Domanda di Fisica 1
Nella meccanica quanti tipi di equilibrio esistono e come possono essere identificati?
Risposte
Affinchè un corpo sia in equilibrio, esso deve esser in equilibrio traslatorio in tutte le direzioni, ossia la risultante delle forze agenti lungo le tre direzioni devono esser nulle, ed in equilibrio rotatorio, ossia la somma algebrica di tutti i momenti agenti sul corpo deve esser anch'essa nulla.
--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
possono però esistere due tipi di equilibrio:uno stabile ed uno instabile
Primo caso una pallina in una valle,secondo caso:una pallina sul cucuzzolo di una montagna:modificando le condizioni di equilibrio nel primo caso il sistema tende a ristabilire lo stesso equilibrio iniziale,nel secondo tende ad allontanarsene indefinitamente per trovare una nuova condizione di equilibrio.Se è a questo che ti riferisci.Poi si parla di equilibrio statico o dinamico:statico se la risultante delle forze è nulla e il punto materiale è in quiete, dinamico se la risultante delle forze è nulla ed il punto materiale è in moto.Ovviamente nel secondo caso il moto sarà rettilineo uniforme essendo nulla la risultante dellle forze che viceversa determinerebbe un'accelerazione.Correggetemi se sbaglio...Reminiscenze di fisica 1
Primo caso una pallina in una valle,secondo caso:una pallina sul cucuzzolo di una montagna:modificando le condizioni di equilibrio nel primo caso il sistema tende a ristabilire lo stesso equilibrio iniziale,nel secondo tende ad allontanarsene indefinitamente per trovare una nuova condizione di equilibrio.Se è a questo che ti riferisci.Poi si parla di equilibrio statico o dinamico:statico se la risultante delle forze è nulla e il punto materiale è in quiete, dinamico se la risultante delle forze è nulla ed il punto materiale è in moto.Ovviamente nel secondo caso il moto sarà rettilineo uniforme essendo nulla la risultante dellle forze che viceversa determinerebbe un'accelerazione.Correggetemi se sbaglio...Reminiscenze di fisica 1
la domanda è un po' vaga o meglio l'argomento è ampio!
si può parlare di equilibrio stabile: quando l'oggetto perturbato nella sua posizione di equilibrio oscilla per poi ritornare alla posizione di equilibrio iniziale;
oppure equilibrio instabile: quando il corpo allontanato dalla posizione iniziale non vi ritorna più ma assume un'altra posizione di equilibrio questa volta stabile.
immaginiamo un pendolo che può compiere un'intera rotazione:in basso avrà eq. stabile, in alto eq. insatbile
BooTzenN
si può parlare di equilibrio stabile: quando l'oggetto perturbato nella sua posizione di equilibrio oscilla per poi ritornare alla posizione di equilibrio iniziale;
oppure equilibrio instabile: quando il corpo allontanato dalla posizione iniziale non vi ritorna più ma assume un'altra posizione di equilibrio questa volta stabile.
immaginiamo un pendolo che può compiere un'intera rotazione:in basso avrà eq. stabile, in alto eq. insatbile
BooTzenN
Giusto... Avevo interpretato le domanda in un modo diverso [:D]
--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
--------------------------------------------------
A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
In effetti come domanda è ampia ma a me serviva qualche riga non pagine e pagine di studi. Va bene cosi'. Grazie!
Una pallina sul fondo di una buca semisferica: equilibrio stabile.
Una pallina in cima ad un cocuzzolo: equilibrio instabile.
Una pallina su una superficie liscia orizzontale: equilibrio indifferente.
BooTzenN dice «si può parlare di equilibrio stabile: quando l'oggetto perturbato nella sua posizione di equilibrio oscilla per poi ritornare alla posizione di equilibrio iniziale», ma anche questo concetto non mi soddifa pienamente né dal punto di vista fisico, né da quello matematico. Infatti un mattone "orizzontale" su un piano dovrebbe essere in uno stato di equilibrio stabile, ma se "ben perturbato" questo può andare a finire "per ritto" (o viceversa). Allora io introdurrei un concetto del tipo «...se esiste un intorno U ... se spostato all'interno di U il corpo ritorna nella posizione iniziale». Però anche questo non mi soddisfa, perché ho in mente una penna messa verticalmente "di punta": sicuramente esiste una posizione in cui è di equilibrio, e (tralasacio la motivazione, che c'è) se la perturbazione è "picoscopica" (molto meno che "microscopica") il corpo rimane in equilibrio, cionondimeno l'equilibrio, a livello macroscopico, è instabile.
Affinché un corpo sia fermo in equilibrio devono essere verificate alcune equazioni: velocità iniziale nulla, forza totale nulla nel tempo (che danno l'equilibrio alla traslazione),velocità angolare iniziale nulla e momento totale delle forze nullo nel tempo (che danno l'equilibrio alla rotazione).
Ma secondo me esistono altre forme di equilibrio meccanico, per esempio
- Un aereo sta in volo ad altezza fissata se è in una particolare forma di "equilibrio dinamico" ("chi si ferma è perduto").
- l'acqua di uan vasca sufficientemente alta, con un rubinetto in cima e un buco al fondo raggiunge l'equibrio (fra l'acqua entrante e quella uscente) ad una certa altezza.
- forse, in qualche maniera, si potrebbe anche dire che il fatto che siano rispettate le equazioni della maeccanica, rappresenta un certo tipo equilibrio.
Ovviamente si parla di equilibrio anche al di fuori della meccanica (es. equilibrio termico, equilibrio chimico, equilibrio fra cariche, ...).
Una pallina in cima ad un cocuzzolo: equilibrio instabile.
Una pallina su una superficie liscia orizzontale: equilibrio indifferente.
BooTzenN dice «si può parlare di equilibrio stabile: quando l'oggetto perturbato nella sua posizione di equilibrio oscilla per poi ritornare alla posizione di equilibrio iniziale», ma anche questo concetto non mi soddifa pienamente né dal punto di vista fisico, né da quello matematico. Infatti un mattone "orizzontale" su un piano dovrebbe essere in uno stato di equilibrio stabile, ma se "ben perturbato" questo può andare a finire "per ritto" (o viceversa). Allora io introdurrei un concetto del tipo «...se esiste un intorno U ... se spostato all'interno di U il corpo ritorna nella posizione iniziale». Però anche questo non mi soddisfa, perché ho in mente una penna messa verticalmente "di punta": sicuramente esiste una posizione in cui è di equilibrio, e (tralasacio la motivazione, che c'è) se la perturbazione è "picoscopica" (molto meno che "microscopica") il corpo rimane in equilibrio, cionondimeno l'equilibrio, a livello macroscopico, è instabile.
Affinché un corpo sia fermo in equilibrio devono essere verificate alcune equazioni: velocità iniziale nulla, forza totale nulla nel tempo (che danno l'equilibrio alla traslazione),velocità angolare iniziale nulla e momento totale delle forze nullo nel tempo (che danno l'equilibrio alla rotazione).
Ma secondo me esistono altre forme di equilibrio meccanico, per esempio
- Un aereo sta in volo ad altezza fissata se è in una particolare forma di "equilibrio dinamico" ("chi si ferma è perduto").
- l'acqua di uan vasca sufficientemente alta, con un rubinetto in cima e un buco al fondo raggiunge l'equibrio (fra l'acqua entrante e quella uscente) ad una certa altezza.
- forse, in qualche maniera, si potrebbe anche dire che il fatto che siano rispettate le equazioni della maeccanica, rappresenta un certo tipo equilibrio.
Ovviamente si parla di equilibrio anche al di fuori della meccanica (es. equilibrio termico, equilibrio chimico, equilibrio fra cariche, ...).
Grazie Infinito per l' approfondimento!
Ho anch'io un dubbio sull'equilibrio.Un esercizio chiede di trovare la posizione di equilibrio di una molla disposta in un piano inclinato se sulla molla viene agganciato un corpo di massa m.
Ovviamente l'esercizio si poteva risovere uguagliando la forza elastica con la componente lungo il piano della forza peso,oppure uguagliando a zero la derivata prima dell'energia potenziale(gravitazionale e elastica).Se la derivata seconda dell'energia potenziale in quel punto è positiva ne concludo che l'equilibrio è stabile,ma se è nulla o negativa che succede?
Ovviamente l'esercizio si poteva risovere uguagliando la forza elastica con la componente lungo il piano della forza peso,oppure uguagliando a zero la derivata prima dell'energia potenziale(gravitazionale e elastica).Se la derivata seconda dell'energia potenziale in quel punto è positiva ne concludo che l'equilibrio è stabile,ma se è nulla o negativa che succede?
Aggiungerei una piccola diramazione del caso "equilibrio stabile": spesso si parla di equilibrio stabile (semplice) e di equilibrio fortemente stabile (o asintoticamente stabile):
Nell'equilibrio stabile si chiede che la posizione di equilibrio P nello spazio delle fasi (o delle configurazioni del sistema) sia tale per cui esiste un intorno U di P t.c. le orbite con condizione iniziale contenuta in U rimangono in un intorno R di P per ogni tempo. (ad esempio il pendolo senza attrito se perturbato dalla posizione di equilibrio stabile rimane in un intorno della stessa senza piu' farvi ritorno).
Nell'equilibrio fortemente stabile si chiede che il punto P abbia un "bacino di attrazione" B t.c. le orbite del sistema con condizione iniziale contenuta in B tendano asintoticamente al punto P. (e' il caso del pendolo con attrito o della pallina in una buca su una superficie non liscia).
x infinito
Riguardo alla penna non capisco come mai questo possa mettere in crisi la definizione di equilibrio stabile: la penna "ideale" appogiata sulla punto (modellizata come asta rigida) in teoria si sposta anche con una perturbazione infinitesima (che e' anche piu' piccola dell'effetto dell'urto di un singolo fotone che urta la penna). Tuttavia la penna vera ha in quel punto un equilibrio stabile con un intorno "di stabilita'" U molto piccolo. Piu' che un problema nella definizione, mi sembra un problema nel modello di asta rigida che qui' si dimostra poco indicativo...
Nell'equilibrio stabile si chiede che la posizione di equilibrio P nello spazio delle fasi (o delle configurazioni del sistema) sia tale per cui esiste un intorno U di P t.c. le orbite con condizione iniziale contenuta in U rimangono in un intorno R di P per ogni tempo. (ad esempio il pendolo senza attrito se perturbato dalla posizione di equilibrio stabile rimane in un intorno della stessa senza piu' farvi ritorno).
Nell'equilibrio fortemente stabile si chiede che il punto P abbia un "bacino di attrazione" B t.c. le orbite del sistema con condizione iniziale contenuta in B tendano asintoticamente al punto P. (e' il caso del pendolo con attrito o della pallina in una buca su una superficie non liscia).
x infinito
Riguardo alla penna non capisco come mai questo possa mettere in crisi la definizione di equilibrio stabile: la penna "ideale" appogiata sulla punto (modellizata come asta rigida) in teoria si sposta anche con una perturbazione infinitesima (che e' anche piu' piccola dell'effetto dell'urto di un singolo fotone che urta la penna). Tuttavia la penna vera ha in quel punto un equilibrio stabile con un intorno "di stabilita'" U molto piccolo. Piu' che un problema nella definizione, mi sembra un problema nel modello di asta rigida che qui' si dimostra poco indicativo...
x JvloIvk
Ci sono due condizioni che potrebbero esserti utili se la derivata seconda dell'energia potenziale non e' positiva:
1. Se il punto P non e' di minimo stretto per l'energia potenziale e se l'assenza del minimo stretto e' dedotta direttamente dalla derivata seconda (l'Hessiana e' definita o semi-definita negativa o indefinita) (nel caso di funzioni di una sola variabile basta che la derivata seconda sia <0) allora esso e' instabile.
2. Nel caso in cui l'energia potenziale sia funzione di una sola variabile. Se essa e' analitica (C^\inf e uguale al limite delle somme parziali del polinomio di Mac-Laurin) allora il punto e' di equilibrio stabile sse P e' un minimo stretto (quindi in ogni altro caso si ha un equilibrio instabile).
In definitiva nel tuo caso dovresti avere un equilibrio instabile se la derivata 2nda e' strettamente negativa. Nel caso di derivata 2nda nulla bisogna controllare che l'energia potenziale sia analitica per poter affermare di avere un equilibrio instabile.
Ci sono due condizioni che potrebbero esserti utili se la derivata seconda dell'energia potenziale non e' positiva:
1. Se il punto P non e' di minimo stretto per l'energia potenziale e se l'assenza del minimo stretto e' dedotta direttamente dalla derivata seconda (l'Hessiana e' definita o semi-definita negativa o indefinita) (nel caso di funzioni di una sola variabile basta che la derivata seconda sia <0) allora esso e' instabile.
2. Nel caso in cui l'energia potenziale sia funzione di una sola variabile. Se essa e' analitica (C^\inf e uguale al limite delle somme parziali del polinomio di Mac-Laurin) allora il punto e' di equilibrio stabile sse P e' un minimo stretto (quindi in ogni altro caso si ha un equilibrio instabile).
In definitiva nel tuo caso dovresti avere un equilibrio instabile se la derivata 2nda e' strettamente negativa. Nel caso di derivata 2nda nulla bisogna controllare che l'energia potenziale sia analitica per poter affermare di avere un equilibrio instabile.
Ho letto attentamente il i tuoi post ma ho ancora alcuni dubbi.Mi riferisco a sistemi conservativi in una sola dimensione.Quindi niente forze d'attrito.Se trovassi nel grafico U(x) un minimo assoluto o relativo ne dedurrei che in quel punto c'è equilibrio stabile.Giusto?INfatti se spostassi il corpo in questione di un tratto infinitesimo si originerebbero delle forze di richiamo che tendono a riportare il corpo al punto d'equilibrio.Nel caso di un massimo assoluto o relativo è il contrario;in questo caso le forze tendono ad allontanare il corpo.Se poi l'energia potenazile rimane costante per un certo intervallo spaziale in quell'intervallo l'equilibrio è indifferente.
Tu poi hai parlato di equilibrio stabile o fortemente stabile.Se ho un sistema conservativo dovrei parlare solo di equilibrio stabile.Giusto?Infatti l'energia totale(meccanica) del sistema rimane costante e il corpo oscilla nella regione dello spazio in cui E>=U(x).Se poi agiscono forze dissiptive l'energia diminuisce e di conseguenza il corpo tende ad assumere la posizione in cui E=U(x) ovvero dove U(x) è minimo.E' così?
Tu poi hai parlato di equilibrio stabile o fortemente stabile.Se ho un sistema conservativo dovrei parlare solo di equilibrio stabile.Giusto?Infatti l'energia totale(meccanica) del sistema rimane costante e il corpo oscilla nella regione dello spazio in cui E>=U(x).Se poi agiscono forze dissiptive l'energia diminuisce e di conseguenza il corpo tende ad assumere la posizione in cui E=U(x) ovvero dove U(x) è minimo.E' così?
Si hai perfettamente ragione! In un sistema conservativo esistono solo equilibri stabili: perturbando il corpo dalla posizione di equilibrio questo prende a oscillare intorno all'equilibrio. Aggiungendo l'attrito gli equilibri stabili diventano fortemente stabili (ma non esiste piu' il potenziale nel senso classico del termine)
Nel caso di massimo assoluto o relativo per cui la derivata seconda sia minore di zero hai un equilibrio instabile. Se hai un massimo in cui la derivata seconda dell'energia potenziale e' uguale a zero bisogna controllare la regolarita' della funzione energia potenziale: abbiamo un equilibrio instabile se essa e' analitica (nel caso di funzioni "normali" si tratta di guardare che sia C^\inf ovvero derivabile infinite volte esistono solo casi rarissimi di funzioni C^\inf che non sono analitiche) (i polinomi e le funzioni esponenziale e sin e cos sono ad esempio analitiche. Somme di queste funzioni sono ancora analitiche).
Nel caso in cui la funzione non sia analitica ovvero ad esempio non derivabile infinite volte nell'intorno del punto di equilibrio allora esistono altri metodi piu' complicati per studiare il tipo di equilibrio...
Nel caso di massimo assoluto o relativo per cui la derivata seconda sia minore di zero hai un equilibrio instabile. Se hai un massimo in cui la derivata seconda dell'energia potenziale e' uguale a zero bisogna controllare la regolarita' della funzione energia potenziale: abbiamo un equilibrio instabile se essa e' analitica (nel caso di funzioni "normali" si tratta di guardare che sia C^\inf ovvero derivabile infinite volte esistono solo casi rarissimi di funzioni C^\inf che non sono analitiche) (i polinomi e le funzioni esponenziale e sin e cos sono ad esempio analitiche. Somme di queste funzioni sono ancora analitiche).
Nel caso in cui la funzione non sia analitica ovvero ad esempio non derivabile infinite volte nell'intorno del punto di equilibrio allora esistono altri metodi piu' complicati per studiare il tipo di equilibrio...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo