Domanda sul campo e potenziale elettrico
Ciao 
Vorrei porre una domanda sul campo elettrico, ho studiato che per una qualunque distribuzione di carica vale:
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_V(rho(r))/r^2dV$
(o nel caso du superfici cariche $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$)
E poi ho anche letto che il campo di un piano avente carica uniforme in densità di carica è: $E=sigma/(2epsilon_0)$
Il mio dubbio che vorrei porre è il seguente:
Se la prima delle due sopra è la più generica, in teoria deve includere anche come soluzione $E=sigma/(2epsilon_0)$, quindi vuol dire che
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$ estendendola alla superficie infinita mi dà
$1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS=sigma/(2epsilon_0)$ e questo succede solo se
$\int_S(sigma(r))/r^2dS=lim_(s->oo)(2pisigmaS)/S$ solo così funzionerebbe
Sbaglio?
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Inoltre ho un dubbio simile per il potenziale, so che per una distribuzione di cariche (uso la sommatoria solo per spiegare il concetto ma potrei estendera al continuo integrando)
Sappiamo che la differenza di potenziale è $V(B)-V(A)=-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds$ con la carica di prova
Quindi $-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Tuttavia svolgendo il calcolo con il campo di un pinao dovrebbe valere
$sigma/(2epsilon_0)(r_B-r_A)$ e mi sembrano due risultati inconciliabili, tuttavia questo dovrebbe essere contienuto nel precedente che è un caso generico. Come sono conciliabili le diue cose?
Non capisco il mio errore concettuale.
Vorrei porre una domanda sul campo elettrico, ho studiato che per una qualunque distribuzione di carica vale:
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_V(rho(r))/r^2dV$
(o nel caso du superfici cariche $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$)
E poi ho anche letto che il campo di un piano avente carica uniforme in densità di carica è: $E=sigma/(2epsilon_0)$
Il mio dubbio che vorrei porre è il seguente:
Se la prima delle due sopra è la più generica, in teoria deve includere anche come soluzione $E=sigma/(2epsilon_0)$, quindi vuol dire che
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$ estendendola alla superficie infinita mi dà
$1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS=sigma/(2epsilon_0)$ e questo succede solo se
$\int_S(sigma(r))/r^2dS=lim_(s->oo)(2pisigmaS)/S$ solo così funzionerebbe
Sbaglio?
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Inoltre ho un dubbio simile per il potenziale, so che per una distribuzione di cariche (uso la sommatoria solo per spiegare il concetto ma potrei estendera al continuo integrando)
Sappiamo che la differenza di potenziale è $V(B)-V(A)=-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds$ con la carica di prova
Quindi $-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Tuttavia svolgendo il calcolo con il campo di un pinao dovrebbe valere
$sigma/(2epsilon_0)(r_B-r_A)$ e mi sembrano due risultati inconciliabili, tuttavia questo dovrebbe essere contienuto nel precedente che è un caso generico. Come sono conciliabili le diue cose?
Non capisco il mio errore concettuale.
Risposte
"sempronino":
$1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS=sigma/(2epsilon_0)$ e questo succede solo se
$\int_S(sigma(r))/r^2dS=lim_(s->oo)(2pisigmaS)/S$
Non ho capito questo passaggio...
"mgrau":
[quote="sempronino"]
$1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS=sigma/(2epsilon_0)$ e questo succede solo se
$\int_S(sigma(r))/r^2dS=lim_(s->oo)(2pisigmaS)/S$
Non ho capito questo passaggio...[/quote]
Ho solo uguagliato il risultato con distribuzione di cariche (che è la definizione di potenziale) $1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$ con il campo trovato con gauss sempre del campo $sigma/(2epsilon_0)$
E per confronto deduco che
$\int_S(sigma(r))/r^2dS=lim_(S->oo)(2pisigmaS)/S$
poiché l'integrale di superficie ha S->oo (piano infinito). E' l'unico modo per rendere uguale la definizione di potenziale con quello trovato con gauss.
Perchè fondamentalmente non capisco come si ottenga il risultato di campo per piano infinito dalla $1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$
E' questo il dubbio in pratica
"sempronino":
Perchè fondamentalmente non capisco come si ottenga il risultato di campo per piano infinito dalla $1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$
Mi pare che dimentichi che quello è un integrale vettoriale
Ho capito il fraintendimento. Non è vettoriale nel sesno che non è l'integraledi flusso di gauss.
Provo a rispiegarmi meglio ,perdonami per la poca chiarezza
Sappiamo che l'integrale per trovare il potenziale di qualisasi distribuzione di carica è $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_V(rho(r))/r^2dV$ e per una distribuzione non volumica ma superficiale diviene:
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$
E questo deve valere anche per un piano infinito di carica teoricamente in forza alla sua generalità
Non capisco come da questo integrale far uscire il valore noto: $E=sigma/(2epsilon_0)$ che otteniamo invece dal teorema di gauss: $\int_S\vecE*\vecndS=Q/epsilon_0$ (questo è l'integrale vettoriale)
Quello che vorrei chiarirmi è come far uscire tale risultato anche dal calcolo dell'integrale generico; se io integrasi infatti $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$ su $S->oo$ non vedo come possa venire $E=sigma/(2epsilon_0)$ in alcun modo.
Provo a rispiegarmi meglio ,perdonami per la poca chiarezza
Sappiamo che l'integrale per trovare il potenziale di qualisasi distribuzione di carica è $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_V(rho(r))/r^2dV$ e per una distribuzione non volumica ma superficiale diviene:
$E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$
E questo deve valere anche per un piano infinito di carica teoricamente in forza alla sua generalità
Non capisco come da questo integrale far uscire il valore noto: $E=sigma/(2epsilon_0)$ che otteniamo invece dal teorema di gauss: $\int_S\vecE*\vecndS=Q/epsilon_0$ (questo è l'integrale vettoriale)
Quello che vorrei chiarirmi è come far uscire tale risultato anche dal calcolo dell'integrale generico; se io integrasi infatti $E(r)=1/(4pi\epsilon_0)\int_S(sigma(r))/r^2dS$ su $S->oo$ non vedo come possa venire $E=sigma/(2epsilon_0)$ in alcun modo.
In realtà, la formula del campo elettrico che riporti è sbagliata, come ti è stato fatto notare:
$$
\vec{E}(\vec{r})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} dV'
$$
dove integri sul volumetto dV' su tutto lo spazio, fissando il punto di osservazione del campo $\vec{r}$.
Per quanto riguarda l'integrale di flusso, solo in alcune situazioni particolarmente simmetriche è utile per calcolare il campo. Per esempio, puoi usarlo per calcolare il campo generato da una distribuzione di cariche a simmetria sferica perché il campo risultate è anch'esso sfericamente simmetrico.
Ma questo - come detto - funziona solo in pochi casi - per es. dal solo teorema di gauss è possibile derivare il campo elettrico generato da un dipolo elettrico? Direi di no ...
$$
\vec{E}(\vec{r})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} dV'
$$
dove integri sul volumetto dV' su tutto lo spazio, fissando il punto di osservazione del campo $\vec{r}$.
Per quanto riguarda l'integrale di flusso, solo in alcune situazioni particolarmente simmetriche è utile per calcolare il campo. Per esempio, puoi usarlo per calcolare il campo generato da una distribuzione di cariche a simmetria sferica perché il campo risultate è anch'esso sfericamente simmetrico.
Ma questo - come detto - funziona solo in pochi casi - per es. dal solo teorema di gauss è possibile derivare il campo elettrico generato da un dipolo elettrico? Direi di no ...
Tornando alla tua domanda: quello che vorresti verificare è che, per un piano uniformemente carico infinito, il campo elettrico calcolato con il teorema di Gauss è identico a quello calcolato con l'integrale di sovrapposizione?
Intendo bene?
Intendo bene?
Scusa sono un idiota. Eh sì è un lapsus che sul momento mi pareva corretto. Io ho scritto quella del potenziale, avete ragione! Scusate ancora.
Sì esattamente, grazie per il tuo aiuto
Voglio proprio verificare che
$$
\vec{E}(\vec{r})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \sigma(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} dS'
$$
in sovrapposizione quindi integrando su superficie infinita (ipotesi di piano carico uniformemente ed infinito) sia identico al campo trovato con il thm di gauss e la simmetria che restituiscde il famoso sigma su 2 epsilonzero. Perché non risco a vedere come succeda.
Tornando alla tua domanda: quello che vorresti verificare è che, per un piano uniformemente carico infinito, il campo elettrico calcolato con il teorema di Gauss è identico a quello calcolato con l'integrale di sovrapposizione?
Intendo bene?
Sì esattamente, grazie per il tuo aiuto
Voglio proprio verificare che
$$
\vec{E}(\vec{r})= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \sigma(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} dS'
$$
in sovrapposizione quindi integrando su superficie infinita (ipotesi di piano carico uniformemente ed infinito) sia identico al campo trovato con il thm di gauss e la simmetria che restituiscde il famoso sigma su 2 epsilonzero. Perché non risco a vedere come succeda.
Perfetto! Tipicamente quello che si fa per arrivare al risultato con la "seconda via" è risolvere il seguente problema:
- calcolare il campo elettrico generato da un cerchio carico uniformemente di raggio R ad una distanza d dal suo centro lungo il suo asse.
Nonostante sia un integrale vettoriale, la simmetria del problema semplifica i conti del campo almeno lungo l'asse. Una volta ottenuto il risultato, passando al limite per R che tende all'infinito, dovresti ottenere lo stesso risultato che hai ottenuto - ma mooolto più facilmente - con il teorema di Gauss.
Se hai dubbi ... posta i conti
- calcolare il campo elettrico generato da un cerchio carico uniformemente di raggio R ad una distanza d dal suo centro lungo il suo asse.
Nonostante sia un integrale vettoriale, la simmetria del problema semplifica i conti del campo almeno lungo l'asse. Una volta ottenuto il risultato, passando al limite per R che tende all'infinito, dovresti ottenere lo stesso risultato che hai ottenuto - ma mooolto più facilmente - con il teorema di Gauss.
Se hai dubbi ... posta i conti
@Lampo1089: ti ringrazio molto per l'indicazione e ho svolto il calcolo, sono arrivato a (in modulo):
$E=sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))$
che per $R->oo$ porta a quello di gauss!
Mentre per il potenziale (che era l'altra domanda) cosa mi consigli?
sempre per un piano infinitamente carico, anche qui dovrebbe tornarmi dal caso generico
$E=sigma/(2epsilon_0)(1-x/sqrt(x^2+R^2))$
che per $R->oo$ porta a quello di gauss!
Mentre per il potenziale (che era l'altra domanda) cosa mi consigli?
sempre per un piano infinitamente carico, anche qui dovrebbe tornarmi dal caso generico
Inoltre ho un dubbio simile per il potenziale, so che per una distribuzione di cariche (uso la sommatoria solo per spiegare il concetto ma potrei estendera al continuo integrando)
Sappiamo che la differenza di potenziale è $V(B)-V(A)=-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds$ con la carica di prova
Quindi $-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Tuttavia svolgendo il calcolo con il campo di un pinao dovrebbe valere
$sigma/(2epsilon_0)(r_B-r_A)$ e mi sembrano due risultati inconciliabili, tuttavia questo dovrebbe essere contienuto nel precedente che è un caso generico. Come sono conciliabili le diue cose?
Non capisco il mio errore concettuale.
Integra il campo che hai ottenuto per R finito tra due estremi a e b e prendi il limite dell'espressione risultante per R->+Inf
Il fatto è che il potenziale di un piano infinito caricodà dei problemi, perchè non puoi metterlo a zero all'infinito, dato che il piano stesso si estende fino all'infinito.
Se prendi poi il potenziale di una carica puntiforme, e poi di un anello carico, ecc. ecc., il risultato diverge , così che se vuoi $V_A - V_B$ ti ritrovi con un bell' $infty - infty$.
E poi mi pare proprio che vuoi complicare le cose semplici. Mettiamo che tu ti incaponisca a trovare il campo di un piano infinito dalla legge di Coulomb. Bene. Ma l'hai trovato, no? E' costante, no? E cosa ti trattiene dall'utilizzare questo risultato per trovare $V_A - V_B$ come $E times A-B$ ?
Se prendi poi il potenziale di una carica puntiforme, e poi di un anello carico, ecc. ecc., il risultato diverge , così che se vuoi $V_A - V_B$ ti ritrovi con un bell' $infty - infty$.
E poi mi pare proprio che vuoi complicare le cose semplici. Mettiamo che tu ti incaponisca a trovare il campo di un piano infinito dalla legge di Coulomb. Bene. Ma l'hai trovato, no? E' costante, no? E cosa ti trattiene dall'utilizzare questo risultato per trovare $V_A - V_B$ come $E times A-B$ ?
Sì beh certo così viene, però non capisco perché non torni considerando le infinite cariche una per una cioè tramite
$-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Quindi tramite $V=1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_i)+c$
O ancora meglio $V=1/(4piepsilon_0)int(rhodV)/r+c$
Questa è del tutto generica e dovrebbe tornare il calcolo
$-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Quindi tramite $V=1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_i)+c$
O ancora meglio $V=1/(4piepsilon_0)int(rhodV)/r+c$
Questa è del tutto generica e dovrebbe tornare il calcolo
"mgrau":
Il fatto è che il potenziale di un piano infinito caricodà dei problemi, perchè non puoi metterlo a zero all'infinito, dato che il piano stesso si estende fino all'infinito.
Se prendi poi il potenziale di una carica puntiforme, e poi di un anello carico, ecc. ecc., il risultato diverge , così che se vuoi $V_A - V_B$ ti ritrovi con un bell' $infty - infty$.
E poi mi pare proprio che vuoi complicare le cose semplici. Mettiamo che tu ti incaponisca a trovare il campo di un piano infinito dalla legge di Coulomb. Bene. Ma l'hai trovato, no? E' costante, no? E cosa ti trattiene dall'utilizzare questo risultato per trovare $V_A - V_B$ come $E times A-B$ ?
Si certo mi rendo conto essere un ufficio complicazione affari semplici
, però non capisco perché se quella è definita come "generale" non funzioni davvero in "generale" e mi turba questo.Il punto è proprio quello che ti dici, se quel potenziale generale a infinito non diverge (va come 1/r) perché quello del piano diverge se ogni potenziale è dato da quell'integrale?
Cioè, non so se spiego bene il dubbio, ma non capisco come rimaneggiare la formula 1/r (che il libro dichiara generale) per ottenere il caso del piano che dovrebbe divergere.
"sempronino":
se quel potenziale generale a infinito non diverge (va come 1/r) perché quello del piano diverge se ogni potenziale è dato da quell'integrale?
Direi, perchè un piano infinito è già di suo una singolarità. Chiaramente non può esistere un oggetto fisico come un piano infinito.
"mgrau":
[quote="sempronino"] se quel potenziale generale a infinito non diverge (va come 1/r) perché quello del piano diverge se ogni potenziale è dato da quell'integrale?
Direi, perchè un piano infinito è già di suo una singolarità. Chiaramente non può esistere un oggetto fisico come un piano infinito.[/quote]
Grazie
Possochiederti solo meglio cosa intendi per "singolarità" in tal caso?
Grazie mille davvero, ci stavo impazzendo su queste cose anche se semplici.
Vi ringrazio tanto entrambi per i vostri aiuti
Beh, non ho parlato di singolarità in un senso formale. Ma un piano così ha una carica infinita, una energia infinita, un potenziale infinito... E' ovvio che va trattato con cautela, altrimenti ci vuol poco a incappare in qualche paradosso.
Sì e io in effetti ci ero del tutto cascato
Grazie mille mgrau
Grazie mille mgrau
"sempronino":
Sì beh certo così viene, però non capisco perché non torni considerando le infinite cariche una per una cioè tramite
$-int_A^Bsum_i(F_i)/(q_0)ds=-sum_iint_A^B1/(4piepsilon_0)q_i/r^2_1=-1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_(iB)-1/r_(iA))$
Quindi tramite $V=1/(4piepsilon_0)sum_iq_i(1/r_i)+c$
O ancora meglio $V=1/(4piepsilon_0)int(rhodV)/r+c$
Questa è del tutto generica e dovrebbe tornare il calcolo
scusami ma se ci tieni così tanto a ottenere i risultati voluti tramite l'utilizzo di integrali allora devi scriverli bene!
Quello che scrivi è l'integrale di una forma differenziale lineare giusto? Allora devi distinguere tra i valori scalari e quelli vettoriali, devi indicare eventuali prodotti scalari. Ad esempio che intendi con il simbolo $r$ ? è un vettore posizione? ma se così fosse allora che significa $\frac{1}{r}$?
"Brufus":
scusami ma se ci tieni così tanto a ottenere i risultati voluti tramite l'utilizzo di integrali allora devi scriverli bene!
Posso chiederti esplicitamente come scriveresti in modo corretto?
Così da vedere l'errore.
Ti ringrazio molto e buon anno
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