Domanda forze conservative
Ciao 
Pongo una domanda su un dubbio che mi sono creato a cui non riesco a rispondere formalmente.
So che una forza conservativa ha circuitazione nulla $int_gammavecF*dvecs=0$ lungo una certa gamma. Mi chiedo però se questo valga anche componente per componente della forza, prendiamo cioè una forza conservativa e scomponiamola su x,y e z. La forza Fz (così come Fy e Fx) lungo un qualsiasi circuito (curva chiusa gamma di prima) hanno circuitazione nulla anche i vettori componente percomponente separatamente sulla stessa curva? Cioè $int_gammavecF_z*dvecs=0$, $int_gammavecF_x*dvecs=0$ e $int_gammavecF_y*dvecs=0$
(Ovviamente è invece nulla: $int_gammavecF_z*dvecx+int_gammavecF_x*dvecx+int_gammavecF_y*dvecy=0$, questo sì.)
Pongo una domanda su un dubbio che mi sono creato a cui non riesco a rispondere formalmente.
So che una forza conservativa ha circuitazione nulla $int_gammavecF*dvecs=0$ lungo una certa gamma. Mi chiedo però se questo valga anche componente per componente della forza, prendiamo cioè una forza conservativa e scomponiamola su x,y e z. La forza Fz (così come Fy e Fx) lungo un qualsiasi circuito (curva chiusa gamma di prima) hanno circuitazione nulla anche i vettori componente percomponente separatamente sulla stessa curva? Cioè $int_gammavecF_z*dvecs=0$, $int_gammavecF_x*dvecs=0$ e $int_gammavecF_y*dvecs=0$
(Ovviamente è invece nulla: $int_gammavecF_z*dvecx+int_gammavecF_x*dvecx+int_gammavecF_y*dvecy=0$, questo sì.)
Risposte
Che cosa è, in definitiva, la circuitazione $ int_\gamma vecF*dvecs $ ? È il lavoro lungo la curva chiusa $gamma$. E quando la forza è conservativa (ma meglio sarebbe parlare di “campo di forze conservative”) il lavoro lungo una curva chiusa qualsiasi nel campo è nullo. Se uno dei termini che hai scritto fosse diverso da zero, sarebbe diversa da zero anche la loro somma. Per esempio, considera la forza elastica esercitata da una molla, che è diretta come la bisettrice del 1º quadrante di un riferimento nel piano $(Oxy)$ . LA allunghi nella sua direzione, a partire dalla condizione di tensione nulla (lunghezza di riposo), applicando una forza, poi la riporti a tale lunghezza scaricandola. LA curva chiusa ora è semplice, è un segmento sul piano, percorso prima in un senso e poi nell'altro. LA forza elastica compie un lavoro totale nullo, giusto ? ( trascurando le perdite per attrito interno). E analogamente compiono lavoro nullo le componenti su $x$ e su $y$ di tale forza, perchè gli allungamenti sono ritornati a zero, sia quello totale che ovviamente i due allungamenti sui due assi.
Puoi estendere l’esempio anche al caso in cui la molla sia diretta secondo la retta $x=y=z$ di un riferimento spaziale $ Oxyz$ .
Quindi la risposta è affermativa, non conosco controesempi. Dai un’occhiata anche qui , se ti interessa il legame esistente tra lavoro di una forza conservativa e variazione dell’energia potenziale , di cui la forza è il negativo del gradiente.
Puoi estendere l’esempio anche al caso in cui la molla sia diretta secondo la retta $x=y=z$ di un riferimento spaziale $ Oxyz$ .
Quindi la risposta è affermativa, non conosco controesempi. Dai un’occhiata anche qui , se ti interessa il legame esistente tra lavoro di una forza conservativa e variazione dell’energia potenziale , di cui la forza è il negativo del gradiente.
Quello che hai scritto è molto chiaro e mi sembra di esserci abbastanza sul concetto che hai riassunto in maniera straoridnaria, ci ho messo 2 giorniper capirlo da solo 
.
Però c'è un però, in realtà la tua risposta conferma che
$int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy=0$
cioè che le componenti Fz e Fy compiono lavoro nullo sulle proiezioni del circuito gamma (la bisettrice iniziale proiettata sugli assi) su x e y, se così non fosse la somma sarebbe maggiore di zeroe quindi non conservativa.
In poche parole calcolare l'integrale di linea sul percorso è identico a calcolarlo per componenti: $int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy=\int_gamma\vecF*d\vecs$
-----
Però mi chiedo invece, ed è un po' diverso, senza proiettare il gamma e mantenendo cioè curva iniziale (la bisettrice nel nostro esempio) le componenti compiono lungo la bisettrice stessa (non più la scomposizione di essa ma su di essa) lavoro nullo separatamente?
$int_gamma\vecF_x*d\vecs=0$; $int_gamma\vecF_y*d\vecs=0$
Cioè prendo le componenti della forza e calcolo l'integrale di linea di esse su gamma.
Ovviamente nel caso specifico dell'esempio sì, è effettivamente nulla. Ma è un caso o qualcosa di generale?
OSS: in effetti in questo caso non è detto debba essere nullo, perché non è più vero che lasomma è l'integrale di linea:
$int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs=\int_gamma\vecF*d\vecs$ FALSO
Quindi a priori non devono essere nulli i due integrali. Sei d'accordo su questo?
Spero di esser stato più preciso e grazie per l'aiuto!!
.Però c'è un però, in realtà la tua risposta conferma che
$int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy=0$
cioè che le componenti Fz e Fy compiono lavoro nullo sulle proiezioni del circuito gamma (la bisettrice iniziale proiettata sugli assi) su x e y, se così non fosse la somma sarebbe maggiore di zeroe quindi non conservativa.
In poche parole calcolare l'integrale di linea sul percorso è identico a calcolarlo per componenti: $int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy=\int_gamma\vecF*d\vecs$
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Però mi chiedo invece, ed è un po' diverso, senza proiettare il gamma e mantenendo cioè curva iniziale (la bisettrice nel nostro esempio) le componenti compiono lungo la bisettrice stessa (non più la scomposizione di essa ma su di essa) lavoro nullo separatamente?
$int_gamma\vecF_x*d\vecs=0$; $int_gamma\vecF_y*d\vecs=0$
Cioè prendo le componenti della forza e calcolo l'integrale di linea di esse su gamma.
Ovviamente nel caso specifico dell'esempio sì, è effettivamente nulla. Ma è un caso o qualcosa di generale?
OSS: in effetti in questo caso non è detto debba essere nullo, perché non è più vero che lasomma è l'integrale di linea:
$int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs=\int_gamma\vecF*d\vecs$ FALSO
Quindi a priori non devono essere nulli i due integrali. Sei d'accordo su questo?
Spero di esser stato più preciso
e grazie per l'aiuto!!
"mat.pasc":
OSS: in effetti in questo caso non è detto debba essere nullo, perché non è più vero che lasomma è l'integrale di linea:
$int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs=\int_gamma\vecF*d\vecs$ FALSO
Quindi a priori non devono essere nulli i due integrali. Sei d'accordo su questo?
Spero di esser stato più preciso
Non sono d’accordo, e la ragione è semplice. Tu dici che quell’uguaglianza è FALSA . Ma scusa, non è forse vero che $vecF$ è il risultante vettoriale di $vecF_x $ e $vecF_y$ ? Allora, fermo restando che la curva $gamma$ nessuno la tocca e non viene proiettata da nessuna parte, posso scrivere :
$\int_gamma\vecF*d\vecs =int_gamma( vecF_x + vecF_y)*d\vecs = int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs$
e cioè sto ragionando sulla forza che si scompone; il calcolo integrale mi consente di scrivere l’integrale della somma $vecF$ come somma degli integrali e procedere come detto. Poi chiaramente di mezzo c’è il $cos45º = (sqrt2)/2$ per calcolare il lavoro sia di $vecF_x$ che di $vecF_y$; sommo i due lavori ed ho il lavoro del risultante.
Questo è solo un esempio, lo so. Ma prendi un campo conservativo piano (per semplicità) , disegna una curva chiusa $gamma$ sul piano, scegli un punto A della curva, metti in A la forza del campo , e fanne la circuitazione: ottieni zero naturalmente. Se ora sul piano disegni un qualsiasi riferimento cartesiano Oxy , con origine O qualsiasi e assi comunque diretti, scomponi la $vecF$ secondo i due assi e calcoli separatamente le circuitazioni dei due componenti, io credo che queste circuitazioni debbano essere ciascuna sempre nulle, proprio a causa della arbitrarietà del riferimento Oxy.
Ma posso sbagliare, come tutti...ora per esempio sto pensando a un percorso quadrato nel campo gravitazionale $vecg$ supposto costante: il quadrato ha due lati orizzontali e due verticali; se gli assi x ed y sono risp. orizzontale e verticale, non c’è dubbio che la conclusione prima detta sia vera; ma se tengo fermo il quadrato e ruoto gli assi di un angolo $alpha$ qualsiasi, e scompongo $vecg$ rispetto ai nuovi assi, che succede ai due integrali separati? Devo pensare meglio e fare qualche calcolo.
Ho letto tutto e ti ringrazio ancora. Sono contento di poterne parlare con qualcuno che mi fa capire 
Mi soffermo in particolare su questo
e si ho detto una cacchiata immensa ed è proprio giusto quello che scriti tu, ovviamente.
Però non capisco una cosa che ho in mente e se sto ancora sbaglaido o meno, e vorrei farti un'ultima domanda (poi non ti disturbo più promesso
):
siccome:
$\int_gamma\vecF*d\vecs=int_gamma( vecF_x + vecF_y)*d\vecs = int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs=int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy$ VERO
Però non è in generale vera l'uguaglianza termine a termine ossia che:
$int_gamma\vecF_x*d\vecs=int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx$
$int_gamma\vecF_y*d\vecs=int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy$
FALSE
Giusto? Spero
Tu che dici?
PS: scusami ma non sono ancora molto capace a usare questi strumenti e mi sorgono domande anche stupide come questo thread
Mi soffermo in particolare su questo
"Shackle":
$\int_gamma\vecF*d\vecs =int_gamma( vecF_x + vecF_y)*d\vecs = int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs$
e si ho detto una cacchiata immensa ed è proprio giusto quello che scriti tu, ovviamente.
Però non capisco una cosa che ho in mente e se sto ancora sbaglaido o meno, e vorrei farti un'ultima domanda (poi non ti disturbo più promesso
):siccome:
$\int_gamma\vecF*d\vecs=int_gamma( vecF_x + vecF_y)*d\vecs = int_gamma\vecF_x*d\vecs+int_gamma\vecF_y*d\vecs=int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx+int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy$ VERO
Però non è in generale vera l'uguaglianza termine a termine ossia che:
$int_gamma\vecF_x*d\vecs=int_(gamma_x)\vecF_x*d\vecx$
$int_gamma\vecF_y*d\vecs=int_(gamma_y)\vecF_y*d\vecy$
FALSE
Giusto? Spero
Tu che dici?PS: scusami ma non sono ancora molto capace a usare questi strumenti e mi sorgono domande anche stupide come questo thread
Non devi preoccuparti di dire cacchiate (ammesso che lo siano), non devi chiedere scusa di niente, e non pensare che mi disturbi. Sapessi quante ne ho dette io, e sapessi quanta gente mi ha veramente disturbato in passato! Ma qui si cerca di capire le cose, e dobbiamo capire sia tu che io, perché nessuno ha la scienza infusa.
Per tornare al discorso, quello che ho detto nel precedente messaggio è rappresentato in questo schizzo :
abbiamo un campo di forze piano, conservativo, funzione della posizione : $vecF(x,y) $. Ho rappresentato la forza in A. Per definizione di campo conservativo, data una curva chiusa $gamma$ per A, e calcolato il lavoro della forza lungo $gamma$ , ad es. in verso antiorario passando per $P_1$ e $P_2$, tale lavoro è nullo. Ma la curva è riferita ora ad un sistema di coordinate $(Oxy)$ , quindi, scomponendo $vecF$ in $vecF_x$ e $vecF_y$ , la somma dei lavori eseguiti dalle due componenti è nulla.
Il punto è : sono separatamente nulli i lavori di ciascuna componente? Secondo me Si. Non ho la certezza assoluta, però questa idea mi viene suggerita dal fatto che posso prendere nel piano un altro riferimento qualsiasi $O’XY$ , che ho accennato nel disegno , rispetto al quale vale la stessa cosa , pur con una scomposizione ovviamente diversa di $vecF$ . Una cosa da notare esplicitamente è che non stiamo supponendo che la forza sia costante in direzione, verso e modulo: questo è solo un caso speciale, quello di $vecg$ che in una piccola regione di spazio si può considerare costante (in meccanica non relativistica non si considera la variabilità col tempo).
Riguardo al resto della tua domanda, che vuol dire proiettare la curva sull’asse $x$ ? Il punto A va a finire in $A_x$, i punti $P_1$ e $P_2$ vanno a finire in $P_(1x)$ e $P_(2x)$ , tutta la curva si proietta nel segmento compreso tra essi. A questo punto, io credo proprio che le ultime uguaglianze che hai scritto siano vere, NON false ! Infatti la forza $vecF$ si proietta in $vecF_x$ , che forma un angolo di $0º$ o di $180º$ con $dvecx$ , il cui coseno è 1 oppure -1. Tieni comunque sempre presente che il modulo di $vecF_x$ è funzione di entrambe le coordinate, non solo di $x$, cosí come lo è il modulo ( e anche la direzione!) della forza $vecF$.
Per finire, vorrei evidenziare tuttavia che tutto questo, e cioè la dipendenza dalle coordinate, non ha molta importanza. Perchè ? Perchè posso cambiare le coordinate come mi pare e piace, posso anche passare da coordinate cartesiane a polari (questo è utilissimo per es. nel caso delle forze centrali), o altre coordinate che più mi piacciono, ma a costo di maggiori complicazioni analitiche! Immagina per esempio che casino sarebbe parlare d questo in coordinate oblique, o iperboliche!!!
LE cose importanti sono altre, e cioè il concetto di lavoro, di forze conservative, di energia potenziale. Questi non cambiano col cambiare delle coordinate, per fortuna, e sono ciò che serve. Leggiti questa dispensa, che fa parte di un corso on line del compianto prof. Tullio Papa :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap08.pdf
Per tornare al discorso, quello che ho detto nel precedente messaggio è rappresentato in questo schizzo :
abbiamo un campo di forze piano, conservativo, funzione della posizione : $vecF(x,y) $. Ho rappresentato la forza in A. Per definizione di campo conservativo, data una curva chiusa $gamma$ per A, e calcolato il lavoro della forza lungo $gamma$ , ad es. in verso antiorario passando per $P_1$ e $P_2$, tale lavoro è nullo. Ma la curva è riferita ora ad un sistema di coordinate $(Oxy)$ , quindi, scomponendo $vecF$ in $vecF_x$ e $vecF_y$ , la somma dei lavori eseguiti dalle due componenti è nulla.
Il punto è : sono separatamente nulli i lavori di ciascuna componente? Secondo me Si. Non ho la certezza assoluta, però questa idea mi viene suggerita dal fatto che posso prendere nel piano un altro riferimento qualsiasi $O’XY$ , che ho accennato nel disegno , rispetto al quale vale la stessa cosa , pur con una scomposizione ovviamente diversa di $vecF$ . Una cosa da notare esplicitamente è che non stiamo supponendo che la forza sia costante in direzione, verso e modulo: questo è solo un caso speciale, quello di $vecg$ che in una piccola regione di spazio si può considerare costante (in meccanica non relativistica non si considera la variabilità col tempo).
Riguardo al resto della tua domanda, che vuol dire proiettare la curva sull’asse $x$ ? Il punto A va a finire in $A_x$, i punti $P_1$ e $P_2$ vanno a finire in $P_(1x)$ e $P_(2x)$ , tutta la curva si proietta nel segmento compreso tra essi. A questo punto, io credo proprio che le ultime uguaglianze che hai scritto siano vere, NON false ! Infatti la forza $vecF$ si proietta in $vecF_x$ , che forma un angolo di $0º$ o di $180º$ con $dvecx$ , il cui coseno è 1 oppure -1. Tieni comunque sempre presente che il modulo di $vecF_x$ è funzione di entrambe le coordinate, non solo di $x$, cosí come lo è il modulo ( e anche la direzione!) della forza $vecF$.
Per finire, vorrei evidenziare tuttavia che tutto questo, e cioè la dipendenza dalle coordinate, non ha molta importanza. Perchè ? Perchè posso cambiare le coordinate come mi pare e piace, posso anche passare da coordinate cartesiane a polari (questo è utilissimo per es. nel caso delle forze centrali), o altre coordinate che più mi piacciono, ma a costo di maggiori complicazioni analitiche! Immagina per esempio che casino sarebbe parlare d questo in coordinate oblique, o iperboliche!!!
LE cose importanti sono altre, e cioè il concetto di lavoro, di forze conservative, di energia potenziale. Questi non cambiano col cambiare delle coordinate, per fortuna, e sono ciò che serve. Leggiti questa dispensa, che fa parte di un corso on line del compianto prof. Tullio Papa :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap08.pdf
"Shackle":
Non devi preoccuparti di dire cacchiate (ammesso che lo siano), non devi chiedere scusa di niente, e non pensare che mi disturbi. Sapessi quante ne ho dette io, e sapessi quanta gente mi ha veramente disturbato in passato! Ma qui si cerca di capire le cose, e dobbiamo capire sia tu che io, perché nessuno ha la scienza infusa.
Innanzitutto grazie, e apprezzo molto il tuo modo di vedere le cose
.Ho letto tutto attentamente e ora mi metto a leggere anche il link. Nel frattempomi hai convinto riguardo le uguaglianze che nel precedente messaggio ritenevo false. In realtà sono vere proprio in forza al prodotto scalare. Quelle a sx dell'uguaglianza devono ancora esser "proiettate".A destra sono già proiettate e il coseno del prodotto scalare sarebbe =1.
Quindi sì, sono proprio la stessa cosa.
Mi sembra giusto ora e il ragionamento mi fila
.PS: Guardo il tuo link
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