Domanda di fluidodinamica
Salve, supponiamo di avere un campo di velocità di un fluido dato dalla funzione $(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z))$ e consideriamo una superficie geometrica piana elementare inclusa nel dominio del campo. Voglio sapere in un certo intervallo di tempo $Deltat$ quale volume di fluido ha attraversato la superficie.
Se la funzione $(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z))$ si riduce semplicemente a un vettore costante $vec v$, il problema è facilmente risolvibile. Infatti, supponendo la superficie inclinata di un angolo $a$ rispetto al campo, posso calcolare $vcos(a)$. Quindi, in $Deltat$ lo spazio percorso da ogni singola particella di fluido sarà $v*Deltat$. Quindi, la quantità $vcos(a)Deltat$ fornisce l'altezza del solido, che, moltiplicata per l'area $S$ della superficie fornisce il volume richiesto, cioè $v*cos(a)Deltat*S$ giusto?
Supponiamo ora che il campo di velocità non sia costante. Se la superficie $S$, che consideriamo elementare, è per semplicità ortogonale al campo, la superficie finale del solido il cui volume è il dato richiesto non sarà come $S$ (potrebbe essere non piana), ma sarà diversa da $S$ perchè ogni singola particella in $Deltat$ ha compiuto uno spazio diverso. Come faccio in queste condizioni a risolvere il problema?
Grazie mille.
Se la funzione $(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z))$ si riduce semplicemente a un vettore costante $vec v$, il problema è facilmente risolvibile. Infatti, supponendo la superficie inclinata di un angolo $a$ rispetto al campo, posso calcolare $vcos(a)$. Quindi, in $Deltat$ lo spazio percorso da ogni singola particella di fluido sarà $v*Deltat$. Quindi, la quantità $vcos(a)Deltat$ fornisce l'altezza del solido, che, moltiplicata per l'area $S$ della superficie fornisce il volume richiesto, cioè $v*cos(a)Deltat*S$ giusto?
Supponiamo ora che il campo di velocità non sia costante. Se la superficie $S$, che consideriamo elementare, è per semplicità ortogonale al campo, la superficie finale del solido il cui volume è il dato richiesto non sarà come $S$ (potrebbe essere non piana), ma sarà diversa da $S$ perchè ogni singola particella in $Deltat$ ha compiuto uno spazio diverso. Come faccio in queste condizioni a risolvere il problema?
Grazie mille.
Risposte
Puoi calcolare il flusso del vettore velocità rispetto alla superficie considerata:
\(\displaystyle \int_S \vec v \cdot \hat n dA \)
ottenendo il volume di fluido che passa per la superficie per unità di tempo, moltiplicando per il tempo ottieni il volume nel tempo desiderato.
\(\displaystyle \int_S \vec v \cdot \hat n dA \)
ottenendo il volume di fluido che passa per la superficie per unità di tempo, moltiplicando per il tempo ottieni il volume nel tempo desiderato.