Domanda sui vettori
Salve, io non riesco a comprendere questa cosa.
Il mio libro di fisica afferma che una grandezza è detta scalare se è determinata da un solo numero, seguito da un'unità di misura; vettoriale, se è determinata da due o più numeri. Ora, per le grandezze scalari valgono le usuali regole dell'algebra, mentre per quelle vettoriali valgono quelle dell'algebra vettoriale che si studiano in algebra lineare. Fin qui tutto bene.
Quello che non riesco a capire è perchè le grandezze vettoriali si rappresentano graficamente con i segmenti orientati. Se nel caso di grandezze quali la forza ecc ciò è intuitivo, in quanto una forza la puoi esercitare in una certa direzione e verso, nel caso di grandezze quali velocità ed accelerazione ciò mi sembra alquanto inutile.
Per caso sapete consigliarmi qualcosa a riguardo?
Grazie.
Il mio libro di fisica afferma che una grandezza è detta scalare se è determinata da un solo numero, seguito da un'unità di misura; vettoriale, se è determinata da due o più numeri. Ora, per le grandezze scalari valgono le usuali regole dell'algebra, mentre per quelle vettoriali valgono quelle dell'algebra vettoriale che si studiano in algebra lineare. Fin qui tutto bene.
Quello che non riesco a capire è perchè le grandezze vettoriali si rappresentano graficamente con i segmenti orientati. Se nel caso di grandezze quali la forza ecc ciò è intuitivo, in quanto una forza la puoi esercitare in una certa direzione e verso, nel caso di grandezze quali velocità ed accelerazione ciò mi sembra alquanto inutile.
Per caso sapete consigliarmi qualcosa a riguardo?
Grazie.
Risposte
I vettori rappresentano più numeri così come le coordinate cartesiane sono espresse da n valori dove n è il numero di dimensioni. esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i vettori di n membri e i punti di $ RR ^n $ . Per ogni vettore (a,b) esiste un segmento che collega l'origine degli assi al punto corrispondente al vettore stesso: si tratta della famosa freccia. In effetti la corrispondenza biunivoca è tra vettore e classe di segmenti della stessa lunghezza rappresentata da quello che parte dal centro: ciò significa che la traslazione non incide sui calcoli vettoriali.
Velocità e accelerazione sono comunque dirette verso qualcosa: nel moto circolare per esempio la velocità è diretta verso la tangente mentre l'accelerazione verso il centro : per questo sono vettori.
In realtà esistono anche grandezze né scalari né vettoriali: i tensori (ma questa è un'altra storia)
Velocità e accelerazione sono comunque dirette verso qualcosa: nel moto circolare per esempio la velocità è diretta verso la tangente mentre l'accelerazione verso il centro : per questo sono vettori.
In realtà esistono anche grandezze né scalari né vettoriali: i tensori (ma questa è un'altra storia)
Consideriamo la posizione di un punto materiale rispetto ad un sistema di riferimento.
Matematicamente questa è rappresentata da un insieme di tre numeri, e questo va bene. Se la posizione cambia al variare del tempo, essa sarà rappresentata da una funzione di variabile scalare a valori vettoriali, e, su questa funzione si possono eseguire tutte le operazioni del calcolo infinitesimale, e questo va bene. Quello che non riesco a capire nella cinematica è il senso fisico del fatto di rappresentare graficamente questo insieme di 3 numeri con un segmento orientato.
Che senso ha rappresentare GRAFICAMENTE la posizione di un punto materiale con il famoso raggio vettore? Posso capirlo nel caso di una forza, in quanto il segmento orientato mi fa capire direzione e verso di essa, e ciò è molto intuitivo in questo caso. Ma rappresentare graficamente la posizione con un segmento che parte dall'origine e arriva al punto? Rispondere a questa domanda significa dare un senso fisico alla rappresentazione grafica di velocità e accelerazione.
Matematicamente questa è rappresentata da un insieme di tre numeri, e questo va bene. Se la posizione cambia al variare del tempo, essa sarà rappresentata da una funzione di variabile scalare a valori vettoriali, e, su questa funzione si possono eseguire tutte le operazioni del calcolo infinitesimale, e questo va bene. Quello che non riesco a capire nella cinematica è il senso fisico del fatto di rappresentare graficamente questo insieme di 3 numeri con un segmento orientato.
Che senso ha rappresentare GRAFICAMENTE la posizione di un punto materiale con il famoso raggio vettore? Posso capirlo nel caso di una forza, in quanto il segmento orientato mi fa capire direzione e verso di essa, e ciò è molto intuitivo in questo caso. Ma rappresentare graficamente la posizione con un segmento che parte dall'origine e arriva al punto? Rispondere a questa domanda significa dare un senso fisico alla rappresentazione grafica di velocità e accelerazione.
In realtà si potrebbe pure fare a meno di considerare l'esistenza grafica di un vettore. La posizione è un n-upla ordinata e quindi è un punto cartesiano e quindi corrisponde ad un vettore, che abbia senso o meno la rappresentazione grafica. Per questo si è legittimati ad usare il calcolo vettoriale. I vettori sono solo un'astrazione: qualcuno ha percaso mai visto un vettore?
[quote="FedeCapo"che abbia senso o meno la rappresentazione grafica[/quote]
Stando a quello che dicono i miei testi di Analisi 2 e Fisica 1, mi è sembrato di capire che tutte le grandezze cinematiche vengono fuori da considerazioni geometriche fatte con questi famigerati segmenti orientati.
Stando a quello che dicono i miei testi di Analisi 2 e Fisica 1, mi è sembrato di capire che tutte le grandezze cinematiche vengono fuori da considerazioni geometriche fatte con questi famigerati segmenti orientati.
"lisdap":
Ma rappresentare graficamente la posizione con un segmento che parte dall'origine e arriva al punto? Rispondere a questa domanda significa dare un senso fisico alla rappresentazione grafica di velocità e accelerazione.
Tieni presente che le velocita' "vivono" in uno spazio ben definito, che e' diverso da quello in cui vivrebbe il vettore posizione se consideri per es. le posizioni in uno spazio euclideo.
Per cui io terrei distinti i discorsi sulle due diverse grandezze.
Perche' consideri le due rappresentazioni geometriche cosi' interdipendenti?
Riguardo alla rappresentazione geometrica intuitiva, questa serve ad aiutare l'intuizione, e aiutare a fare i conti (tipo calcolare l'accelerazione tridimensionale), ma tutti i calcoli li potresti fare anche in forma astratta (e in dimensione arbitraria).
Vorrei intervenire dal bassissimo della mia formazione, nella speranza di esservi utile.
La posizione è! una grandezza vettoriale. Se vogliamo misurare la distanza tra due posizioni, punto A e punto B tracciamo un segmento (AB) diverso dalla distanza tra B ed A (BA) attenzione al verso!, ad esempio la distanza sulla cartina dell'Europa tra Roma e Milano, possiamo anche misurare la distanza tra il punto B e il punto C, altro segmento (BC), continuando con l'analogia geografica la distanza tra Milano e Marsiglia. Se volessimo calcolare la distanza tra il punto A e il punto C, cioè tra Roma e Marsiglia, non potremmo semplicemente sommare i due segmenti come faremmo con gli scalari, ma costruire un triangolo che tiene dunque conto di direzione e verso degli addendi, che sono appunto vettori! Serve?
La posizione è! una grandezza vettoriale. Se vogliamo misurare la distanza tra due posizioni, punto A e punto B tracciamo un segmento (AB) diverso dalla distanza tra B ed A (BA) attenzione al verso!, ad esempio la distanza sulla cartina dell'Europa tra Roma e Milano, possiamo anche misurare la distanza tra il punto B e il punto C, altro segmento (BC), continuando con l'analogia geografica la distanza tra Milano e Marsiglia. Se volessimo calcolare la distanza tra il punto A e il punto C, cioè tra Roma e Marsiglia, non potremmo semplicemente sommare i due segmenti come faremmo con gli scalari, ma costruire un triangolo che tiene dunque conto di direzione e verso degli addendi, che sono appunto vettori! Serve?
Scusate la curiosità, ma se il concetto di vettore è stato elaborato da un tizio chiamato hamilton intorno all'ottocento, newton in che modo lavorava?
Grazie.
Grazie.
Penso (ma non ne sono per nulla certo) che Hamilton abbia dato il significato algebrico alla nozione di vettore. Non so cosa utilizzasse Newton, ma egli conosceva certamente la regola del paralleologramma
Salve, ora dovrebbe essermi tutto chiaro.
Prima però permettetemi questa breve digressione "filosofica".
L'obiettivo della fisica, a differenza di altre scienze quali la biologia, la medicina, l'economia ecc... è quello di descrivere la realtà attraverso il linguaggio della matematica. Ciò, naturalmente, comporta dei pregi e dei difetti.
I pregi consistono nel riuscire a descrivere, attraverso il potente mezzo della matematica, cose che altre scienze non riescono a descrivere; i limiti, invece, stanno nel fatto che la fisica può descrivere solo quegli enti della natura che possono essere quantificati: sentimenti, emozioni ecc...esulano dagli obiettivi della fisica.
Detto questo, la domanda successiva che uno si deve porre è: come è possibile associare dei numeri agli enti della realtà quantificabili?
La risposta a questa domanda sta nel procedimento di misura, che consiste appunto nel fissare delle regole universali che permettono di associare ad una grandezza, cioè a un qualcosa di quantificabile, uno o più numeri seguiti da un'unità di misura, numeri che devono essere indipendenti dallo sperimentatore.
Ora non tutte le grandezze fisiche sono "uguali". Alcune grandezze fisiche, dette scalari, sono tali che le loro proprietà sono completamente riassunte da un solo numero reale, seguito da una certa unità di misura; altre, dette grandezze vettoriali sono tali che un solo numero è insufficiente a riassumerne tutte le proprietà, essendone necessari più d'uno.
Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, la lunghezza, la superficie, il volume ecc.
Le grandezze vettoriali essenziali, a partire dalle quali sono state definite tutte le altre, sono invece la posizione e la forza.
La forza è una grandezza vettoriale perchè si rileva sperimentalmente che essa può essere esercitata in un qualsiasi punto, direzione, verso e intensità e dunque è chiaro che un numero soltanto non riesce a riassumere tutte queste sue proprietà. Analogamente, la posizione di un punto materiale è una grandezza fisica vettoriale perchè il punto materiale stesso non può essere individuato nello spazio da un solo numero.
Ora, per descrivere per esempio una forza, si potrebbe fare il seguente ragionamento: identifico la grandezza fisica "forza" con un "qualcos'altro", e quindi descrivere la forza significa descrivere questo qualcos'altro. Per esempio, risulta comodo identificare una forza con un segmento orientato applicato in un certo punto: descrivere la forza, dunque, significa descrivere univocamente questo segmento orientato, e ciò nello spazio significa individuare il suo punto di applicazione e le sue componenti, cioè le lunghezze delle sue proiezioni lungo gli assi. Analogamente, per descrivere la posizione di un punto materiale potrei identificare quest'ultimo con un certo ente, e descrivere poi questo ente; ad esempio, potrei identificare il mio punto materiale con la punta finale di un segmento orientato applicato nell'origine di un sistema di riferimento e quindi individuare la posizione del punto individuando la posizione del segmento orientato, posizione che è data dalle sue componenti cartesiane. Uno a questo punto si potrebbe chiedere: perchè fare tutto questo casino? Se identificare una forza con un segmento orientato appare ragionevole, nonchè intuitivo come già detto in post precedenti, identificare un punto materiale con la "punta" di un segmento orientato potrebbe sembrare un'inutile complicazione; e, secondo me, lo è, se non per il fatto che una trattazione di questo tipo permette di dare un "senso grafico" ai concetti di velocità e accelerazione.
Spero di essere stato chiaro e, soprattutto, di aver detto cose corrette.
Grazie.
Prima però permettetemi questa breve digressione "filosofica".
L'obiettivo della fisica, a differenza di altre scienze quali la biologia, la medicina, l'economia ecc... è quello di descrivere la realtà attraverso il linguaggio della matematica. Ciò, naturalmente, comporta dei pregi e dei difetti.
I pregi consistono nel riuscire a descrivere, attraverso il potente mezzo della matematica, cose che altre scienze non riescono a descrivere; i limiti, invece, stanno nel fatto che la fisica può descrivere solo quegli enti della natura che possono essere quantificati: sentimenti, emozioni ecc...esulano dagli obiettivi della fisica.
Detto questo, la domanda successiva che uno si deve porre è: come è possibile associare dei numeri agli enti della realtà quantificabili?
La risposta a questa domanda sta nel procedimento di misura, che consiste appunto nel fissare delle regole universali che permettono di associare ad una grandezza, cioè a un qualcosa di quantificabile, uno o più numeri seguiti da un'unità di misura, numeri che devono essere indipendenti dallo sperimentatore.
Ora non tutte le grandezze fisiche sono "uguali". Alcune grandezze fisiche, dette scalari, sono tali che le loro proprietà sono completamente riassunte da un solo numero reale, seguito da una certa unità di misura; altre, dette grandezze vettoriali sono tali che un solo numero è insufficiente a riassumerne tutte le proprietà, essendone necessari più d'uno.
Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, la lunghezza, la superficie, il volume ecc.
Le grandezze vettoriali essenziali, a partire dalle quali sono state definite tutte le altre, sono invece la posizione e la forza.
La forza è una grandezza vettoriale perchè si rileva sperimentalmente che essa può essere esercitata in un qualsiasi punto, direzione, verso e intensità e dunque è chiaro che un numero soltanto non riesce a riassumere tutte queste sue proprietà. Analogamente, la posizione di un punto materiale è una grandezza fisica vettoriale perchè il punto materiale stesso non può essere individuato nello spazio da un solo numero.
Ora, per descrivere per esempio una forza, si potrebbe fare il seguente ragionamento: identifico la grandezza fisica "forza" con un "qualcos'altro", e quindi descrivere la forza significa descrivere questo qualcos'altro. Per esempio, risulta comodo identificare una forza con un segmento orientato applicato in un certo punto: descrivere la forza, dunque, significa descrivere univocamente questo segmento orientato, e ciò nello spazio significa individuare il suo punto di applicazione e le sue componenti, cioè le lunghezze delle sue proiezioni lungo gli assi. Analogamente, per descrivere la posizione di un punto materiale potrei identificare quest'ultimo con un certo ente, e descrivere poi questo ente; ad esempio, potrei identificare il mio punto materiale con la punta finale di un segmento orientato applicato nell'origine di un sistema di riferimento e quindi individuare la posizione del punto individuando la posizione del segmento orientato, posizione che è data dalle sue componenti cartesiane. Uno a questo punto si potrebbe chiedere: perchè fare tutto questo casino? Se identificare una forza con un segmento orientato appare ragionevole, nonchè intuitivo come già detto in post precedenti, identificare un punto materiale con la "punta" di un segmento orientato potrebbe sembrare un'inutile complicazione; e, secondo me, lo è, se non per il fatto che una trattazione di questo tipo permette di dare un "senso grafico" ai concetti di velocità e accelerazione.
Spero di essere stato chiaro e, soprattutto, di aver detto cose corrette.
Grazie.
Bellissimo riassunto!
Sono abbastanza d'accordo.
Sul fatto che sia inutile, ho dei dubbi; come si potrebbe descrivere la posizione diversamente?
Ciao
"lisdap":
ad esempio, potrei identificare il mio punto materiale con la punta finale di un segmento orientato applicato nell'origine di un sistema di riferimento e quindi individuare la posizione del punto individuando la posizione del segmento orientato, posizione che è data dalle sue componenti cartesiane.
Sono abbastanza d'accordo.
Sul fatto che sia inutile, ho dei dubbi; come si potrebbe descrivere la posizione diversamente?
Ciao
"gio73":
Bellissimo riassunto!
[quote="lisdap"]ad esempio, potrei identificare il mio punto materiale con la punta finale di un segmento orientato applicato nell'origine di un sistema di riferimento e quindi individuare la posizione del punto individuando la posizione del segmento orientato, posizione che è data dalle sue componenti cartesiane.
Sono abbastanza d'accordo.
Sul fatto che sia inutile, ho dei dubbi; come si potrebbe descrivere la posizione diversamente?
Ciao[/quote]
Ciao
. Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.Quello che dico io è che dei segmenti orientati in fisica se ne può benissimo fare a meno, e ciò è confermato dal fatto che tali enti furono "inventati" a fine ottocento, cioè in tempi relativamente recenti, mentre tutta la meccanica classica era stata elaborata da Newton molto tempo prima.
Supponiamo di dover descrivere una forza.
Come ho già detto, la forza dipende dall'intensità, direzione, verso e punto di applicazione, per cui è una grandezza vettoriale, in quanto un solo numero è insufficiente a descriverla. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio, un modo per individuare una forza senza conoscere i segmenti orientati potrebbe essere quello di utilizzare un numero per indicarne l'intensità ed il verso, una terna per indicarne il punto di applicazione, e due altri numeri per indicare gli angoli che la retta di azione lungo la quale la forza agisce forma con due assi. Tuttavia, tale procedimento di "specificazione della forza" può essere reso più comodo identificando la forza con un ente che ha le stesse sue proprietà, cioè modulo, direzione, verso e punto di applicazione: il segmento orientato. Identificata la forza con il segmento orientato, descrivere la forza vuol dire descrivere il segmento orientato, e un segmento orientato è molto facile da descrivere in quanto è univocamente determinato noti che siano il suo punto di applicazione e le sue componenti cartesiane. Questo metodo è dunque molto più veloce rispetto allo specificare intensità, angoli ecc...e nel caso di una forza il segmento orientato è veramente molto utile.
Ora rispondo alla tua domanda: dalla geometria analitica si evince che la posizione di un punto materiale è individuata dalle coordinate cartesiane del punto rispetto a un certo sistema di riferimento. Questo è il modo consueto di individuare, in matematica, la posizione di un punto nello spazio: elencare cioè in una n-upla ordinata le sue coordinate.
In fisica, però, si parla del famigerato vettore posizione e secondo me ciò accade per due motivi:
1) Se rappresento la forza con un segmento orientato, poi devo utilizzare segmenti orientati per tutte le altre grandezze vettoriali, altrimenti non sarei coerente;
2) se in fisica non si utilizzassero i vettori posizione, concetti quali velocità ed accelerazione, che matematicamente altro non sono che derivate di funzioni, non avrebbero "senso grafico".
Io la vedo così, cioè mentre i segmenti orientati nel caso delle forze sono pienamente giustificati, nel caso della posizione sono un pò una forzatura, ma alla fine il concetto è sempre lo stesso.
Per esempio, io mi limito a pensare alla velocità istantanea come la derivata di una funzione R->R^3, e secondo me l'espressione "la velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria" non ha alcun significato pratico.
Ciao e buona giornata
Ciao anche a te.
Rifletterò un po' sulle tue osservazioni e se ti fa ancora piacere continueremo a discutere di vettori e posizioni.
Di nuovo Ciao
Rifletterò un po' sulle tue osservazioni e se ti fa ancora piacere continueremo a discutere di vettori e posizioni.
Di nuovo Ciao
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