Domanda su velocità areolare
Salve, il mio libro di fisica dice che, se un punto materiale si muove lungo una traiettoria curvilinea, in un certo intervallo $Deltat$ il raggio vettore che individua la posizione del punto avrà spazzato una certa area. In un intervallo di tempo finito, da $t$ a $t+Deltat$, possiamo approssimare tale area con un'espressione del tipo: $Delta A=1/2 |vec r(t)|*vec Delta r*sin a$, dove $vec Delta r=r(t+Delta t)-r(t)$ e $sin a$ è il seno dell'angolo che il prolungamento del raggio vettore $vec r(t)$ forma con il vettore $vec Delta r$. Se divido l'espressione di prima per il tempo $Delta t$, ottengo che $(DeltaA)/(Deltat)=1/2 |vec r(t)|*vec v_m*sin a$, dove $v_m$ è la velocità media lineare del punto materiale nell'intervallo $Delta t$. Questa velocità, però, è approssimativa, perchè è approssimativa l'area $DeltaA$ spazzata dal raggio vettore. Ora, la mia domanda è: se quello che ho scritto è giusto, questa velocità areolare diventa esatta ed istantanea se faccio il limite per $delta t$ che tende a 0 di tale espressione?
http://imageshack.us/photo/my-images/109/velocit.png/
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Risposte
UP..................
Up...............
up!
mi freghi i topic 
???
???
penso che la risposta sia "SI"
aahahaha
comunque l'area spazzata secondo me è giusta 
L'area spazzata è data da: [tex]\Delta A=\frac{1}{2}\mathbf{r}(t) \times \mathbf{r}(t+\Delta t)[/tex]. Facendo uno sviluppo al primo ordine in [tex]\Delta t[/tex] (la formula è valida perchè poi faremo il limite per Delta t che tende zero), otteniamo:
[tex]\mathbf{\dot{A}}=\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}/2[/tex]
[tex]\mathbf{\dot{A}}=\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}/2[/tex]
"alephy":
L'area spazzata è data da: [tex]\Delta A=\frac{1}{2}\mathbf{r}(t) \times \mathbf{r}(t+\Delta t)[/tex]. Facendo uno sviluppo al primo ordine in [tex]\Delta t[/tex] (la formula è valida perchè poi faremo il limite per Delta t che tende zero), otteniamo:
[tex]\mathbf{\dot{A}}=\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}/2[/tex]
Potresti farmi vedere i passaggi? come fai lo sviluppo al primo ordine in $\Delta \t$ e poi bisogna fare il limite proprio perchè l'area è spazzata?
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/ArealVelocity.svg[/img]
perchè facendo $r(t) xx r (t + \Delta \t)$ ho l'area del parallelogramma? Scusatemi per queste domande
Ed in un campo di forze centrali,come posso relazionare ciò con $vec b_O$?
Grazie
Nel calcolo si suppone che il vettore di spostamento [tex]\mathbf{\Delta r}[/tex] sia rettilineo (ovvero che la velocità sia costante in quell'intervallo di tempo). Quindi l'area spazzata è l'area del triangolo formato da [tex]\mathbf{r}(t), \mathbf{\Delta r} , \mathbf{r}(t+\Delta t),[/tex], che è la metà dell'area data dal prodotto vettoriale [tex]\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\Delta t)[/tex] (questa è una proprietà notoria del prodotto vettoriale, se non te la ricordi controlla!). Quindi abbiamo
[tex]\mathbf{\Delta A}= \frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\Delta t)=\frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times(\mathbf{r}(t)+\frac{d\mathbf{r}}{dt} \Delta t)=\frac{1}{2} \mathbf{r}(t)\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}\Delta t[/tex].
(Ho usato semplicemente uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine).
Dividendo tutto per [tex]\Delta t[/tex] e facendolo tendere a zero ottieni la relazione desiderata. Per [tex]\mathbf{b}_{0}[/tex] intendi il momento angolare rispetto al centro di forza?
Se provi a porre l'origine del tuo sistema nel centro di forza, allora vedrai che il momento angolare è proprio proporzionale all'area spazzata. Poichè sappiamo che in un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro si conserva, allora anche la velocità areolare è una costante.
[tex]\mathbf{\Delta A}= \frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\Delta t)=\frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times(\mathbf{r}(t)+\frac{d\mathbf{r}}{dt} \Delta t)=\frac{1}{2} \mathbf{r}(t)\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}\Delta t[/tex].
(Ho usato semplicemente uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine).
Dividendo tutto per [tex]\Delta t[/tex] e facendolo tendere a zero ottieni la relazione desiderata. Per [tex]\mathbf{b}_{0}[/tex] intendi il momento angolare rispetto al centro di forza?
Se provi a porre l'origine del tuo sistema nel centro di forza, allora vedrai che il momento angolare è proprio proporzionale all'area spazzata. Poichè sappiamo che in un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro si conserva, allora anche la velocità areolare è una costante.
"alephy":
Nel calcolo si suppone che il vettore di spostamento [tex]\mathbf{\Delta r}[/tex] sia rettilineo (ovvero che la velocità sia costante in quell'intervallo di tempo). Quindi l'area spazzata è l'area del triangolo formato da [tex]\mathbf{r}(t), \mathbf{\Delta r} , \mathbf{r}(t+\Delta t),[/tex], che è la metà dell'area data dal prodotto vettoriale [tex]\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\Delta t)[/tex] (questa è una proprietà notoria del prodotto vettoriale, se non te la ricordi controlla!). Quindi abbiamo
[tex]\mathbf{\Delta A}= \frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\Delta t)=\frac{1}{2}\mathbf{r}(t)\times(\mathbf{r}(t)+\frac{d\mathbf{r}}{dt} \Delta t)=\frac{1}{2} \mathbf{r}(t)\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}\Delta t[/tex].
(Ho usato semplicemente uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine).
Dividendo tutto per [tex]\Delta t[/tex] e facendolo tendere a zero ottieni la relazione desiderata. Per [tex]\mathbf{b}_{0}[/tex] intendi il momento angolare rispetto al centro di forza?
Io sono arrivato a dire che l'area spazzata è uguale a $1/2 \vec r xx vec v$ e ho capito che mi posso ricondurre al momento angolare ma non capisco fisicamente il perchè...è chiaro che $...= 1/2 b_? / m$ ma chi è $?$ e perchè?
Grazie mille
Scusa ho aggiunto qualcosa al messaggio precedente mentre tu scrivevi, e forse ho risposta alla tua domanda.
"alephy":
Scusa ho aggiunto qualcosa al messaggio precedente mentre tu scrivevi, e forse ho risposta alla tua domanda.
Grazie mille quindi quel $?$ sarebbe $c$
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