Domanda di Meccanica razionale
Salve, mi chiedevo se per caso nessuno di voi si era mai domandato il motivo per cui la derivata del vettore $C_vP=-OC_v+OP$, dove $C_v$ è il centro delle velocità di un certo corpo rigido, $P$ un punto qualsiasi del piano mobile ed $O$ un punto fisso è diversa da $\vec{v_P}-\vec{v}_{C_v}=\vec{v_P}$, ossia la differenza delle velocità assolute dei due punti ?
Risposte
Nessuno ha qualche idea da commentare? 
La sparo: se la prima è una derivata, allora
non è necessario derivare anche $vecV_P$?
non è necessario derivare anche $vecV_P$?
Quello che volevo far notare è che in generale se ho un vettore $AP$ con $A, P$ punti qualsiasi:
$d/{dt}(AP)=\vec{v}_P-\vec{v}_A$
Ecco questo non è vero nel caso che $A=C_v$
$d/{dt}(AP)=\vec{v}_P-\vec{v}_A$
Ecco questo non è vero nel caso che $A=C_v$
La velocità del vettore $C_VP$ la esprimi nello stesso sistema di riferimento di $OC_V$ e $OP$, o magari è un sistema di riferimento ruotato? Perchè in tal caso devi considerare anche la derivata dei versori che definiscono il sistema di riferimento
Facciamo un esempio:
Prendiamo una palla di raggio R che rotola senza strisciare su un piano orizzontale.
Conosciamo a priori la velocità del centro se è nota la velocità angolare $\omega$, infatti: $\vec{v}_O=\vec{\omega}\wedgeC_vO=-\omegaR\vec{i}$.
Possiamo definire anche il vettore $C_vO=R\vec{j}$, quindi definito rispetto ad un sistema di assi fissi.
Passiamo a derivare:
$d/{dt}(C_vO)=0\ne-\omegaR\vec{i}$
Io ho un sospetto su dove sia il problema, ma aspetto a dirlo per cercare di non influenzare la discussione così prematuramente...
Prendiamo una palla di raggio R che rotola senza strisciare su un piano orizzontale.
Conosciamo a priori la velocità del centro se è nota la velocità angolare $\omega$, infatti: $\vec{v}_O=\vec{\omega}\wedgeC_vO=-\omegaR\vec{i}$.
Possiamo definire anche il vettore $C_vO=R\vec{j}$, quindi definito rispetto ad un sistema di assi fissi.
Passiamo a derivare:
$d/{dt}(C_vO)=0\ne-\omegaR\vec{i}$
Io ho un sospetto su dove sia il problema, ma aspetto a dirlo per cercare di non influenzare la discussione così prematuramente...
Quella che hai fatto non è la derivata assoluta , ovvero rispetto al sistema di riferimento fisso, ma la derivata rispetto ad un sistema di riferimento che non ruota rispetto a terra ma ha una velocità pari a quella del punto di contatto (come punto geometrico non come punto materiale appartenente al disco).
Credo che tu confonda il centro delle velocità con il centro di istantanea rotazione, infatti i due punti sono istante per istante sovrapposti, ma il primo ha velocità sempre nulla, mentre l'altro no...
Ti dico così perchè nel cso considerassi il vettore $CO$ con al posto del Cv il centro di istantanea rotazione, tutto tornerebbe, infatti
$d/(dt)(CO)=0=\vec{v}_C-\vec{v_O}=(-\omegaR\vec{i})-(-\omegaR\vec{i})=0$
Ora però è qui che si crea scompiglio, dato che $CO\eqC_vO$, ma $v_{C_v}\nev_{C}$.
$d/(dt)(CO)=0=\vec{v}_C-\vec{v_O}=(-\omegaR\vec{i})-(-\omegaR\vec{i})=0$
Ora però è qui che si crea scompiglio, dato che $CO\eqC_vO$, ma $v_{C_v}\nev_{C}$.
Ho visto che hai usato la formula fondamentale dei moti rigidi (che puoi usare solo se i due punti sono solidali al corpo rigido) con velocità di $C_v$ nulla, quindi credevo che con $C_v$ intendessi il centro istantaneo di moto come punto appartenente al corpo rigido... il centro delle velocità non so che cosa sia.
Bisogna distinguere tra centro istantaneo di moto come punto geometrico (che non è fermo) e punto solidale al corpo rigido che istantaneamente coincide con il centro istantaneo di moto (che è fermo).
Ora però è qui che si crea scompiglio, dato che $CO=C_vO$, ma $v_C_v≠v_C$.
Bisogna distinguere tra centro istantaneo di moto come punto geometrico (che non è fermo) e punto solidale al corpo rigido che istantaneamente coincide con il centro istantaneo di moto (che è fermo).
Il centro delle velocità è quel punto materiale tale che ad un istante di tempo $bart$ ha velocità nulla, mente il centro di istantanea rotazione è quel punto geometrico che ad ogni istante si sovrappone al centro delle velocità. Lo so la definizione è sottile, ma sono due cose diverse, uno è definito istante per istante, mentre l'altro è una funzione del tempo. Infatti per esempio le polari sono definite come il luogo dei punti occupati istante per istante dal centro delle velocità, oppure come la traiettoria del centro di istantanea rotazione.
Appunto, mi hai preceduto. Noi per non confonderci (almeno si cerca) li chiamiamo in due modi diversi.
Possiamo definire anche il vettore $C_vO=Rj→$, quindi definito rispetto ad un sistema di assi fissi.
Avendo capito cosa si intende per centro delle velocità... non si può fare questa sostituzione perchè istantaneamente il vettore $C_vO$ cambia, essendo $C_v$ fisso e $O$ che si muove... il vettore non è costante nel tempo.
Perchè no, del resto ad ogni istante il Cv sta sempre sotto al centro della palla...
Partiamo da un istante in cui $C_v$ sta sotto al centro $O$... dopo un intervallo di tempo infinitesimo $C_v$ è rimasto nella stessa posizione mentre $O$ ha fatto uno spostamento infinitesimo; il vettore che rimane costante è $CO$.
Anche secondo me il problema stava nella definizione del vettore e su questo sono d'accordo con te, però rimane per me più una intuizione e vorrei dimostrarlo formalmente. Infatti chi ha detto che all'istante $t+dt$ il $Cv$ è rimasto lo stesso? A regola visto che ad ogni istante cambia sul corpo (in modo da rimanere sempre nella stessa posizione nel sistema fisso) c'è differenza anche tra l'istante $t$ e l'istante $t+dt$.
Ad essere rigorosi si dovrebbe prendere un intervallo di tempo finito esprimere la posizione dei due punti in funzione del tempo e fare il limite del rapporto incrementale.
Infatti e facendo così, anche secondo quello che ho scritto piu su, verrebbe comunque un vettore costante verticale pari al raggio.
Al variare del tempo non puoi cambiare il centro delle velocità , non puoi "prendere quello nuovo", altrimenti ti ricavi la velocità del centro istantaneo di moto, che non è solidale al corpo rigido.
Se $C_v$ è solidale al disco devi mantenere sempre lo stesso punto sul disco, anche se dopo un intervallo di tempo finito non è più il punto di contatto e non è più centro delle velocità... questo può sembrare un controsenso ma se pensi che poi quello che ti interessa è il limite del rapporto incrementale al tempo t , quando il punto solidale è anche centro delle velocità...
Se $C_v$ è solidale al disco devi mantenere sempre lo stesso punto sul disco, anche se dopo un intervallo di tempo finito non è più il punto di contatto e non è più centro delle velocità... questo può sembrare un controsenso ma se pensi che poi quello che ti interessa è il limite del rapporto incrementale al tempo t , quando il punto solidale è anche centro delle velocità...
Ma aquel punto non sarebbe più vero che ad ogni istante i due punti coincidono, il che è un assurdo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo