Domanda concettuale su bra e ket
Ciao, volevo capire perchè si parla dappertutto di prodotto scalare di un bra e di un ket, visto che si tratta di vettori appartenenti a spazi vettoriali distinti.
Un bra è un in particolare un vettore dello spazio duale dei ket, ovvero è un'applicazione lineare dallo spazio dei ket a R. Quindi si dovrebbe parlare piuttosto di bra applicato ad un ket e non di prodotto scalare tra bra e ket.
Da quello che mi è sembrato di capire, di solito come applicazione lineare si prende un prodotto scalare in cui è fissato il primo vettore, per cui si tende ad identificare il bra con questo vettore e quindi parlare di prodotto tra bra e ket intendendo in realtà il prodotto tra due ket, di cui il primo è quello che specifica il particolare bra. In ogni caso la terminologia che si usa non mi sembra comunque corretta.
Potete darmi delle delucidazioni a riguardo?
Un bra è un in particolare un vettore dello spazio duale dei ket, ovvero è un'applicazione lineare dallo spazio dei ket a R. Quindi si dovrebbe parlare piuttosto di bra applicato ad un ket e non di prodotto scalare tra bra e ket.
Da quello che mi è sembrato di capire, di solito come applicazione lineare si prende un prodotto scalare in cui è fissato il primo vettore, per cui si tende ad identificare il bra con questo vettore e quindi parlare di prodotto tra bra e ket intendendo in realtà il prodotto tra due ket, di cui il primo è quello che specifica il particolare bra. In ogni caso la terminologia che si usa non mi sembra comunque corretta.
Potete darmi delle delucidazioni a riguardo?
Risposte
Ciao, guarda, in realtà potresti benissimo partire dallo spazio di Hilbert degli stati e definire il prodotto scalare tra due vettori (possibilmente anche in notazione bra e ket). Oppure puoi partire dai funzionali lineari dallo spazio di Hilbert degli stati ai numeri complessi, e notare che esiste una corrispondenza biunivoca (Teorema di Riesz) tra questi funzionali e i cosidetti vettori bra. Questo ti permette di formulare la teoria in maniera duale (lo spazio duale, ovvero quello dei funzionali lineari agenti sullo spazio di Hilbert è anch'esso uno spazio di Hilbert, ed è esattamente speculare allo spazio di partenza), ma se il tuo dubbio si riferisce soltanto all'espressione "prodotto scalare tra bra e ket", hai ragione, non ha senso definire un prodotto interno, appunto, tra vettori appartenenti a due spazi distinti. E' meglio dire prodotto tra bra e ket o bra applicato a un ket.
Aggiungo un riferimento all'originale: P.A.M. Dirac, I princìpi della meccanica quantistica. Il secondo capitolo parla soprattutto di questo.
Se ho scritto bene nel mio ultimo thread ad ogni punto di uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ corrisponde un elemento del duale algebrico attraverso un prodotto scalare \(A:x\mapsto \langle x,\cdot \rangle\):\(\mathcal{H}\mapsto \mathcal{H}^{*}\). Solo che l'applicazione non è suriettiva, vale a dire che non ad ogni funzionale lineare corrisponde un punto di $\mathcal{H}$. Quando questo è vero invece si scrive \(A|\psi\rangle=(|\varphi\rangle,|\psi\rangle):=\langle \varphi|\psi\rangle\).
@alephy si, certo che possiamo definire il prodotto scalare tra due vettori dello spazio di Hilbert, ma non ho capito bene ciò che dicevi riguardo lo spazio duale...
Comunque si, il mio dubbio era riguardo l'espressione "prodotto scalare tra bra e ket" che viene sempre usata, soprattutto nel testo di Dirac citato da speculor. Mi confermi quindi che è sbagliata.
Quello che penso è che si continua ad usare questa errata espressione perchè essendo tutti i funzionali lineari dei bra, l'applicazione di un bra ad un ket si traduce in un prodotto scalare tra due ket, ma in ogni caso ciò a mio parere non giustifica l'uso di una terminologia comunque sbagliata.
A questo punto però non mi ritrovo con ciò che dice 5mrkv, " non ad ogni funzionale lineare corrisponde un punto di H".
Ma se tutti i funzionali lineari sono bra, e ogni bra dipende da un ket, ciò non è in contrasto con l'affermazione di 5mrkv?
Comunque si, il mio dubbio era riguardo l'espressione "prodotto scalare tra bra e ket" che viene sempre usata, soprattutto nel testo di Dirac citato da speculor. Mi confermi quindi che è sbagliata.
Quello che penso è che si continua ad usare questa errata espressione perchè essendo tutti i funzionali lineari dei bra, l'applicazione di un bra ad un ket si traduce in un prodotto scalare tra due ket, ma in ogni caso ciò a mio parere non giustifica l'uso di una terminologia comunque sbagliata.
A questo punto però non mi ritrovo con ciò che dice 5mrkv, " non ad ogni funzionale lineare corrisponde un punto di H".
Ma se tutti i funzionali lineari sono bra, e ogni bra dipende da un ket, ciò non è in contrasto con l'affermazione di 5mrkv?
Mi sembra strano che Dirac faccia confusione in merito. Purtroppo non ho il testo, ma mi sembra di ricordare che l'autore non identifichi un funzionale lineare definito nello spazio dei ket con un bra corrispondente, identificazione che, nello spirito delle considerazioni di quel testo, non avrebbe alcun senso. Piuttosto, mi sembra di ricordare che, dato un funzionale lineare definito nello spazio dei ket, si possa prendere un ket tale che il funzionale lineare possa essere visto come prodotto scalare tra un generico ket e il ket scelto. Quest'ultimo viene chiamato bra perchè, nel prodotto scalare, compare il complesso coniugato del corrispondente ket. In pratica, con il termine bra, l'autore identifica semplicemente il complesso coniugato del ket.
"albireo":
@alephy si, certo che possiamo definire il prodotto scalare tra due vettori dello spazio di Hilbert, ma non ho capito bene ciò che dicevi riguardo lo spazio duale...
Comunque si, il mio dubbio era riguardo l'espressione "prodotto scalare tra bra e ket" che viene sempre usata, soprattutto nel testo di Dirac citato da speculor. Mi confermi quindi che è sbagliata.
Quello che penso è che si continua ad usare questa errata espressione perchè essendo tutti i funzionali lineari dei bra, l'applicazione di un bra ad un ket si traduce in un prodotto scalare tra due ket, ma in ogni caso ciò a mio parere non giustifica l'uso di una terminologia comunque sbagliata.
A questo punto però non mi ritrovo con ciò che dice 5mrkv, " non ad ogni funzionale lineare corrisponde un punto di H".
Ma se tutti i funzionali lineari sono bra, e ogni bra dipende da un ket, ciò non è in contrasto con l'affermazione di 5mrkv?
Non è vero che ogni bra dipende da un ket, nel senso che ad ogni bra corrisponde un ket. Questo è vero quando consideri il duale topologico ovvero quello dei funzionali lineari e continui. Solo allora la corrispondenza \(x\mapsto f:|x\rangle\mapsto \langle f|\) è suriettiva. Conosco questo come teorema di rappresentazione di Fischer-Riesz. Nel Cohen-Tannoudji da l'esempio di bra senza corrispettivi ket. Probabilmente quando si considera la corrispondenza bra-ket si utilizza il duale algebrico, per il quale esistono bra senza ket.
"5mrkv":
Non è vero che ogni bra dipende da un ket, nel senso che ad ogni bra corrisponde un ket. Questo è vero quando consideri il duale topologico ovvero quello dei funzionali lineari e continui. Solo allora la corrispondenza \(x\mapsto f:|x\rangle\mapsto \langle f|\) è suriettiva. Conosco questo come teorema di rappresentazione di Fisher-Riesz. Nel Cohen-Tannoudji da l'esempio di bra senza corrispettivi ket. Probabilmente quando si considera la corrispondenza bra-ket si utilizza il duale algebrico, per il quale esistono bra senza ket.
Immagino che tu abbia ragione. Non era mia intenzione addentrarmi nello specifico. Anche perchè l'argomento è sottile e, purtroppo, la memoria non mi aiuta. Voglio comunque sottolineare che Dirac non si preoccupa troppo di sottili questioni matematiche quando introduce il concetto. Tuttavia, non gli si può nemmeno attribuire quell'errore concettuale macroscopico che è l'argomento iniziale di questa discussione. Per fare un esempio, si consideri il seguente funzionale lineare:
$[vecv=x_1vec(e_1)+x_2vec(e_2)] rarr [T(vecv)=a_(11)x_1+a_(12)x_2]$
Ora, si tratta di determinare $[vecu]$ tale che:
$[vecu*vec(e_1)=a_(11)] ^^ [vecu*vec(e_2)=a_(12)]$
così da poter scrivere:
$[T(vecv)=vecu*vecv=vecu*(x_1vec(e_1)+x_2vec(e_2))=x_1vecu*vec(e_1)+x_2vecu*vec(e_2)=a_(11)x_1+a_(12)x_2]$
Da qui ad identificare $[T]$ con $[vecu]$ ce ne passa. Al limite, si può parlare di corrispondenza, e allora si rientra nelle più interessanti considerazioni che, mi sembra, intendesse fare 5mrkv.
Sì in effetti hai ragione tu 5mrkv, il teorema di rappresentazione di Riesz coinvolge funzionali lineari e continui, cosa che avevo dato per scontata (ma che non lo era affatto).
"speculor":
Piuttosto, mi sembra di ricordare che, dato un funzionale lineare definito nello spazio dei ket, si possa prendere un ket tale che il funzionale lineare possa essere visto come prodotto scalare tra un generico ket e il ket scelto. Quest'ultimo viene chiamato bra perchè, nel prodotto scalare, compare il complesso coniugato del corrispondente ket. In pratica, con il termine bra, l'autore identifica semplicemente il complesso coniugato del ket.
Ok, in effetti credo che tu abbia ragione e che ho male interpretato quanto detto da Dirac, essendomi lasciato influenzare da definizioni trovate altrove.
Tuttavia in altri testi, o in rete, appunto, si parla di bra come applicazioni lineari dallo spazio dei ket al campo dei complessi, ovvero si identifica lo spazio dei bra con lo spazio duale dei ket. Questo è ciò che mi ha generato confusione quando si parla di prodotto scalare tra bra e ket.
Vorrei capire quindi, questi due diversi modi di intendere i bra sono equivalenti? Cioè, definire un bra come un fissato ket tale che un funzionale lineare si possa scrivere come prodotto scalare tra un altro ket e il ket fissato, e il definire un bra come il funzionale lineare stesso, è la stessa cosa?
Inoltre, se intendiamo un bra come un ket con le caratteristiche prima dette (e come è giusto quindi fare se parliamo di prodotto scalare tra bra e ket), a me sembra che non si possa applicare quanto detto da 5mrkv perchè in questo caso ogni bra è proprio un ket, e quindi per come li abbiamo definiti (in questo caso) non esistono bra senza un corrispondente ket...
Scusate se sto facendo un pò di confusione, ma come avrete capito,devo ancora chiarirmi le idee
Up
?
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Di solito in fisica non si danno definizioni molto precise di queste cose. Se vuoi spiegazioni dettagliate in merito devi consultare libri di matematica (dove però, chiaramente, si perde di vista il significato fisico). Una piccola e rapida sistemazione del formalismo di Dirac si trova nelle prime pagine del libro di Folland Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians della AMS. Secondo Folland i bra vanno considerati come funzionali lineari e i ket come vettori, tenendo presente che esiste una corrispondenza coniugato-lineare tra i due. Quindi l'accoppiamento bra-ket non è tecnicamente un vero prodotto scalare: scrivendo \(\langle \phi|\psi\rangle\) si sta intendendo \(\phi(\psi)\).
Tuttavia, la corrispondenza tra bra e ket è data proprio dal prodotto scalare: se indichiamo quest'ultimo con \((, )\), e scriviamo \(R(|\psi\rangle )\) per indicare l'unico bra corrispondente al ket \(\psi\), allora
\[(R(|\psi\rangle), |\psi'\rangle)=\langle \psi|\psi'\rangle.\]
Per questo motivo si può confondere il tutto ed è proprio su questa possibilità di confusione che si basa la forza del formalismo di Dirac.
Scrivendo scrivendo mi sono ricordato di aver letto una bella spiegazione di questo formalismo anche sul libro di teoria quantistica dei campi di Weinberg, sempre nelle prime pagine.
Tuttavia, la corrispondenza tra bra e ket è data proprio dal prodotto scalare: se indichiamo quest'ultimo con \((, )\), e scriviamo \(R(|\psi\rangle )\) per indicare l'unico bra corrispondente al ket \(\psi\), allora
\[(R(|\psi\rangle), |\psi'\rangle)=\langle \psi|\psi'\rangle.\]
Per questo motivo si può confondere il tutto ed è proprio su questa possibilità di confusione che si basa la forza del formalismo di Dirac.
Scrivendo scrivendo mi sono ricordato di aver letto una bella spiegazione di questo formalismo anche sul libro di teoria quantistica dei campi di Weinberg, sempre nelle prime pagine.
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