effettuate le singole rotazioni, essa prende il nome di ZXZ. Le altre possibili sono XZX, XYX, YXY, YZY, ZYZ, XZY, XYZ, YXZ, YZX, ZYX e ZXY. Le 12 sequenze sono ottenute tramite tutte le permutazioni possibili con gli assi uguali non consecutivi.
Detto questo, quando si tratta di affrontare problemi concreti in cui interessa veramente conoscere per ogni istante le componenti rispetto al riferimento fisso dei versori del riferimento solidale \(\{O(t),\vec{e_i}(t)\}\) conoscendo le sollecitazioni e le condizioni iniziali, si risolvono le equazioni cardinali con metodi numerici usando il quaternione al posto degli angoli; è una formulazione di coordinate ridondanti (sono quattro)
che non hanno il problema del gimbal lock e sono numericamente stabili.
Studiati bene la definizione di vincoli regolari e coordinate lagrangiane essenziali, che discendono dal teorema del Dini.
Ciao seven, ti ringrazio come al solito per la disponibilità
Purtroppo ancora non sono in grado di apprezzare la risposta al cento per cento, l'unico modo è andare avanti con lo studio della materia come mi hai consigliato, grazie ancora
Purtroppo ancora non sono in grado di apprezzare la risposta al cento per cento, l'unico modo è andare avanti con lo studio della materia come mi hai consigliato, grazie ancora
Ciao, ma i coseni dei tre angoli di Eulero sono tre delle nove componenti dei versori della terna solidale rispetto a quella fissa?
Grazie!
Grazie!
"lisdap":
Ciao, ma i coseni dei tre angoli di Eulero sono tre delle nove componenti dei versori della terna solidale rispetto a quella fissa?
Grazie!
no. Scusa ma la la matrice del cambiamento di base non ce l'hai presente?
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