Domanda su campo elettrico e magnetico in materiali dielettrici e paramagnetici
Vorrei chiarire un dubbio abbastanza semplice ma che non capisco in modo intuitivo.
Studiando gli argomenti del titolo del post mi sono imbattuto nei campi ausiliari H e D. Alla fin fine questi campi servono per descrivere il campo internamente amateriali dielettrici e paramagnetici (tra gli altri) e in particolare non capisco un concetto chiave:
$\vecD=\vecE+\vecP/epsilon_0$ (a)
$\vecH=\vecB/mu_0-\vecM$ (b)
Partiamo dal caso dielettrico:
Immaginiamo il dielettrico polarizzato uniformemente in un condensatore e semplifico la notazione, dato che si tratta alla fin fine di 3 campi.
$E_0=E+E'$ cui a meno di costanti corrispondono D,E e P.
Il concetto è che il campo $E$ nel dielettrico è dato dal campo $E_0$ esterno sottratto al campo dovuto alle cariche di polarizzazione $E'$.
Potrei altresì vedere la faccenda in modo diverso: Prendiamo il caso in figura (spoiler sotto) in cui ho un dielettrico e a cui estraggo un parallelepipedo di dielettrico stesso.
Indico ora con $\vecE_0$ il campo esterno; ora: il campo elettrico al centro del rettangolino con facce estese non ancora svuotato ($E_i$) è uguale al campo in qualsiasi altro punto del dielettrico. Ed è per principio di sovrapposizione uguale al campo creato dal rettangolino estratto e da solo (in basso nella figura) indicato con $\vecE_r$ sommato alcampo dovuto al resto del dielettrico ($E_0$) nel medesimo punto del rettangolino di facce estese, ma svuotato.
Avremo quindi che: $\vecE_i=\vecE_r+\vecE_0 =>\vecE_0=\vecE_i-\vecE_r$ (1)
Prendiamo quindi il rettangolino estratto (in basso nella figura), ci si accorge che $\vecE_r$ è proporzionale a: $-vecP$ ossia $\vecE_r=-\sigma_p/epsilon_0=-\vecP/epsilon_0=-k\vecP$ dove P è il vettore densità di polarizzazione e $sigma_p$ densità di carica di polarizzazione = $P$.
Perché questo segno meno? Semplicemente si vede che definito P come sappiamo essere diretto dalle cariche - alle cariche +, il campo elettrico è esattamente opposto.
Quindi riprendendo la (1) posso scrivere: $\vecE_0=\vecE_i-\vecE_r=\vecE_i+k\vecP$ come atteso dalla (a): il campo elettrico E0 esterno è maggiore di Ei interno.
Insomma mi sembra tornare tutto abbastanza.
Caso paramagnetico
Il problema ora è che la (b) dice: $\vecH=\vecB/mu_0-\vecM$, ma come è possibile questo? a me sembra un esempio del tutto simmetrico, e preso il rettangolino fuori essendo $\vecM$ diretto da sud a nord, allora nella mia equazione scriverei (per simmetria visibile nelle figure e dei concetti): $\vecB_0=\vecB_i-\vecB_r=\vecB_i+k\vecM$. Questa volta in netto contrasto con quanto trovo formalmente introducendo la (b): essa infatti suggerisce che il campo esterno B0 è minore del campo interno Bi nel caso paramagnetico!
Il concetto è che sia M che P sono equiversi da sud a nord dai meno ai più; B e E hanno stessa funzione, le cariche di polarizzazione si comportano esattamente come sud e nord.... insomma è tutto uguale, ma il risultato diverso. Non mi trovo ad intuito, dove sbaglio?
Vi ringrazio molto!
PS: figure in spoiler per rendere più scorrevole il testo, consiglio di aprirle per capire meglio la situazione.
Studiando gli argomenti del titolo del post mi sono imbattuto nei campi ausiliari H e D. Alla fin fine questi campi servono per descrivere il campo internamente amateriali dielettrici e paramagnetici (tra gli altri) e in particolare non capisco un concetto chiave:
$\vecD=\vecE+\vecP/epsilon_0$ (a)
$\vecH=\vecB/mu_0-\vecM$ (b)
Partiamo dal caso dielettrico:
Immaginiamo il dielettrico polarizzato uniformemente in un condensatore e semplifico la notazione, dato che si tratta alla fin fine di 3 campi.
$E_0=E+E'$ cui a meno di costanti corrispondono D,E e P.
Il concetto è che il campo $E$ nel dielettrico è dato dal campo $E_0$ esterno sottratto al campo dovuto alle cariche di polarizzazione $E'$.
Potrei altresì vedere la faccenda in modo diverso: Prendiamo il caso in figura (spoiler sotto) in cui ho un dielettrico e a cui estraggo un parallelepipedo di dielettrico stesso.
Indico ora con $\vecE_0$ il campo esterno; ora: il campo elettrico al centro del rettangolino con facce estese non ancora svuotato ($E_i$) è uguale al campo in qualsiasi altro punto del dielettrico. Ed è per principio di sovrapposizione uguale al campo creato dal rettangolino estratto e da solo (in basso nella figura) indicato con $\vecE_r$ sommato alcampo dovuto al resto del dielettrico ($E_0$) nel medesimo punto del rettangolino di facce estese, ma svuotato.
Avremo quindi che: $\vecE_i=\vecE_r+\vecE_0 =>\vecE_0=\vecE_i-\vecE_r$ (1)
Prendiamo quindi il rettangolino estratto (in basso nella figura), ci si accorge che $\vecE_r$ è proporzionale a: $-vecP$ ossia $\vecE_r=-\sigma_p/epsilon_0=-\vecP/epsilon_0=-k\vecP$ dove P è il vettore densità di polarizzazione e $sigma_p$ densità di carica di polarizzazione = $P$.
Perché questo segno meno? Semplicemente si vede che definito P come sappiamo essere diretto dalle cariche - alle cariche +, il campo elettrico è esattamente opposto.
Quindi riprendendo la (1) posso scrivere: $\vecE_0=\vecE_i-\vecE_r=\vecE_i+k\vecP$ come atteso dalla (a): il campo elettrico E0 esterno è maggiore di Ei interno.
Insomma mi sembra tornare tutto abbastanza.
Caso paramagnetico
Il problema ora è che la (b) dice: $\vecH=\vecB/mu_0-\vecM$, ma come è possibile questo? a me sembra un esempio del tutto simmetrico, e preso il rettangolino fuori essendo $\vecM$ diretto da sud a nord, allora nella mia equazione scriverei (per simmetria visibile nelle figure e dei concetti): $\vecB_0=\vecB_i-\vecB_r=\vecB_i+k\vecM$. Questa volta in netto contrasto con quanto trovo formalmente introducendo la (b): essa infatti suggerisce che il campo esterno B0 è minore del campo interno Bi nel caso paramagnetico!
Il concetto è che sia M che P sono equiversi da sud a nord dai meno ai più; B e E hanno stessa funzione, le cariche di polarizzazione si comportano esattamente come sud e nord.... insomma è tutto uguale, ma il risultato diverso. Non mi trovo ad intuito, dove sbaglio?
Vi ringrazio molto!
PS: figure in spoiler per rendere più scorrevole il testo, consiglio di aprirle per capire meglio la situazione.
Risposte
Bella domanda. La risposta, che temo non ti soddisferà, è sostanzialmente che:
il campo elettrico e il campo magnetico, nonostante alcune analogie, non sono proprio la stessa cosa, mutatis mutandis. Intuitivamente, lo puoi vedere pensando ad un dipolo elettrico e un dipolo magnetico (un circuito percorso da corrente, o un elettrone in orbita): messi in un campo, rispettivamente elettrico e magnetico, il dipolo elettrico si dispone in modo da produrre un campo opposto a quello esterno, invece quello magnetico al contrario: il circuito percorso da corrente si dispone come quello che produce il campo, e lo aumenta.
Si potrà certamente vedere la cosa sotto l'aspetto matematico (magari conta il fatto che non ci siano monopoli magnetici, ossia che $vecB$ sia solenoidale) ma qui non mi sento di dirti niente.
il campo elettrico e il campo magnetico, nonostante alcune analogie, non sono proprio la stessa cosa, mutatis mutandis. Intuitivamente, lo puoi vedere pensando ad un dipolo elettrico e un dipolo magnetico (un circuito percorso da corrente, o un elettrone in orbita): messi in un campo, rispettivamente elettrico e magnetico, il dipolo elettrico si dispone in modo da produrre un campo opposto a quello esterno, invece quello magnetico al contrario: il circuito percorso da corrente si dispone come quello che produce il campo, e lo aumenta.
Si potrà certamente vedere la cosa sotto l'aspetto matematico (magari conta il fatto che non ci siano monopoli magnetici, ossia che $vecB$ sia solenoidale) ma qui non mi sento di dirti niente.
In primis grazie per il tuo intervento, è sempre un paicere leggere i tuoi spunti ricchi di intuito e molto validi. Invidio la tua capacità critica .
In effetti quello che dici torna bene.
Però quello che nel mio discorso precedente mi stona è che il paramagnetico dovrebbe comportarsi proprio come un dielettrico: da una parte nasce un M dall'altra P, ma sono equiversi M e P rispetto alle condizioni "al contorno" S N e - +; l tutto mi tornerebbe abbastanza se fosse nato un vettore M "opposto" a P nei confrotni della "carica magnetica" M e N, così che il segno meno in (b) tornava. Ma così mi sorprende davvero. l'unica cosa che fa tornare lecose è che $B_r$ devo supporlo opposto a $ E_r$ in segno, ma perché sia opposto è tutt'altro che chiaro.
Potresti avere ragione sui monopoli, potrebbe essere lì la risposta.... però ammetto di non vederla ancora.
Ci rifletto un po' sopra.
PS: ho usato con un po' di licenza il termine "opposto", perché ovviamente è da intendersi opposto non come vettore ma come segno rispetto alle condizioni +-, NS come dicevo.
.In effetti quello che dici torna bene.
Però quello che nel mio discorso precedente mi stona è che il paramagnetico dovrebbe comportarsi proprio come un dielettrico: da una parte nasce un M dall'altra P, ma sono equiversi M e P rispetto alle condizioni "al contorno" S N e - +; l tutto mi tornerebbe abbastanza se fosse nato un vettore M "opposto" a P nei confrotni della "carica magnetica" M e N, così che il segno meno in (b) tornava. Ma così mi sorprende davvero. l'unica cosa che fa tornare lecose è che $B_r$ devo supporlo opposto a $ E_r$ in segno, ma perché sia opposto è tutt'altro che chiaro.
Potresti avere ragione sui monopoli, potrebbe essere lì la risposta.... però ammetto di non vederla ancora.
Ci rifletto un po' sopra.
PS: ho usato con un po' di licenza il termine "opposto", perché ovviamente è da intendersi opposto non come vettore ma come segno rispetto alle condizioni +-, NS come dicevo.
Nel mentre aspetto una risposta per il precedente, sperando di non aver detto idiozie vorrei porre un'altradomanda poiché...
Manco farlo apposta ho trovato questo esercizio che si addice proprio al problema che mi ero posto.
Calcolare il campo magnetico B all'interno di un cilindro uniformemente
magnetizzato e utilizzare il risultato per determinare il campo magnetico
all'interno di una cavita cilindrica lunga e sottile parallela alla linee di B
praticata in un mezzo indefinito uniformemente magnetizzato.
già l'inizio dellasoluzione mi crea un problemone:
Non capisco come trovi quel dB
. Chiedo un aiuto e ringrazio molto.
Manco farlo apposta ho trovato questo esercizio che si addice proprio al problema che mi ero posto.
Calcolare il campo magnetico B all'interno di un cilindro uniformemente
magnetizzato e utilizzare il risultato per determinare il campo magnetico
all'interno di una cavita cilindrica lunga e sottile parallela alla linee di B
praticata in un mezzo indefinito uniformemente magnetizzato.
già l'inizio dellasoluzione mi crea un problemone:
Non capisco come trovi quel dB
. Chiedo un aiuto e ringrazio molto.
"massimino's":
... Non capisco come trovi quel dB
Vista la magnetizzazione assiale e uniforme [nota]Vedi per es. questo recente thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=211263[/nota], si dovrà considerare solo la densità di corrente superficiale corrispondente [nota]Essendo nulla la densità di corrente volumetrica.[/nota].
$\vec J_s=\vec M \times \hat n$
che quindi in modulo sarà pari ad M. Il contributo di un elemento cilindrico superficiale di spessore dx, sarà di conseguenza assimilabile a quello di una spira percorsa da una corrente $di=Mdx$ e il suo campo assiale $dB$ sarà determinabile dalla classica relazione associata.
Grazie per la tua risposta!
Correggo risposta precedente perché ho considerato un solenoide indefinito e mi portava ad errore. Ho un dubbio però, perché non capisco $R^2/(2r^3)$ nel dB come esca. Mi sono incastrato
.
Correggo risposta precedente perché ho considerato un solenoide indefinito e mi portava ad errore. Ho un dubbio però, perché non capisco $R^2/(2r^3)$ nel dB come esca. Mi sono incastrato
.
Qual'è la relazione notevole che permette di determinare il campo magnetico su un punto dell'asse di una spira 
Ho pensato a Ampere Laplace:
$dB=(mu_0Idveclxxvecu_r)/(4pir^2)$
Inoltre
$vecdlxxvecu_r=dl$
per simmetria il prodotto vettoriale integrato in tutta $l$ della spira darebbe un vettore con verso che ruota a cono attorno a $x_0$. Quindi elidendosi la componente verticale rimane quella assiale, per questo devo prenderne la scomposizione e quindi aggiungere un $sinphi$:
$dB=(mu_0Idlsinphi)/(4pir^2) => B=(mu_0I2piRsinphi)/(4pir^2)=(mu_0IR)/(2r^2)(R/r)$
Ora, il mio agognato anello è un dB dato che èrelativo a un d(superficie)
$dB=(mu_0MdxR^2)/(2r^3)$
Meglio tardi che mai
,pessima idea scrivere al PC e non sulla carta 
.
Direi grazie!
$dB=(mu_0Idveclxxvecu_r)/(4pir^2)$
Inoltre
$vecdlxxvecu_r=dl$
per simmetria il prodotto vettoriale integrato in tutta $l$ della spira darebbe un vettore con verso che ruota a cono attorno a $x_0$. Quindi elidendosi la componente verticale rimane quella assiale, per questo devo prenderne la scomposizione e quindi aggiungere un $sinphi$:
$dB=(mu_0Idlsinphi)/(4pir^2) => B=(mu_0I2piRsinphi)/(4pir^2)=(mu_0IR)/(2r^2)(R/r)$
Ora, il mio agognato anello è un dB dato che èrelativo a un d(superficie)
$dB=(mu_0MdxR^2)/(2r^3)$
Meglio tardi che mai
,pessima idea scrivere al PC e non sulla carta .Direi grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo