Domanda sui vettori
Salve, c'è questa cosa che non mi è tanto chiara. Prendiamo due sistemi di riferimento, uno fisso (nero) e l'altro mobile (rosso) e prendiamo un punto $P$ nello spazio.
La relazione grafica che esiste ad un certo istante fra quei tre vettori rappresentati in figura è: $vec (OP)=vec (O'O)+vec (O'P)$.
Ora se io voglio trovare la relazione che esiste tra le coordinate del punto $P$ nel riferimento mobile e le coordinate del punto $P$ nel riferimento fisso come faccio?
Grazie.
La relazione grafica che esiste ad un certo istante fra quei tre vettori rappresentati in figura è: $vec (OP)=vec (O'O)+vec (O'P)$.
Ora se io voglio trovare la relazione che esiste tra le coordinate del punto $P$ nel riferimento mobile e le coordinate del punto $P$ nel riferimento fisso come faccio?
Grazie.
Risposte
E' molto conveniente a mio avviso, considerare i vettori come segmenti orientati, da cui:
$P-O=(O'-O)+(P-O')$ in modo che poi puoi ricavare facilmente la relazione che cerchi e ottenerla come differenza:
$P-O'=P-O-(O'-O)$
$P-O=(O'-O)+(P-O')$ in modo che poi puoi ricavare facilmente la relazione che cerchi e ottenerla come differenza:
$P-O'=P-O-(O'-O)$
"ELWOOD":
E' molto conveniente a mio avviso, considerare i vettori come segmenti orientati, da cui:
$P-O=(O'-O)+(P-O')$ in modo che poi puoi ricavare facilmente la relazione che cerchi e ottenerla come differenza:
$P-O'=P-O-(O'-O)$
Ciao, la mia domanda riguarda i moti relativi. Tra quei vettori esiste quella relazione grafica, e ciò indipendentemente dalla loro rappresentazione matematica. Ora matematicamente ognuno di quei vettori è rappresentato dal valore con segno delle sue proiezioni lungo una certa terna di riferimento, e io potrò scrivere una relazione di uguaglianza tra quelle componenti soltanto se proietto tutti e tre i vettori su uno stesso riferimento; tuttavia, cosi facendo "perdo" il valore delle componenti del vettore rosso rispetto alla terna rossa. Capito qual è il problema?
Ciao.
"lisdap":
[...]$vec (OP)=vec (O'O)+vec (O'P)$.
Ora se io voglio trovare la relazione che esiste tra le coordinate del punto $P$ nel riferimento mobile e le coordinate del punto $P$ nel riferimento fisso come faccio?[...]
Hai fatto già tutto. Resta solo da scomporre \(\vec{OP}\) in componenti rispetto alla base "nera" \(e_1, e_2, e_3\) e \(\vec{OO'}, \vec{O'P}\) rispetto alla base "rossa" \(f_1, f_2, f_3\). Dopodiché introduci una delle formule di cambiamento di base, da \(e_1, e_2, e_3\) a \(f_1, f_2, f_3\) o quella inversa. In questo modo quella relazione vettoriale diviene un sistema di tre relazioni scalari. Il fatto che il sistema rosso sia mobile significa che queste relazioni dipendono esplicitamente dal tempo.
"dissonance":
Hai fatto già tutto. Resta solo da scomporre \(\vec{OP}\) in componenti rispetto alla base "nera" \(e_1, e_2, e_3\) e \(\vec{OO'}, \vec{O'P}\) rispetto alla base "rossa" \(f_1, f_2, f_3\). Dopodiché introduci una delle formule di cambiamento di base, da \(e_1, e_2, e_3\) a \(f_1, f_2, f_3\) o quella inversa. In questo modo quella relazione vettoriale diviene un sistema di tre relazioni scalari. Il fatto che il sistema rosso sia mobile significa che queste relazioni dipendono esplicitamente dal tempo.
Ciao, allora, ricapitoliamo un attimo.
Per definizione di somma di due vettori, posso scrivere che $vec (OP)=vec (OO')+vec (O'P)$. Ora, dal punto di vista matematico, un vettore è individuato dalle sue proiezioni con segno lungo gli assi di un certo sistema di riferimento. Se consideriamo le proiezioni rispetto al riferimento fisso, abbiamo che:
$vec (OP)=(a_1,a_2,a_3)$;
$vec (O'P)=(b_1,b_2,b_3)$;
$vec (OO')=(c_1,c_2,c_3)$, dove, ripeto, le componenti di questi vettori sono espresse rispetto al sistema di riferimento fisso.
Ora, lungo gli assi del sistema fisso valgono le seguenti uguaglianze:
Lungo $x$: $a_1=b_1+c_1$;
Lungo $y$: $a_2=b_2+c_2$;
Lungo $z$: $a_3=b_3+c_3$, che si possono riscrivere rispetto alle componenti del vettore $vec (O'P)$:
Lungo $x$: $b_1=a_1-c_1$;
Lungo $y$: $b_2=a_2-c_2$;
Lungo $z$: $b_3=a_3-c_3$.
Quindi ho trovato la relazione che esiste fra le componenti del vettore $vec O'P$ RISPETTO AL SISTEMA FISSO e le componenti degli altri vettori rispetto allo stesso sistema. Però a me interessa trovare la relazione che esiste fra le componenti del vettore $vec O'P$ RISPETTO AL SISTEMA MOBILE e le componenti degli altri vettori rispetto al sistema fisso. Allora posso procedere così?
Chiamo $(x',y',z')$ le componenti di $vec O'P$ rispetto al sistema mobile. Devono allora esistere per forza tre numeri $b_1',b_2',b_3'$ tali che:
Lungo $x$: $x'*b_1'=a_1-c_1$;
Lungo $y$: $y'*b_2'=a_2-c_2$;
Lungo $z$: $z'*b_3'=a_3-c_3$, che si puo riscrivere come:
Lungo $x$: $x'=(1/(b_1'))(a_1-c_1)$;
Lungo $y$: $y'=(1/(b_2'))(a_2-c_2)$;
Lungo $z$: $z'=(1/(b_3'))(a_3-c_3)$
Quindi dovrei aver trovato la relazione che esiste fra le componenti del vettore $vec O'P$ rispetto al sistema mobile e le componenti degli altri vettori rispetto al sistema fisso.
Va bene?
Grazie.
MMMh che casino. Non è questa la risposta a cui pensavo. Molto più semplicemente, usa le basi:
la tua identità vettoriale è
\[x^ie_i=a^ie_i+y^if_i\qquad \text{somma sugli indici ripetuti}\]
allora, introdotta la matrice di cambiamento di base
\[f_i=M^h_ie_h, \]
essa diventa
\[x^ie_i=a^ie_i+y^iM^h_ie_h\qquad \text{somma sugli indici ripetuti}\]
ovvero, tenendo conto del fatto che \(e_i=e_1, e_2, e_3\) è una base,
\[x^i-a^i=M^h_iy^i,\qquad i=1, 2, 3.\]
Queste sono le formule del cambiamento di coordinate che stavi cercando.
la tua identità vettoriale è
\[x^ie_i=a^ie_i+y^if_i\qquad \text{somma sugli indici ripetuti}\]
allora, introdotta la matrice di cambiamento di base
\[f_i=M^h_ie_h, \]
essa diventa
\[x^ie_i=a^ie_i+y^iM^h_ie_h\qquad \text{somma sugli indici ripetuti}\]
ovvero, tenendo conto del fatto che \(e_i=e_1, e_2, e_3\) è una base,
\[x^i-a^i=M^h_iy^i,\qquad i=1, 2, 3.\]
Queste sono le formule del cambiamento di coordinate che stavi cercando.
"dissonance":
la tua identità vettoriale è
\[x^ie_i=a^ie_i+y^if_i\qquad \text{somma sugli indici ripetuti}\]
Ciao dissonance, ecco, questo è proprio quello che non capisco e che fa anche il mio libro di fisica. Come fa quella che hai scritto ad essere un'identità vettoriale se a sinistra c'è la base del sistema fisso e a destra la base di quello mobile?
E che fa? Si intende che il tempo è "congelato" ad un certo istante. Se ti fa sentire meglio scrivi
\[x^i(t)e_i=a^i(t)e_i+y^i(t)f_i(t), \]
e così via, ottenendo alla fine la formula
\[x^h(t)-a^h(t)=M^h_i(t)y^i(t).\]
\[x^i(t)e_i=a^i(t)e_i+y^i(t)f_i(t), \]
e così via, ottenendo alla fine la formula
\[x^h(t)-a^h(t)=M^h_i(t)y^i(t).\]
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