Domanda su trasmissione riflessione onda
Vorrei chiedere riguardo il dubbio che trovo leggendo queste pagine riguardo riflessione e trasmissione dell'onda su una corda.
Allego note
La descrizione è svolta con i seni e si sfrutta la disparità per portare fuori il meno, deviniendo i rapporti di trasmissione e riflessione si fa poi notare come la riflessione sia in opposizione di fase proprio perché de la densità lineare della seconda corda fosse maggiore il rapporto di riflessione sarebbe minore di zero e trovandoci in $Asin(k0-omegat)$ per l'incidente e $Asin(k0+omegat)$ per la riflessa => $Asin(-omegat)=-Asin(-omegat)$ ed $Asin(omegat)$.
Ma se la descrizione avvenisse con il coseno (del tutto lecito) tutto questo non mi tornerebbe più. Non capisco bene queini in quel caso come si affronti.
Vorrei, inoltre, ringraziare per l'aiuto.
Allego note
La descrizione è svolta con i seni e si sfrutta la disparità per portare fuori il meno, deviniendo i rapporti di trasmissione e riflessione si fa poi notare come la riflessione sia in opposizione di fase proprio perché de la densità lineare della seconda corda fosse maggiore il rapporto di riflessione sarebbe minore di zero e trovandoci in $Asin(k0-omegat)$ per l'incidente e $Asin(k0+omegat)$ per la riflessa => $Asin(-omegat)=-Asin(-omegat)$ ed $Asin(omegat)$.
Ma se la descrizione avvenisse con il coseno (del tutto lecito) tutto questo non mi tornerebbe più. Non capisco bene queini in quel caso come si affronti.
Vorrei, inoltre, ringraziare per l'aiuto.
Risposte
A rigore (per definizione, le ampiezze sono positive) e nel caso più generale, bisognerebbe procedere così:
Onda incidente
$[y_i(x,t)=A_icos(k_1x-\omegat+\phi_i)] ^^ [(dely_i)/(delx)(x,t)=-k_1A_isin(k_1x-\omegat+\phi_i)]$
Onda riflessa
$[y_r(x,t)=A_rcos(k_1x+\omegat+\phi_r)] ^^ [(dely_r)/(delx)(x,t)=-k_1A_rsin(k_1x+\omegat+\phi_r)]$
Onda trasmessa
$[y_t(x,t)=A_tcos(k_2x-\omegat+\phi_t)] ^^ [(dely_t)/(delx)(x,t)=-k_2A_tsin(k_2x-\omegat+\phi_t)]$
Condizione 1
$y_i(0,t)+y_r(0,t)=y_t(0,t) rarr$
$rarr A_icos(-\omegat+\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(-\omegat+\phi_t) rarr$
$rarr A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t) rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0):}$
Condizione 2
$(dely_i)/(delx)(0,t)+(dely_r)/(delx)(0,t)=(dely_t)/(delx)(0,t) rarr$
$rarr -k_1A_isin(-\omegat+\phi_i)-k_1A_rsin(\omegat+\phi_r)=-k_2A_tsin(-\omegat+\phi_t) rarr$
$rarr k_1A_isin(\omegat-\phi_i)-k_1A_rsin(\omegat+\phi_r)=k_2A_tsin(\omegat-\phi_t) rarr$
$rarr \{(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):}$
Sistema finale
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} rarr \{(A_r=A_r(A_i,\phi_i)),(\phi_r=\phi_r(A_i,\phi_i)),(A_t=A_t(A_i,\phi_i)),(\phi_t=\phi_t(A_i,\phi_i)):}$
RIngrazio molto per la risposta. Vorrei chiederti due chiarimenti che non ho ben capito:
1)
oppure
Non ho capito come giugni a questo sistema nel senso che io ho un $omegat$ "tra i piedi" e voglio levarmelo per studiare solo gli sfasamenti, il $kx$ lo toglaimo ponendo il sdr centrato nel punto di congiunzione tra i due mezzi (corda), però omega t lo tolgo studiando t=0? In
$A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t)$
e
$A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t)$
Ma se così fosse (t=0) allora dovrei trovarmi solo con laprima delle equazioni dei due sistemi, cioè non dovrei avere il seno per il primo e il coseno per il secondo.
Credo mi sfugga il ragionamento
2) La seconda domanda che vorrei poter chiarire è però una volta giunti al sistemone finale dell'ultima riga del tuo messaggio, come faccio avendo ancora tutti quegli sfasamenti phi di r,t,i a portarmi ad avere questi rapporti (che ho segnalato in rosso)?
Ragionando in modo naif con le fasi dei soli seni era facile ma ora non capisco come fare.
1)
$rarr A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t) rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0):}$
oppure
$rarr k_1A_isin(\omegat-\phi_i)-k_1A_rsin(\omegat+\phi_r)=k_2A_tsin(\omegat-\phi_t) rarr$
$rarr \{(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):}$
Non ho capito come giugni a questo sistema nel senso che io ho un $omegat$ "tra i piedi" e voglio levarmelo per studiare solo gli sfasamenti, il $kx$ lo toglaimo ponendo il sdr centrato nel punto di congiunzione tra i due mezzi (corda), però omega t lo tolgo studiando t=0? In
$A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t)$
e
$A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t)$
Ma se così fosse (t=0) allora dovrei trovarmi solo con laprima delle equazioni dei due sistemi, cioè non dovrei avere il seno per il primo e il coseno per il secondo.
Credo mi sfugga il ragionamento
2) La seconda domanda che vorrei poter chiarire è però una volta giunti al sistemone finale dell'ultima riga del tuo messaggio, come faccio avendo ancora tutti quegli sfasamenti phi di r,t,i a portarmi ad avere questi rapporti (che ho segnalato in rosso)?
Ragionando in modo naif con le fasi dei soli seni era facile ma ora non capisco come fare.
Per quanto riguarda il primo chiarimento e limitandomi alla prima condizione:
Insomma, affinché la seconda equazione:
sia soddisfatta per ogni $t$, è necessario e sufficiente imporre che i coefficienti di $cos\omegat$ e $sin\omegat$ siano entrambi nulli:
Per quanto riguarda il secondo chiarimento, è necessario risolvere il sistema finale:
Mi riprometto di aggiornarti. Nel frattempo, puoi provare tu a concludere.
A rigore, non si tratta di sfasamenti. Piuttosto, sono le fasi delle tre onde per $x=0$ e $t=0$.
Condizione 1
$A_icos(\omegat-\phi_i)+A_rcos(\omegat+\phi_r)=A_tcos(\omegat-\phi_t) rarr$
$rarr (A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t)cos\omegat+(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t)sin\omegat=0 rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0):}$
Insomma, affinché la seconda equazione:
$(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t)cos\omegat+(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t)sin\omegat=0$
sia soddisfatta per ogni $t$, è necessario e sufficiente imporre che i coefficienti di $cos\omegat$ e $sin\omegat$ siano entrambi nulli:
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0):}$
Per quanto riguarda il secondo chiarimento, è necessario risolvere il sistema finale:
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} rarr \{(A_r=A_r(A_i,\phi_i)),(\phi_r=\phi_r(A_i,\phi_i)),(A_t=A_t(A_i,\phi_i)),(\phi_t=\phi_t(A_i,\phi_i)):}$
Mi riprometto di aggiornarti. Nel frattempo, puoi provare tu a concludere.
"moenia":
... avendo ancora tutti quegli sfasamenti ...
A rigore, non si tratta di sfasamenti. Piuttosto, sono le fasi delle tre onde per $x=0$ e $t=0$.
Ti ringrazio ho compreso il primo punto 
Per il secondo ci provo subito, in sostanza quei phi devo tenerli come paramentri noti e portarmeli nella formula finale, cioè non troverò quelle evidenziate in rosso ma delle analoghe con anche i phi. Giusto?
Lo chiedo per capire come procedere,cioe se trattare phi come incognite o come parametri da portarmi dietro.
Per il secondo ci provo subito, in sostanza quei phi devo tenerli come paramentri noti e portarmeli nella formula finale, cioè non troverò quelle evidenziate in rosso ma delle analoghe con anche i phi. Giusto?
Lo chiedo per capire come procedere,cioe se trattare phi come incognite o come parametri da portarmi dietro.
Non proprio. Devi ricavare $A_r$, $\phi_r$, $A_t$ e $\phi_t$ in funzione di $A_i$ e $\phi_i$. Insomma, se vuoi, i parametri sono $A_i$ e $\phi_i$. Anche se non è affatto banale, in qualche modo si dovrebbe riuscire.
Ok, però dovrei giungere di nuovo a $r=(k_1-k_1)/(k_1+k_2)$ (**) o qualcosa di analogo ma con i phi,cioè un $r=(A(k_1,K_2,phi_n))/(B(k_1,K_2,phi_n))$. Con phi_n intendo phi di r e t.
Te lo chiedo almeno so se faccio errori di calcolo se non arrivassi a (**).
Te lo chiedo almeno so se faccio errori di calcolo se non arrivassi a (**).
---
Grazie, certo!
Ok credo di aver raggiungo la relazione.
Avrei solo due ultime domande:
-1- Però ora come posso portarmi ad avere i rapporti che evidenziavo precedentemente? Posso ora rapportare A_i A_t ecc con le relazioni trale fasi?
-2- Curiosità, questo metodo mi sembra migliore, ma il ragionamento fatto nelle slide che ho allegato è del tutto sbagliato secondo te? Nel senso: ragionare sulle ampiezze come mi sembra fare è deprecabile ma può funzionare per semplificarci la vita?
Grazie di nuovo.
Avrei solo due ultime domande:
-1- Però ora come posso portarmi ad avere i rapporti che evidenziavo precedentemente? Posso ora rapportare A_i A_t ecc con le relazioni trale fasi?
-2- Curiosità, questo metodo mi sembra migliore, ma il ragionamento fatto nelle slide che ho allegato è del tutto sbagliato secondo te? Nel senso: ragionare sulle ampiezze come mi sembra fare è deprecabile ma può funzionare per semplificarci la vita?
Grazie di nuovo.
---
Ho ripercorso tutti i calcoli e ho capito dove sbagliavo prima rimanendo legato a fasi, era un errore di copiatura da una riga all'altra e mi sballava tutto. Credo non riuscirò mai avere il tuo rigore 
.
Sei stato molto gentile (e paziente), ti ringrazio tantissimo.
Provo anche gli altri calcoli, ma capito il metodo direi che ci sono (salvo errori da stupido).
In effetti non capisco perché non venga proposto in tal modo, ma nemmeno sui manuali che ho. E' più chiaro e mette a posto le idee. Dovresti scriverle tu
.Sei stato molto gentile (e paziente), ti ringrazio tantissimo.
Provo anche gli altri calcoli, ma capito il metodo direi che ci sono (salvo errori da stupido).
In effetti non capisco perché non venga proposto in tal modo, ma nemmeno sui manuali che ho. E' più chiaro e mette a posto le idee. Dovresti scriverle tu
A partire dal sistema sottostante:
per quanto riguarda la relazione tra $\phi_r$ e $\phi_i$:
e per quanto riguarda la relazione tra $\phi_t$ e $\phi_i$:
A questo punto, per quanto riguarda le ampiezze, è necessario distinguere 4 casi:
Ebbene:
a patto che (per definizione, le ampiezze sono positive):
In questo caso, non si hanno sfasamenti:
a patto che:
In questo caso, l'onda riflessa è sfasata di mezza lunghezza d'onda:
a causa della prima equazione, manifestamente impossibile.
a causa della seconda equazione, manifestamente impossibile.
P.S.
Il caso particolare svolto in quella risorsa, per quanto riguarda le condizioni di continuità, risulta più naturale con i coseni:
Ovviamente, i risultati finali non cambiano:
Tuttavia:
1. Le ampiezze possono essere anche negative (da evitare, se non si ha sufficiente esperienza).
2. Se si procede con i seni, le condizioni di continuità devono essere scritte diversamente (vedi risorsa).
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):}$
per quanto riguarda la relazione tra $\phi_r$ e $\phi_i$:
Passo 1
$[A_tcos\phi_t=A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r] ^^ [A_tsin\phi_t=A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r] rarr$
$rarr tg\phi_t=(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r)/(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r)$
Passo 2
$[k_2A_tsin\phi_t=k_1A_isin\phi_i+k_1A_rsin\phi_r] ^^ [k_2A_tcos\phi_t=k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r] rarr$
$rarr tg\phi_t=(A_isin\phi_i+A_rsin\phi_r)/(A_icos\phi_i-A_rcos\phi_r)$
Passo 3
$(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r)/(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r)=(A_isin\phi_i+A_rsin\phi_r)/(A_icos\phi_i-A_rcos\phi_r) rarr$
$rarr (A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r)(A_icos\phi_i-A_rcos\phi_r)=(A_isin\phi_i+A_rsin\phi_r)(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r) rarr$
$rarr -sin\phi_icos\phi_r-cos\phi_isin\phi_r=sin\phi_icos\phi_r+cos\phi_isin\phi_r rarr$
$rarr 2(sin\phi_icos\phi_r+cos\phi_isin\phi_r)=0 rarr$
$rarr sin(\phi_i+\phi_r)=0 rarr$
$rarr [\phi_i+\phi_r=0] vv [\phi_i+\phi_r=\pi] rarr$
$rarr [\phi_r=-\phi_i] vv [\phi_r=-\phi_i+\pi]$
e per quanto riguarda la relazione tra $\phi_t$ e $\phi_i$:
Passo 1
$[A_rcos\phi_r=-A_icos\phi_i+A_tcos\phi_t] ^^ [A_rsin\phi_r=A_isin\phi_i-A_tsin\phi_t] rarr$
$rarr tg\phi_r=(A_isin\phi_i-A_tsin\phi_t)/(-A_icos\phi_i+A_tcos\phi_t)$
Passo 2
$[k_1A_rsin\phi_r=-k_1A_isin\phi_i+k_2A_tsin\phi_t] ^^ [k_1A_rcos\phi_r=k_1A_icos\phi_i-k_2A_tcos\phi_t] rarr$
$rarr tg\phi_r=(-k_1A_isin\phi_i+k_2A_tsin\phi_t)/(k_1A_icos\phi_i-k_2A_tcos\phi_t)$
Passo 3
$(A_isin\phi_i-A_tsin\phi_t)/(-A_icos\phi_i+A_tcos\phi_t)=(-k_1A_isin\phi_i+k_2A_tsin\phi_t)/(k_1A_icos\phi_i-k_2A_tcos\phi_t) rarr$
$rarr (A_isin\phi_i-A_tsin\phi_t)(k_1A_icos\phi_i-k_2A_tcos\phi_t)=(k_1A_isin\phi_i-k_2A_tsin\phi_t)(A_icos\phi_i-A_tcos\phi_t) rarr$
$rarr -k_2A_iA_tsin\phi_icos\phi_t-k_1A_iA_tcos\phi_isin\phi_t=-k_1A_iA_tsin\phi_icos\phi_t-k_2A_iA_tcos\phi_isin\phi_t rarr$
$rarr k_2sin\phi_icos\phi_t+k_1cos\phi_isin\phi_t=k_1sin\phi_icos\phi_t+k_2cos\phi_isin\phi_t rarr$
$rarr (k_1-k_2)(cos\phi_isin\phi_t-sin\phi_icos\phi_t) rarr$
$rarr cos\phi_isin\phi_t-sin\phi_icos\phi_t=0 rarr$
$rarr sin(\phi_i-\phi_t)=0 rarr$
$rarr [\phi_i-\phi_t=0] vv [\phi_i-\phi_t=\pi] rarr$
$rarr [\phi_t=\phi_i] vv [\phi_t=\phi_i-\pi]$
A questo punto, per quanto riguarda le ampiezze, è necessario distinguere 4 casi:
Caso 1
$\{(\phi_r=-\phi_i),(\phi_t=\phi_i):}$
Caso 2
$\{(\phi_r=-\phi_i),(\phi_t=\phi_i-\pi):}$
Caso 3
$\{(\phi_r=-\phi_i+\pi),(\phi_t=\phi_i):}$
Caso 4
$\{(\phi_r=-\phi_i+\pi),(\phi_t=\phi_i-\pi):}$
Ebbene:
Caso 1
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} ^^ \{(\phi_r=-\phi_i),(\phi_t=\phi_i):} rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_i-A_tcos\phi_i=0),(A_isin\phi_i+A_rsin\phi_i-A_tsin\phi_i=0),(-k_1A_isin\phi_i+k_1A_rsin\phi_i+k_2A_tsin\phi_i=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_i-k_2A_tcos\phi_i=0):} rarr$
$rarr \{(A_i+A_r-A_t=0),(A_i+A_r-A_t=0),(-k_1A_i+k_1A_r+k_2A_t=0),(k_1A_i-k_1A_r-k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_i+A_r-A_t=0),(k_1A_i-k_1A_r-k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_r=(k_1-k_2)/(k_1+k_2)A_i),(A_t=(2k_1)/(k_1+k_2)A_i):}$
a patto che (per definizione, le ampiezze sono positive):
$k_1 gt k_2$
In questo caso, non si hanno sfasamenti:
Onda incidente
$y_i(0,t)=A_icos(-\omegat+\phi_i)$
Onda riflessa
$y_r(0,t)=A_rcos(\omegat+\phi_r)$
Assenza di sfasamento
$[\phi_r=-\phi_i] rarr [y_r(0,t)=A_rcos(\omegat-\phi_i)=A_rcos(-\omegat+\phi_i)]$
Onda trasmessa
$y_t(0,t)=A_tcos(-\omegat+\phi_t)$
Assenza di sfasamento
$[\phi_t=\phi_i] rarr [y_t(0,t)=A_tcos(-\omegat+\phi_i)]$
Caso 3
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} ^^ \{(\phi_r=-\phi_i+\pi),(\phi_t=\phi_i):} rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i-A_rcos\phi_i-A_tcos\phi_i=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_i-A_tsin\phi_i=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_i+k_2A_tsin\phi_i=0),(k_1A_icos\phi_i+k_1A_rcos\phi_i-k_2A_tcos\phi_i=0):} rarr$
$rarr \{(A_i-A_r-A_t=0),(A_i-A_r-A_t=0),(-k_1A_i-k_1A_r+k_2A_t=0),(k_1A_i+k_1A_r-k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_i-A_r-A_t=0),(k_1A_i+k_1A_r-k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_r=(-k_1+k_2)/(k_1+k_2)A_i),(A_t=(2k_1)/(k_1+k_2)A_i):}$
a patto che:
$k_1 lt k_2$
In questo caso, l'onda riflessa è sfasata di mezza lunghezza d'onda:
Onda incidente
$y_i(0,t)=A_icos(-\omegat+\phi_i)$
Onda riflessa
$y_r(0,t)=A_rcos(\omegat+\phi_r)$
Presenza di sfasamento
$[\phi_r=-\phi_i+\pi] rarr [y_r(0,t)=A_rcos(\omegat-\phi_i+\pi)=-A_rcos(-\omegat+\phi_i)]$
Onda trasmessa
$y_t(0,t)=A_tcos(-\omegat+\phi_t)$
Assenza di sfasamento
$[\phi_t=\phi_i] rarr [y_t(0,t)=A_tcos(-\omegat+\phi_i)]$
Caso 2
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} ^^ \{(\phi_r=-\phi_i),(\phi_t=\phi_i-\pi):} rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_i+A_tcos\phi_i=0),(A_isin\phi_i+A_rsin\phi_i+A_tsin\phi_i=0),(-k_1A_isin\phi_i+k_1A_rsin\phi_i-k_2A_tsin\phi_i=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_i+k_2A_tcos\phi_i=0):} rarr$
$rarr \{(A_i+A_r+A_t=0),(A_i+A_r+A_t=0),(-k_1A_i+k_1A_r-k_2A_t=0),(k_1A_i-k_1A_r+k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_i+A_r+A_t=0),(k_1A_i-k_1A_r+k_2A_t=0):}$
a causa della prima equazione, manifestamente impossibile.
Caso 4
$\{(A_icos\phi_i+A_rcos\phi_r-A_tcos\phi_t=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_r-A_tsin\phi_t=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_r+k_2A_tsin\phi_t=0),(k_1A_icos\phi_i-k_1A_rcos\phi_r-k_2A_tcos\phi_t=0):} ^^ \{(\phi_r=-\phi_i+\pi),(\phi_t=\phi_i-\pi):} rarr$
$rarr \{(A_icos\phi_i-A_rcos\phi_i+A_tcos\phi_i=0),(A_isin\phi_i-A_rsin\phi_i+A_tsin\phi_i=0),(-k_1A_isin\phi_i-k_1A_rsin\phi_i-k_2A_tsin\phi_i=0),(k_1A_icos\phi_i+k_1A_rcos\phi_i+k_2A_tcos\phi_i=0):} rarr$
$rarr \{(A_i-A_r+A_t=0),(A_i-A_r+A_t=0),(-k_1A_i-k_1A_r-k_2A_t=0),(k_1A_i+k_1A_r+k_2A_t=0):} rarr$
$rarr \{(A_i-A_r+A_t=0),(k_1A_i+k_1A_r+k_2A_t=0):}$
a causa della seconda equazione, manifestamente impossibile.
P.S.
Il caso particolare svolto in quella risorsa, per quanto riguarda le condizioni di continuità, risulta più naturale con i coseni:
Condizione di continuità 1
$y_i(0,t)+y_r(0,t)=y_t(0,t)$
Condizione di continuità 2
$(dely_i)/(delx)(0,t)+(dely_r)/(delx)(0,t)=(dely_t)/(delx)(0,t)$
Ovviamente, i risultati finali non cambiano:
$[y_i=A_icos(k_1x-\omegat)] ^^ [(dely_i)/(delx)=-k_1A_isin(k_1x-\omegat)]$
$[y_r=A_rcos(k_1x+\omegat)] ^^ [(dely_r)/(delx)=-k_1A_rsin(k_1x+\omegat)]$
$[y_t=A_tcos(k_2x-\omegat)] ^^ [(dely_t)/(delx)=-k_2A_tsin(k_2x-\omegat)]$
Condizione di continuità 1
$y_i(0,t)+y_r(0,t)=y_t(0,t) rarr$
$rarr A_icos(-\omegat)+A_rcos(\omegat)=A_tcos(-\omegat) rarr$
$rarr A_icos(\omegat)+A_rcos(\omegat)=A_tcos(\omegat) rarr$
$rarr A_i+A_r=A_t$
Condizione di continuità 2
$(dely_i)/(delx)(0,t)+(dely_r)/(delx)(0,t)=(dely_t)/(delx)(0,t) rarr$
$rarr -k_1A_isin(-\omegat)-k_1A_rsin(\omegat)=-k_2A_tsin(-\omegat) rarr$
$rarr k_1A_isin(\omegat)-k_1A_rsin(\omegat)=k_2A_tsin(\omegat) rarr$
$rarr k_1A_i-k_1A_r=k_2A_t$
Sistema
$\{(A_i+A_r=A_t),(k_1A_i-k_1A_r=k_2A_t):} rarr \{(A_r=(k_1-k_2)/(k_1+k_2)A_i),(A_t=(2k_1)/(k_1+k_2)A_i):}$
Tuttavia:
1. Le ampiezze possono essere anche negative (da evitare, se non si ha sufficiente esperienza).
2. Se si procede con i seni, le condizioni di continuità devono essere scritte diversamente (vedi risorsa).
Mi stavo chiedendo una cosa, noi imponiamo k1k2 nei due casi a seconda per ottenere una ampiezza positiva. Tuttavia k1 e k2 in realtà sono dati a priori, nel senso che dipendono dal "mezzo corda". Mi chiedo quindi ma se le condizioni fossero opposte ossia nei due casi? Può succedere perché alla fine dipende dalle corde ma noi diciamo che vligiamo ampiezze positive.
Temo di non aver compreso il tuo dubbio. Ad ogni modo, si tratta di una discussione, quindi, deve contemplare tutti i casi possibili. Se riesci, prova a spiegarti meglio.
Certo, scusa, provo a chiarire meglio.
Nel nostro studio ponevi la condizione a posteriori (nel senso HP non data dall'inizio che):
Per garantire positività delle ampiezze.
Tuttavia mi accorgo che k1 e k2 sono dati (stiamo parlando di corde ad es.) da $K_1=omegasqrt(mu_1/F)$, con mu_1 densità lineare di massa.
Ebbene, in realtà potrei risolvere quel sistema e venirmi a trovare ad avere (per costruzione delle corde) $k_1condizione che ci serviva di ampiezze positive.
Nel nostro studio ponevi la condizione a posteriori (nel senso HP non data dall'inizio che):
a patto che (per definizione, le ampiezze sono positive):
$k_1 gt k_2$
Per garantire positività delle ampiezze.
Tuttavia mi accorgo che k1 e k2 sono dati (stiamo parlando di corde ad es.) da $K_1=omegasqrt(mu_1/F)$, con mu_1 densità lineare di massa.
Ebbene, in realtà potrei risolvere quel sistema e venirmi a trovare ad avere (per costruzione delle corde) $k_1
Ho l'impressione che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua. Voglio dire, sul fatto che, in un esercizio, $k_1$ e $k_2$ siano noti, non ci piove. Tuttavia, proprio per questo, delle due l'una:
e allora applichi i risultati del caso 1:
(l'onda riflessa non subisce uno sfasamento);
e allora applichi i risultati del caso 3:
(l'onda riflessa subisce uno sfasamento).
Come puoi osservare, l'ampiezza dell'onda riflessa è, in entrambi i casi e in virtù della condizione che li distingue, positiva, come deve essere se si decide di procedere nel modo sopra esposto. Ad ogni modo, ciò che ho scritto mi sembra talmente ovvio che temo di continuare a non comprendere il tuo dubbio.
$k_1 gt k_2$
e allora applichi i risultati del caso 1:
$\{(A_r=(k_1-k_2)/(k_1+k_2)A_i),(A_t=(2k_1)/(k_1+k_2)A_i):}$
(l'onda riflessa non subisce uno sfasamento);
$k_1 lt k_2$
e allora applichi i risultati del caso 3:
$\{(A_r=(-k_1+k_2)/(k_1+k_2)A_i),(A_t=(2k_1)/(k_1+k_2)A_i):}$
(l'onda riflessa subisce uno sfasamento).
Come puoi osservare, l'ampiezza dell'onda riflessa è, in entrambi i casi e in virtù della condizione che li distingue, positiva, come deve essere se si decide di procedere nel modo sopra esposto. Ad ogni modo, ciò che ho scritto mi sembra talmente ovvio che temo di continuare a non comprendere il tuo dubbio.
Sì, credo in effetti di essermi incasinato nel tirare le fila del discorso. Non so perché ma mi ero persuaso che: prendessi le condizioni di raccordo, e in base a quelle definissi gli sfasamenti con le condizioni sui $phi$ sopra viste. Solo dopo andavo a considerare k1< o > di k2 e dicevo lo sfasamento è fissato ma k1 e k2 possono variare.
Ma questo è l'errore, perché l'imposizione di ampiezza positiva mi fa già scegliere a priori quale dei due sviluppi seguire e coerentemente trovo dopo lo sfasamento mantenendo tale ipotesi sulle ampiezze.
Ma questo è l'errore, perché l'imposizione di ampiezza positiva mi fa già scegliere a priori quale dei due sviluppi seguire e coerentemente trovo dopo lo sfasamento mantenendo tale ipotesi sulle ampiezze.
"moenia":
... perché l'imposizione di ampiezza positiva mi fa già scegliere a priori quale dei due sviluppi seguire ...
Direi che hai colto pienamente il punto. Insomma, io stesso non avrei potuto dirlo meglio.
Grazie mille per il tuo enorme aiuto, mi hai aiutato DAVVERO a capire intimamente la questione.
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