Domanda di teoria sulla velocità
Buonasera,
quando si calcola la velocità del moto nel piano si fa $(dr)/(dt)$=$((dxo)/(dt))Ux+((dyo)/(dt))Uy$ e sommando i due vettori (uno parallelo all'asse x l'altro all'asse y) applicati in P=(xo,yo) ottengo il vettore velocità $v$ nel punto $P$.
Questo vettore avrà modulo=$sqrt(((dxo)/(dt))^2)+((dyo)/(dt))^2)$ ovvero la velocità scalare ma chi mi garantisce che questo vettore $v$ posizionato in $P$ sia proprio tangente alla traiettoria?e magari non intersechi la traiettoria in un altro punto diverso da quello di applicazione
quando si calcola la velocità del moto nel piano si fa $(dr)/(dt)$=$((dxo)/(dt))Ux+((dyo)/(dt))Uy$ e sommando i due vettori (uno parallelo all'asse x l'altro all'asse y) applicati in P=(xo,yo) ottengo il vettore velocità $v$ nel punto $P$.
Questo vettore avrà modulo=$sqrt(((dxo)/(dt))^2)+((dyo)/(dt))^2)$ ovvero la velocità scalare ma chi mi garantisce che questo vettore $v$ posizionato in $P$ sia proprio tangente alla traiettoria?e magari non intersechi la traiettoria in un altro punto diverso da quello di applicazione
Risposte
Consideriamo l'equazione parametrica della traiettoria, dove cioè le coordinate di ogni punto siano funzioni del parametro t:
[tex]x = x\left( t \right)[/tex]
[tex]y = y\left( t \right)[/tex]
Un punto della traiettoria è quindi individuato da queste componenti. Prendiamo un punto P:
[tex]P \equiv \left[ {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right][/tex]
Prendiamo adesso un punto P' sempre sulla traiettoria e vicinissimo a P, ottenuto cioè dando un incremento infinitesimo al parametro t:
[tex]P' \equiv \left[ {x\left( {t + dt} \right),y\left( {t + dt} \right)} \right][/tex]
Consideriamo il vettore infinitesimo che parte da P e arriva a P'. Questo vettore per come è costruito è senz'altro tangente alla traiettoria. Le sue componenti sono:
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {x\left( {t + dt} \right) - x\left( t \right),y\left( {t + dt} \right) - y\left( t \right)} \right] \equiv \left[ {dx,dy} \right][/tex]
Ricordando che i differenziali di x e y si possono ottenere dall'equazione parametrica si ha anche
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex]
Come si vede le componenti del vettore infinitesimo parallelo alla traiettoria si possono ottenere proprio come derivate delle coordinate rispetto al parametro t moltiplicate per il comune fattore di scala dt. Se t è il tempo queste sono proprio le componenti della velocità, che risulta dunque parallela al vettore infinitesimo e quindi tangente alla traiettoria.
Naturalmente la tangenza vale solo per il punto scelto, perché questa velocità potrebbe benissimo "intersecare " la traiettoria in un altro punto, cioè non essere parallela alla traiettoria in un punto diverso da P
[tex]x = x\left( t \right)[/tex]
[tex]y = y\left( t \right)[/tex]
Un punto della traiettoria è quindi individuato da queste componenti. Prendiamo un punto P:
[tex]P \equiv \left[ {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right][/tex]
Prendiamo adesso un punto P' sempre sulla traiettoria e vicinissimo a P, ottenuto cioè dando un incremento infinitesimo al parametro t:
[tex]P' \equiv \left[ {x\left( {t + dt} \right),y\left( {t + dt} \right)} \right][/tex]
Consideriamo il vettore infinitesimo che parte da P e arriva a P'. Questo vettore per come è costruito è senz'altro tangente alla traiettoria. Le sue componenti sono:
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {x\left( {t + dt} \right) - x\left( t \right),y\left( {t + dt} \right) - y\left( t \right)} \right] \equiv \left[ {dx,dy} \right][/tex]
Ricordando che i differenziali di x e y si possono ottenere dall'equazione parametrica si ha anche
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex]
Come si vede le componenti del vettore infinitesimo parallelo alla traiettoria si possono ottenere proprio come derivate delle coordinate rispetto al parametro t moltiplicate per il comune fattore di scala dt. Se t è il tempo queste sono proprio le componenti della velocità, che risulta dunque parallela al vettore infinitesimo e quindi tangente alla traiettoria.
Naturalmente la tangenza vale solo per il punto scelto, perché questa velocità potrebbe benissimo "intersecare " la traiettoria in un altro punto, cioè non essere parallela alla traiettoria in un punto diverso da P
ciao, grazie per l'interesse ma non ho ancora risolto comppletamente il mio problema,
vorrei se l'ultima formula che hai scritto equivale alla prima che ho scritto io cioè se quel "fattore di scala"(non so cosa sia) equivale al mio $Ux$,$Uy$?
vorrei se l'ultima formula che hai scritto equivale alla prima che ho scritto io cioè se quel "fattore di scala"(non so cosa sia) equivale al mio $Ux$,$Uy$?
Riprendo l'ultima relazione:
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex]
Col termine fattore di scala intendo una quantità scalare che moltiplica un vettore trasformandolo in un vettore diverso come modulo ma parallelo al precedente. Infatti il vettore [tex]\left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex] è parallelo al vettore [tex]\left[ {\frac{{dx}}{{dt}},\frac{{dy}}{{dt}}} \right][/tex], e quest'ultimo è proprio la velocita. La differenza tra i due vettori è che l'ultimo ha dimensione finita mentre il primo è uguale al secondo moltiplicato per dt e ha dunque lunghezza infinitesima.
[tex]\overline {PP'} \equiv \left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex]
Col termine fattore di scala intendo una quantità scalare che moltiplica un vettore trasformandolo in un vettore diverso come modulo ma parallelo al precedente. Infatti il vettore [tex]\left[ {\frac{{dx}}{{dt}}dt,\frac{{dy}}{{dt}}dt} \right][/tex] è parallelo al vettore [tex]\left[ {\frac{{dx}}{{dt}},\frac{{dy}}{{dt}}} \right][/tex], e quest'ultimo è proprio la velocita. La differenza tra i due vettori è che l'ultimo ha dimensione finita mentre il primo è uguale al secondo moltiplicato per dt e ha dunque lunghezza infinitesima.
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