Domanda sul principio di Archimede

[vitoge478]

Vorrei capire il ragionamento da fare per rispondere a questa domanda.
Una zattera galleggia in mare con uno scrigno pieno d'oro a bordo. Per galleggiare il più possibile conviene:
1- lasciare la situazione com'è
2- assicurare lo scrigno alla parte inferiore della zattera
3- buttare lo scrigno in acqua dopo averlo legato una fune attaccata alla zattera.

L'unica considerazione che sono riuscito a fare è questa:
nella situazione 3 lo scrigno subisce una spinta di Archimede pari al peso del volume dell'acqua spostata.
Poi ho cercato di ragionare sulla situazione di galleggiamento (barca+scrigno) ma non so cosa devo considerare come densità del corpo e cosa devo considerare come Volume della parte immersa.
Grazie.

[anonymous_0b37e9]

"franco11":
Per galleggiare il più possibile ...

Immagino si debba intendere il caso in cui sia inferiore il volume $V$ di acqua spostato dalla sola barca.

Caso 1

$[(M+m)g=\rhoVg] rarr [V=(M+m)/\rho]$

Caso 3

$[Mg+T=\rhoVg] ^^ [mg-T=\rhoV_(scrigno)g] rarr [V=(M+m)/\rho-V_(scrigno)]$

Caso 2

A rigore, non si deve considerare la forza $F$ esercitata dall'acqua sulla superficie immersa di incollatura della zattera e dello scrigno. Tuttavia, poiché l'assenza della forza $F$ sfavorisce il galleggiamento della zattera e favorisce il galleggiamento dello scrigno in ugual misura, si ottiene lo stesso risultato del caso 3:

$[Mg+R_V=\rhoVg-F] ^^ [mg-R_V=\rhoV_(scrigno)g+F] rarr [V=(M+m)/\rho-V_(scrigno)]$

A questo punto, ammesso e non concesso che la soluzione debba essere unica, visto che le oscillazioni dello scrigno legato alla fune non favoriscono certamente il galleggiamento "dinamico" della zattera, si dovrebbe optare per il caso 2.

[vitoge478]

"anonymous_0b37e9":

Immagino si debba intendere il caso in cui sia inferiore il volume $V$ di acqua spostato dalla sola barca.

Che vuoi dire?

"anonymous_0b37e9":

Caso 3

$[Mg+T=\rhoVg] ^^ [mg-T=\rhoV_(scrigno)g] rarr [V=(M+m)/\rho-V_(scrigno)]$

Potresti spiegarmi questa formula?

[Shackle]

Mi chiedo come sia possibile scrivere il testo di un esercizio come questo a quella maniera. Che cosa significa :

Per galleggiare il più possibile

Non significa molto da un punto di vista scientifico; perciò l’interpretazione più adeguata che si può dare è quella di @anonymous_0b37e9 : significa “per avere meno volume immerso” della sola zattera, e cioè , in quale delle tre ipotesi prospettate la zattera sposta meno acqua? Questo è il significato.

Allora, facendo solo un ragionamento qualitativo, senza formule, si ha che:

1) nel primo caso lo scrigno è a bordo della zattera, quindi il peso totale $P_t$ è dato dalla somma dei pesi della zattera e dello scrigno :

$P_t = P_z +P_s$ .

Perciò il volume immerso si ottiene dividendo questo peso totale per il peso specifico $g\rho_a$ dell’acqua (ovviamente $rho_a$ è la densità dell’acqua). É chiaro che il peso dello scrigno è parte integrante del peso totale (vedere disegno allegato sotto spoiler) , quindi contribuisce alla spinta di Archimede per una parte.

3) nel terzo caso, lo scrigno è calato in acqua, legato con una fune alla zattera, e supponiamo per semplicità che sia legato in un punto che si trova perfettamente sotto la verticale del centro di massa della zattera (v. dis.)
In questo caso, essendo lo scrigno tutto in acqua, esso è sottoposto al proprio peso $P_s$ e alla spinta di Archimede , che nel disegno ho indicato con $A_s$ , per cui la tensione $T$ nel cavo che collega scrigno e zattera vale in modulo : $ T = P_s -A_s$

Questo è il significato delle formule riportate da S.E. , che ha fatto riferimento alle masse $M$ della zattera e $m$ dello scrigno, anziché ai pesi.

Allora , è chiaro che nel caso 3 la risultante delle forze agenti sulla zattera è data in modulo da : $P_t = P_z + P_s -A_s$ , e la zattera è immersa di meno, cioè sposta meno acqua del caso 1 , quindi risponde alla richiesta : “galleggiare il più possibile.

2) il caso 2 :

assicurare lo scrigno alla parte inferiore della zattera

è ancora meno chiara , come ipotesi di soluzione, della precedente osservazione! Che cosa vuol dire “assicurare lo scrigno alla parte inferiore della zattera” ? Vuol dire legare strettamente lo scrigno alla zattera? Saldarlo in modo da avere un corpo unico? Di sotto? Di fianco ? Non si capisce bene, anzi non si capisce affatto. E io direi a @anonymous_0b37e9 di lasciar perdere che "le oscillazioni dello scrigno legato alla fune (ipotesi 3) non favoriscono certamente il galleggiamento "dinamico" della zattera” , limitiamoci a parlare soltanto della statica del sistema.

Sotto spoiler ho messo un disegno, relativo ai casi 1 e 3 .

[anonymous_0b37e9]

"Shackle":
Saldarlo in modo da avere un corpo unico?

Ho affrontato il caso 2 proprio sotto l'ipotesi di cui sopra.

"Shackle":
... limitiamoci a parlare soltanto della statica del sistema.

Visto che il caso 2 e il caso 3 sono, dal punto di vista statico, equivalenti, era solo un tentativo per giustificare l'eventuale presenza di un'unica soluzione.

[anonymous_0b37e9]

Vale la pena risolvere il punto 2 utilizzando solo la legge di Stevino, senza fare alcun riferimento alla spinta di Archimede:

Altezza della parte immersa della zattera

$H$

Area di base della zattera

$A$

Altezza dello scrigno

$h$

Area di base dello scrigno saldata alla zattera

$a$

Forza esercitata dall'acqua sulla base inferiore della zattera

$F=\rhogH(A-a)$

Equilibrio della zattera

$\rhogH(A-a)-Mg-R_V=0$

Forza esercitata dall'acqua sulla base inferiore dello scrigno

$F=\rhog(H+h)a$

Equilibrio dello scrigno

$\rhog(H+h)a+R_V-mg=0$

Sistema

$[\rhogH(A-a)-Mg-R_V=0] ^^ [\rhog(H+h)a+R_V-mg=0] rarr$

$rarr HA=(M+m)/\rho-ha rarr$

$rarr V=(M+m)/\rho-V_(scrigno)$

visto che quest'ultima, opportunamente modificata come nel mio primo messaggio, è la risultante delle forze dovute alla pressione dell'acqua.

[Shackle]

Quando scrivi l’espressione della forza $F$ esercitata dall’acqua sulla faccia inferiore della zattera :

$ F = rhogH(A-a) $

stai supponendo evidentemente che lo scrigno sia saldato a tenuta stagna sotto la zattera , tant’è vero che come area su cui agisce la pressione idrostatica hai preso : $(A-a)$. Questo lo avevi confermato con una aggiunta al precedente messaggio. È chiaro anche dalla figura che hai fatto che il “volume totale immerso” di tutto il sistema è somma di due termini, cioè il volume immerso della zattera e il volume immerso ( che è quello totale) dello scrigno.

Però diciamo la verità : il testo è lacunoso, e scritto in maniera che può essere fuorviante per uno studente alle prime armi con questa materia .

[anonymous_0b37e9]

"Shackle":
... il testo è lacunoso, e scritto in maniera che può essere fuorviante per uno studente alle prime armi con questa materia.

Concordo pienamente. A mio parere, si tratta di un qualche quiz liceale. Tra l'altro, sono argomenti trattati in prima o in seconda. Lascio a te immaginare. Tre, quattro formule in croce imparate per lo più a memoria. Peccato perché sarebbero argomenti ideali per cominciare a introdurre la complessità. Lasciamo perdere. Grasso che cola se sanno il motivo per cui (ovviamente, non mi sto riferendo a franco11 che non conosco):

$1 dm^2$

sono:

$100 cm^2$

e non:

$10 cm^2$

P.S.
A proposito, non ho ancora capito se l'acciaieria Azovstal, che tutti sanno essere imponente, ha un'area di:

$11 km^2$

oppure di:

$11000 m^2$

Possibile che si possa essere giornalisti ben pagati senza rendersi conto che:

$11000 m^2$

sono poco più dell'area di due campi di calcio? Mamma mia come siamo messi!

[Shackle]

"anonymous_0b37e9":

A proposito, non ho ancora capito se l'acciaieria Azovstal, che tutti sanno essere imponente, ha un'area di:

$11 km^2$

oppure di:

$11000 m^2$

Possibile che si possa essere giornalisti ben pagati senza rendersi conto che:

$11000 m^2$

sono poco più dell'area di due campi di calcio? Mamma mia come siamo messi!

Siamo messi male , evidentemente ! Questa non l’avevo sentita, ma i giornalisti talvolta appartengono alla categoria di coloro che dicono : “ Io ODIO la matematica” , includendo pure le equivalenze tra unità di misura. Ce ne dobbiamo fare una ragione...

A proposito di (zattera+scrigno) , siccome a me piace ragionare su Archimede, volumi di carena, spinte idrostatiche e compagnia bella (...deformazione professionale ...) , ho pensato ancora quanto segue. Prendiamo il caso 1 , con lo scrigno saldato in coperta della zattera ( v. figura allegata) . Come già detto, il volume di carena (è gergo di ingegneria navale) , cioè il volume immerso $V_i$ , è dato da :

$V_i = (P_s+P_z)/(grho_a) $ -------(1)

e questo volume è uguale al prodotto dell’immersione della zattera per l’area del fondo : $ V_i = H_1*A $

Ora rovesciamo di 180º il sistema ( caso 2 in figura) : lasciamo perdere ogni considerazione circa la stabilità o instabilità dell’equilibrio in questa configurazione , ci vorrebbe un corso di statica di galleggianti , nozioni che si studiano in appositi corsi di ingegneria navale. Occupiamoci solo di pesi, spinte, volumi di carena.

É chiaro che, siccome i pesi della zattera e dello scrigno non sono mutati, anche il volume di carena , cioè il volume immerso , deve rimanere immutato , cioè deve valere la (1) di prima . Ma stavolta lo scrigno è sott’acqua, quindi il volume di carena è dato da:

$V_i = H_2*A + h_s*a $

perciò : $H_1A = H_2A + h_sa $

da cui si deduce : $H_2 < H_1 $

Ecco il disegno :

[anonymous_0b37e9]

Oserei dire l'uovo di Colombo. Non ci avevo proprio pensato. Inutile dire incomparabilmente più sintetico ed elegante.

[Shackle]

Grazie. Spero che tutto quanto detto, anche nei messaggi precedenti, sia utile a Franco11.