Domanda sulle equazioni di maxweel
Ho le 4 equazioni di Maxweel:
$\nabla* E = \rho/\epsilon$
$\nabla* B = 0$
$\nabla x E = - d/dt B$
$\nabla x B = \mu j + \epsilon \mu d/dt E$
(ovviamente su B e E ci sono i vettori, e $d/dt$ sono derivate parziali.)
Vi è una frase sul libro che non riesco a capire, ovvero:
Le prime due equazioni si possono ricavare dalle ultime 2, quindi abbiamo 8 equazione (di cui 2 dipendenti) in 6 incognite.
Non riesco a capire quali siano le 6 incognite
in quanto credevo fossero solo $E$,$B$,$J$
$\nabla* E = \rho/\epsilon$
$\nabla* B = 0$
$\nabla x E = - d/dt B$
$\nabla x B = \mu j + \epsilon \mu d/dt E$
(ovviamente su B e E ci sono i vettori, e $d/dt$ sono derivate parziali.)
Vi è una frase sul libro che non riesco a capire, ovvero:
Le prime due equazioni si possono ricavare dalle ultime 2, quindi abbiamo 8 equazione (di cui 2 dipendenti) in 6 incognite.
Non riesco a capire quali siano le 6 incognite
in quanto credevo fossero solo $E$,$B$,$J$
Risposte
premetto che sono un po' arrugginito e che potrei dire una castronata, ma non solo le tre componenti di $E$ e di $B$?
Quindi sarebbero le 3 componenti di $E$ (lungo x, y, z) e idem per quelle di $B$ quindi la densità di carica non c'entra nulla insomma, è un termine noto....
Rimane il dubbio sulle 8 equazioni....
Rimane il dubbio sulle 8 equazioni....
Ciao: le equazioni intanto sono di Maxwell e non di Maxweel 
Sono otto equazioni scalari se consideri che le prime due (teorema di Gauss per i due campi) sono scalari mentre le altre due (legge di Faraday e legge di Ampère-Maxwell) sono vettoriali: se le scrivi, queste ultime, rispetto alle componenti diventano ognuna tre equazioni scalari, totale 2+3+3=8, nelle sei incognite $(E_x, E_y, E_x), (B_x, B_y, B_z)$. Spero di aver chiarito, ciao.
Sono otto equazioni scalari se consideri che le prime due (teorema di Gauss per i due campi) sono scalari mentre le altre due (legge di Faraday e legge di Ampère-Maxwell) sono vettoriali: se le scrivi, queste ultime, rispetto alle componenti diventano ognuna tre equazioni scalari, totale 2+3+3=8, nelle sei incognite $(E_x, E_y, E_x), (B_x, B_y, B_z)$. Spero di aver chiarito, ciao.
Sì credo di aver capito. Ricapitolo, potrebbe essere d'aiuto a qualcun altro.
le eq sono in totale 8 perchè:
le due scalari:
$\nabla E = \rho/\epsilon$
$\nabla B = 0$
le tre scalari della vettoriale per $E$
$(\nabla x E)_x = ....$ e cosi via
le tre scalari della vettoriale per $B$
$(\nabla x B)_x = ....$ e cosi via
altro dubbio: quali sarebbero le 2 eq dipendenti?
le eq sono in totale 8 perchè:
le due scalari:
$\nabla E = \rho/\epsilon$
$\nabla B = 0$
le tre scalari della vettoriale per $E$
$(\nabla x E)_x = ....$ e cosi via
le tre scalari della vettoriale per $B$
$(\nabla x B)_x = ....$ e cosi via
altro dubbio: quali sarebbero le 2 eq dipendenti?
Le prime due, quelle scalari, sono implicitamente contenute nelle altre due (quelle vettoriali).
Non credo che sia esatto dire che le prime due equazioni siano una diretta conseguenza delle altre, altrimenti credo che se non ponessero alcuna condizione aggiuntiva ci si guarderebbe bene dal considerarle. La prima equazione segue dalla prima, ma è necessaria una condizione aggiuntiva, ovvero l'equazione di Poisson, infatti:
[tex]\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\nabla\times\frac{\partial \times \vec{A}}{\partial t}[/tex]
da cui segue che possiamo scrivere:
[tex]\vec{E}=-\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}[/tex], con $ \phi $ funzione scalare opportuna. Ma di che funzione si tratta? Applicando la divergenza a entrambi i membri della precedente equazione troviamo:
[tex]\nabla \cdot \vec{E}=-\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \vec{A}[/tex]
Ponendoci in gauge di Coulomb (ovvero nella gauge in cui la divergenza del potenziale vettore si annulla), otteniamo $\nabla \cdot \vec{E}=-\nabla^2 \phi $. Sostituendo in questa la prima equazione otteniamo l'equazione di Poisson.
Dunque il fatto che le equazioni di Maxwell siano più di 6 non significa che non tutte le equazioni siano indipendenti, ma impone ulteriori condizioni sulle soluzioni delle equazioni stesse, o delle relazioni tra i termini noti ($\rho$ e $\vec{j}$). Ad esempio utilizzando le equazioni 1 e 4 possiamo giungere facilmente all'equazione di continuità della carica, ovvero una relazione differenziale tra $ \rho$ e $\vec{j}$.
[tex]\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\nabla\times\frac{\partial \times \vec{A}}{\partial t}[/tex]
da cui segue che possiamo scrivere:
[tex]\vec{E}=-\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}[/tex], con $ \phi $ funzione scalare opportuna. Ma di che funzione si tratta? Applicando la divergenza a entrambi i membri della precedente equazione troviamo:
[tex]\nabla \cdot \vec{E}=-\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \vec{A}[/tex]
Ponendoci in gauge di Coulomb (ovvero nella gauge in cui la divergenza del potenziale vettore si annulla), otteniamo $\nabla \cdot \vec{E}=-\nabla^2 \phi $. Sostituendo in questa la prima equazione otteniamo l'equazione di Poisson.
Dunque il fatto che le equazioni di Maxwell siano più di 6 non significa che non tutte le equazioni siano indipendenti, ma impone ulteriori condizioni sulle soluzioni delle equazioni stesse, o delle relazioni tra i termini noti ($\rho$ e $\vec{j}$). Ad esempio utilizzando le equazioni 1 e 4 possiamo giungere facilmente all'equazione di continuità della carica, ovvero una relazione differenziale tra $ \rho$ e $\vec{j}$.
@alephy, hai ragione, la mia affermazione è stata affrettata e quindi incompleta. Chiedo venia.
Grazie dell'appunto Alephy. Non capisco perchè a lezione tutte queste cose vengono date per scontato.
Tranquillo Palliit, immaginavo che si trattasse di un'affermazione affrettata! In effetti è difficile che in un corso generale di elettromagnetismo ci si soffermi su questi aspetti delle equazioni di Maxwell, così come su tanti altri ovviamente. Probabilmente se frequenterai un corso di elettrodinamica classica le cose ti si mostreranno molto più chiare;)
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