Domanda sui campi
Ciao, avrei un dubbio sul teorema divergenza e stokes che si usa spesso in fisica I e II.
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
II) inoltre vale: $int_V(vecnabla*vecA)dV=int_SigmavecA*vecndSigma$ (con sigma superficie chiusa racchiudente il volume V)
ma I+II vorrebbero dire:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
e sapendo che la divergenza di un rotore è sempre nulla l'ultimo integrale è NULLO e ciò parrebbe asserire che: $int_gammavecA*dvecs=0, AA A$ evidentmente falso.
Dove risiede l'errore?
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
II) inoltre vale: $int_V(vecnabla*vecA)dV=int_SigmavecA*vecndSigma$ (con sigma superficie chiusa racchiudente il volume V)
ma I+II vorrebbero dire:
$int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxvecA)*vecndSigma=int_Vvecnabla*(vecnablaxxvecA)dV=0$
e sapendo che la divergenza di un rotore è sempre nulla l'ultimo integrale è NULLO e ciò parrebbe asserire che: $int_gammavecA*dvecs=0, AA A$ evidentmente falso.
Dove risiede l'errore?
Risposte
"siffunziona":
Ciao, avrei un dubbio sul teorema divergenza e stokes che si usa spesso in fisica I e II.
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
Qui hai indicato con $Sigma$ un volume, di cui $gamma$ é la frontiera.
II) inoltre vale: $int_V(vecnabla*vecA)dV=int_SigmavecA*vecndSigma$ (con sigma superficie chiusa racchiudente il volume V)
Qui invece hai indicato con lo stesso simbolo $Sigma$ la superficie che racchiude il volume $V$ .
É chiaro che mettendo insieme la cose come hai fatto, ti trovi quel risultato errato. Ci vuole oculatezza nella scelta dei simboli per indicare le grandezze. Non puoi indicare con lo stesso simbolo due grandezze diverse.
Hai messo la stessa domanda anche in analisi, con un altro titolo: sei nuovo, ma il “crossposting” non è concesso.
"Shackle":
Qui hai indicato con $Sigma$ un volume, di cui $gamma$ é la frontiera.
No, aspetta, in realtà è corretto lì $Sigma$ è una superficie, infatti in I) quell'integrale è un flusso! Non è un integrale di volume: il flusso del rotore di un campo vettoriale è pari alla circuitazione del campo stesso lungo la frontiera di quella superficie.
Hai messo la stessa domanda anche in analisi (perché parli di volume?), con un altro titolo: sei nuovo, ma il “crossposting” non è concesso.
Non lo sapevo, più che altro è perché ero in dubbio non sapendo quale fosse la sezione più consona... non perché volessi sdoppiare la domanda, ho così pensato che in base alla sezione più giusta sarebbe poi stata cancellata da qualche mod quella delle due errate
mi scuso!
Ho visto che non ho avuto più risposte 
però mi sembrava corretto quando ho scritto qui sopra sbaglio?
Grazie
però mi sembrava corretto quando ho scritto qui sopra sbaglio?Grazie
Concordo con quanto osservato in precedenza, cioé che il tuo ragionamento è sbagliato.
Quando applichi Stockes, la superficie che consideri è una (qualsiasi) avente come bordo il cammino chiuso che definisce l'integrale di linea. Questa NON può essere usata nel calcolo del flusso via teorema della divergenza in quanto il teorema recita "il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie CHIUSA è pari a...".
In aggiunta: ovviamente un campo vettoriale definito come rotore di un altro campo vettoriale, ha flusso nullo attraverso una qualsiasi superficie e, assumendo sufficiente regolarità, ha divergenza nulla.
Quando applichi Stockes, la superficie che consideri è una (qualsiasi) avente come bordo il cammino chiuso che definisce l'integrale di linea. Questa NON può essere usata nel calcolo del flusso via teorema della divergenza in quanto il teorema recita "il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie CHIUSA è pari a...".
In aggiunta: ovviamente un campo vettoriale definito come rotore di un altro campo vettoriale, ha flusso nullo attraverso una qualsiasi superficie e, assumendo sufficiente regolarità, ha divergenza nulla.
Che sia sbagliato l'ho compreso, ma quello che volevo dire è che secondo me l'errore non è quello evidenziato da schackle:" Qui hai indicato con Σ un volume, di cui γ é la frontiera. " (si legga il suo intervento sopra e si capisce a cosa mi riferisco).
Non è per quello, perché lui parla di volume! mentre l'errore, come fai notare tu e come faceva notare quinzi, è semplicemente dovuto al fatto che ho scelto una superficie chiusa! E' una superficie ma non mi ero accorto di forzare il discorso scegliendone una chiusa. L'aver chiamato (come dice shackle) deivolumi con sigma non c'entra nulla a mio avviso: io ho chiamato sempre una superficie con sigma solo che una è chiusa e l'altra no!
da Quinzio:
Cioè detto, cambiando discorso
posso gentilmente chiederti perché? non mi è cosi ovvio
Non è per quello, perché lui parla di volume! mentre l'errore, come fai notare tu e come faceva notare quinzi, è semplicemente dovuto al fatto che ho scelto una superficie chiusa! E' una superficie ma non mi ero accorto di forzare il discorso scegliendone una chiusa. L'aver chiamato (come dice shackle) deivolumi con sigma non c'entra nulla a mio avviso: io ho chiamato sempre una superficie con sigma solo che una è chiusa e l'altra no!
da Quinzio:
Che in I) la superficie Σ e' aperta, mentre in II) e' chiusa.
Se chiudi la superficie in I), la curva γ si riduce a un punto, e quindi l'integrale e' nullo.
Cioè detto, cambiando discorso
In aggiunta: ovviamente un campo vettoriale definito come rotore di un altro campo vettoriale, ha flusso nullo attraverso una qualsiasi superficie e, assumendo sufficiente regolarità, ha divergenza nulla.
posso gentilmente chiederti perché? non mi è cosi ovvio
È una conseguenza del teorema di Stokes. Dato che, fissato un bordo, il flusso attraverso una superficie orientata è lo stesso, ne consegue che la somma dei flussi attraverso superfici orientate in maniera opposte è nullo - il che vuol dire che il flusso attraverso la superficie chiusa così creata sia nullo. Essendo valido ciò per tutti i bordi, vale per ogni superficie (ancora, assumendo sufficiente regolarità)
Ammetto però di essere abbastanza arrugginito in materia, quindi per ulteriori dettagli e precisazioni ti invito ad ascoltare persone più esperte.
Ammetto però di essere abbastanza arrugginito in materia, quindi per ulteriori dettagli e precisazioni ti invito ad ascoltare persone più esperte.
Ok, cioè quello che dici mi sembra più che corretto, più che altro mi mancava un passettino: ossia che non capisco perché il rotore garantisse un flusso identico su due parti di due superfici orientate in modo opposto.
E' il fatto di integrare un rotore che dà quella proprietà, ma mi sfugge intuitivamente il perché
Mi rendo conto sia forse una stupidaggine ma non ci arrivo, magari mi sai aiutare anche tu
E' il fatto di integrare un rotore che dà quella proprietà, ma mi sfugge intuitivamente il perché
Mi rendo conto sia forse una stupidaggine ma non ci arrivo, magari mi sai aiutare anche tu
ossia che non capisco perché il rotore garantisse un flusso identico su due parti di due superfici orientate in modo opposto.
flusso identico - in modulo, ma di segno opposto. Se prendi due superfici aventi stesso bordo, e stessa orientazione, per il teorema di stokes il flusso è identico. Il fatto che invertendo l'orientamento della superfice cambia il segno del flusso, segue dalla definizione di flusso. E questo è consistente con il fatto che, se inverti l'orientazione del cammino dell'integrale di linea, il membro di sx dell'eguaglianza di stokes cambia segno, cambiamento che è compensato dal cambiamento di segno nell'integrale di flusso a membro di dx.
Uhm forse mi sono spiegato male o mi sfugge qualcosa.
Prendiamo sigma chiusa e B qualsiasi: $int_SigmaB*vecndSigma$ questo è sempre nullo? Direi di no!
Se così fosse invece ovviamente: $int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma=0$ per stokes (circuitando su una curva che è un punto). Quindi sembra che la nullità sia una proprietà del fatto che integro $vecnablaxxA$? non è una proprietà infatti di qualunque campo B!!
Chiedevo in sostanza, a livello grafico ad esempio perché il rotore garantisce questa nullità se integrato come flusso? E' ovvio sia nullo per stokes! però non lo capisco intuitivamente pensando a linee di flusso che "attraversano" la superficie chiusa. E' come se il rotore rendesse le linee sempre identiche uscenti da una parte e dall'altra così si elidono nella somma (sulle due superfici opposte) non so se mi spiego.
Prendiamo sigma chiusa e B qualsiasi: $int_SigmaB*vecndSigma$ questo è sempre nullo? Direi di no!
Se così fosse invece ovviamente: $int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma=0$ per stokes (circuitando su una curva che è un punto). Quindi sembra che la nullità sia una proprietà del fatto che integro $vecnablaxxA$? non è una proprietà infatti di qualunque campo B!!
Chiedevo in sostanza, a livello grafico ad esempio perché il rotore garantisce questa nullità se integrato come flusso? E' ovvio sia nullo per stokes! però non lo capisco intuitivamente pensando a linee di flusso che "attraversano" la superficie chiusa. E' come se il rotore rendesse le linee sempre identiche uscenti da una parte e dall'altra così si elidono nella somma (sulle due superfici opposte) non so se mi spiego.
No direi proprio di no.
@Lampo1089
Aspetta ho corretto, purtroppo avevo fatto un erroraccio ho editato, posso gentilmente chiedere di rileggere perché mi sa che hai letto le castronerie in fase di editing
Riporto qui per comodità di fruizione:
Aspetta ho corretto, purtroppo avevo fatto un erroraccio ho editato, posso gentilmente chiedere di rileggere perché mi sa che hai letto le castronerie in fase di editing
Riporto qui per comodità di fruizione:
Uhm forse mi sono spiegato male o mi sfugge qualcosa.
Prendiamo sigma chiusa e B qualsiasi: $int_SigmaB*vecndSigma$ questo è sempre nullo? Direi di no!
Se così fosse invece ovviamente: $int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma=0$ per stokes (circuitando su una curva che è un punto). Quindi sembra che la nullità sia una proprietà del fatto che integro $vecnablaxxA$? non è una proprietà infatti di qualunque campo B ma del fato che integro un campo speciale: integro il rotore di un campo!!
Chiedevo in sostanza, a livello grafico ad esempio perché il rotore garantisce questa nullità se integrato come flusso? E' ovvio sia nullo per stokes! però non lo capisco intuitivamente pensando a linee di flusso che "attraversano" la superficie chiusa. E' come se il rotore rendesse le linee sempre identiche uscenti da una parte e dall'altra così si elidono nella somma (sulle due superfici opposte) non so se mi spiego.
Rispondo perché mi hai chiamato in causa.
Penso che tu non abbia compreso la mia osservazione. Puoi chiamare una grandezza fisica com un nome qualunque, anche “pidocchio” , per dire. Ma non puoi dare lo stesso nome “pidocchio” a due grandezze fisiche diverse, come hai fatto.
Ció detto, mi sorge il dubbio che tu non abbia ben chiaro il concetto di “divergenza” e il teorema di cui si sta parlando: il flusso del vettore attraverso una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza esteso al volume racchiuso dalla superficie.
Al di là della voce di Wikipedia sulla [url=https://it.m.wikipedia.org/wiki/Divergenza#:~:text=9%20Collegamenti%20esterni-,Definizione,diramarsi%20(divergere)%20da%20essa.]divergenza[/url], che puoi leggere nel link, richiamo la tua attenzione su quanto riporta Richard Feynman nelle sue famose lezioni, e in particolare nel cap. 3 del secondo volume :
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html
queste lezioni sono ormai di pubblico dominio da anni, per iniziativa del Caltech , dove Feynman ha insegnato negli anni ’60 del secolo scorso. Se vai sul sito, puoi leggerle tutte, capitolo per capitolo.
Feynman è molto chiaro e pittoresco nelle spiegazioni che dà, senza tralasciare il rigore scientifico.
Penso che tu non abbia compreso la mia osservazione. Puoi chiamare una grandezza fisica com un nome qualunque, anche “pidocchio” , per dire. Ma non puoi dare lo stesso nome “pidocchio” a due grandezze fisiche diverse, come hai fatto.
Ció detto, mi sorge il dubbio che tu non abbia ben chiaro il concetto di “divergenza” e il teorema di cui si sta parlando: il flusso del vettore attraverso una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza esteso al volume racchiuso dalla superficie.
Al di là della voce di Wikipedia sulla [url=https://it.m.wikipedia.org/wiki/Divergenza#:~:text=9%20Collegamenti%20esterni-,Definizione,diramarsi%20(divergere)%20da%20essa.]divergenza[/url], che puoi leggere nel link, richiamo la tua attenzione su quanto riporta Richard Feynman nelle sue famose lezioni, e in particolare nel cap. 3 del secondo volume :
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html
queste lezioni sono ormai di pubblico dominio da anni, per iniziativa del Caltech , dove Feynman ha insegnato negli anni ’60 del secolo scorso. Se vai sul sito, puoi leggerle tutte, capitolo per capitolo.
Feynman è molto chiaro e pittoresco nelle spiegazioni che dà, senza tralasciare il rigore scientifico.
@shackle grazie per la risposta, però no, in realtà asserivo un'altra cosa.
Qui hai indicato con $Sigma$ un volume, di cui $gamma$ é la frontiera.[/quote]
Tu dici che Sigma lì è un volume, ma il teorema (di Stokes) dice che è una SUPERFICIE (-semplicemente- non chiusa, a differenza del teorema della divergenza che la richiede chiusa: ma sempre superficie è!). Qundi la grandezza fisica è una superficie anche lì, non ho capito perché parli di volume!?
"Shackle":
[quote="siffunziona"]Ciao, avrei un dubbio sul teorema divergenza e stokes che si usa spesso in fisica I e II.
Mi spiego:
I) io so che vale: $int_gammavecA*dvecs=int_Sigma(vecnablaxxA)*vecndSigma$ (con gamma frontiera di sigma)
Qui hai indicato con $Sigma$ un volume, di cui $gamma$ é la frontiera.[/quote]
Tu dici che Sigma lì è un volume, ma il teorema (di Stokes) dice che è una SUPERFICIE
(-semplicemente- non chiusa, a differenza del teorema della divergenza che la richiede chiusa: ma sempre superficie è!). Qundi la grandezza fisica è una superficie anche lì, non ho capito perché parli di volume!?
Prendiamo sigma chiusa e B qualsiasi:questo è sempre nullo?
assolutamente no.
però:
\(\int_\Sigma \vec{\nabla}\times \vec{A} \cdot \vec{d\sigma}=0 \) per stokes
"circuitando su una curva che è un punto"
a parte, è corretto perché puoi scomporre l'integrale di flusso su una superficie chiusa in due integrali di flusso su due superfici aperte C e D, aventi stesso bordo e percorse in verso opposto \(\Gamma, \Gamma^{'}\) (questo per definire i versori normali nei due "emisferi" in entrambi i casi uscenti).In soldoni:
\[
\int_\Sigma\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right)\cdot \vec{d\sigma} = \int_C\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right) \cdot \vec{d\sigma} + \int_D\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right)\cdot \vec{d\sigma} = \int_\Gamma \vec{A}\cdot d\vec{s} + \int_{\Gamma^{'}} \vec{A}\cdot d\vec{s} = 0
\]
essendo \(\Gamma, \Gamma^{'}\) lo stesso circuito, orientato in maniera opposta.
ovviamente, se il campo è sufficientemente regolare (eg se il rotore è C1) puoi applicare il teorema della divergenza e ottenere immediatamente il risultato voluto, dato che la divergenza di un rotore è nulla.
la nullità sia una proprietà del fatto che integro\(\vec{\nabla}\times \vec{A}\)
assolutamente sì - deriva dal fatto che calcoli il flusso di un campo vettoriale "derivato da un rotore" attraverso una superficie chiusa.
E' come se il rotore rendesse le linee sempre identiche uscenti da una parte e dall'altra così si elidono nella somma (sulle due superfici opposte) non so se mi spiego.
è proprio così. Ancora, un campo vettoriale derivato da un rotore, ha divergenza nulla (ovviamente se il campo di partenza è sufficientemente derivabile) ed è per questo motivo detto solenoidale. Il che significa che non possiede "pozzi" o "sorgenti" - ossia regioni da cui "escono" linee di campo, pensa ad una carica elettrica per esempio e che quindi "ciò che entra da una parte, deve uscire dall'altra".
"circuitando su una curva che è un punto"
Sì perché Quinzio aveva gentilmente risposto al primo post così
"Quinzio":
Che in I) la superficie $\Sigma$ e' aperta, mentre in II) e' chiusa.
Se chiudi la superficie in I), la curva $\gamma$ si riduce a un punto, e quindi l'integrale e' nullo.
Evidenzio del discorso: "se chiudo la superficie gamma diventa un punto" (che è ciò che ci interessa).
E quindi mi sembra ragionevole, quando prendi una superficie chiusa è come se stessi circuitando (cioè integale di linea di II specie su percorso chiuso = circuitazione) su un punto. E' come se la curva degenerasse in un punto.
NON sei d'accordo?
Per il resto,
In soldoni:
\[
\int_\Sigma\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right)\cdot \vec{d\sigma} = \int_C\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right) \cdot \vec{d\sigma} + \int_D\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right)\cdot \vec{d\sigma} = \int_\Gamma \vec{A}\cdot d\vec{s} + \int_{\Gamma^{'}} \vec{A}\cdot d\vec{s} = 0
\]
Sì, certamente questo metodo, così come applicare il thm della divergenza a questo rotore è un altro modo per mostrare la nullità, questo mi era chiaro, tuttavia io cercavo la risposta a livello grafico e come hai intuito la domanda per cui cercavo risposta era: "non capisco perché il rotore garantisca la nullità (graficamente e intuitivamente) del suo integrale di flusso"
Questo non mi era chiaro da qui:
$\int_C\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right) \cdot \vec{d\sigma} + \int_D\left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right)\cdot \vec{d\sigma}$
ma mi sembra chiaro da qui:
ha divergenza nulla. Il che significa che non possiede "pozzi" o "sorgenti" - ossia regioni da cui "escono" linee di campo, pensa ad una c
Effettivamente ciè che entra sulla superficie (mettiamo C) esce da D (seguento la tua nomenclatura). Questo non si vedeva intuitivamente guardando il teorema di stokes (cioè guardando l'integrale di linea) però mi sembra ora molto chiaro vedendolo come "non ha pozzi e sorgenti => le linee si chiudono nella superficie (chiusa) scelta". Non ci avevo pensato
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