Divergenza del rotore del campo elettrico
ragazzi ho un problema, dalla seconda equazione di Maxwell:
$ \nabla \times E=-\frac{\partialB}{\partialt} $
da cui, poichè la divergenza di un rotore è sempre zero:
$ \nabla \cdot (\nabla \times E)=0 $
$ \nabla \cdot \frac{\partialB}{\partialt}=0 $
eppure ho proprio la sensazione che questa roba qui non abbia alcun senso, perchè mai la variazione nello spazio e nel tempo di un campo magnetico dovrebbe essere zero? cioè questo implica che se ho un campo magnetico variabile nello spazio deve essere per forza stazionario e un campo non stazionario dovrebbe essere per forza uniforme ma questo è assurdo.
Qualcuno riesce a districarmi da questo pasticcio?
$ \nabla \times E=-\frac{\partialB}{\partialt} $
da cui, poichè la divergenza di un rotore è sempre zero:
$ \nabla \cdot (\nabla \times E)=0 $
$ \nabla \cdot \frac{\partialB}{\partialt}=0 $
eppure ho proprio la sensazione che questa roba qui non abbia alcun senso, perchè mai la variazione nello spazio e nel tempo di un campo magnetico dovrebbe essere zero? cioè questo implica che se ho un campo magnetico variabile nello spazio deve essere per forza stazionario e un campo non stazionario dovrebbe essere per forza uniforme ma questo è assurdo.
Qualcuno riesce a districarmi da questo pasticcio?
Risposte
nessuno?
"sulne":
... ho proprio la sensazione che questa roba qui non abbia alcun senso, ...
Non vedo perché "quella roba lì" non abbia senso ... e come potrebbe non averlo, dato che parti da una legge fondamentale dell'elettromagnetismo?
Ad ogni modo, visto che
$\nabla \cdot \frac{\partial B}{\partial t}= \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot B$
quella relazione sta semplicemente ad indicare che la divergenza di B deve risultare indipendentemente dal tempo, e noi sappiamo che non solo non dipende dal tempo, ma addirittura che $\nabla \cdot B=0$, ... almeno fino a questa sera.
PS -----------------------------
Similmente per la legge di Ampere-Maxwell, applicando la divergenza ad entrambi i membri, avremo una "roba" del tutto simile
$\nabla \cdot \nabla \times H= \nabla \cdot J+ \nabla \cdot \frac{\partial D}{\partial t}=\nabla \cdot J+ \frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot D$
solo che in questo caso visto che sappiamo che $\nabla \cdot D=\rho$, ricaviamo la legge della conservazione della carica
$\nabla \cdot J+ \frac{\partial \rho } {\partial t}=0$
hai proprio ragione, mi sono perso in un bicchier d'acqua. Credo di non aver capito in profondità il concetto di divergenza. Se posso allora ti proporrei due ultime domande:
il mio libro di fisica 2 dice che la divergenza di B è zero, e questo implica che le linee di campo sono linee chiuse, tuttavia se considero un campo magnetico della forma $B(x,y,z)=x-y$ non ottengo linee chiuse. Sbaglia il mio libro di testo o mi sto di nuovo perdendo in stupidaggini?
e ancora se avessi un campo magnetico nella forma $B(x,y)=\frac{c}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (le classiche circonferenze generate da un filo infinito percorso da corrente) imponendo $\nabla \cdot B=0$ ottengo $y=-x$ e questo risultato non lo capisco proprio, sembrerebbe quasi che queste circonferenze siano solenoidali solo quando $y=-x$ ma questo non credo abbia molto senso
potresti illuminarmi? forse sono domande stupide ma credo di non aver afferrato in pieno il significato fisico di questi passaggi e in generale della divergenza
il mio libro di fisica 2 dice che la divergenza di B è zero, e questo implica che le linee di campo sono linee chiuse, tuttavia se considero un campo magnetico della forma $B(x,y,z)=x-y$ non ottengo linee chiuse. Sbaglia il mio libro di testo o mi sto di nuovo perdendo in stupidaggini?
e ancora se avessi un campo magnetico nella forma $B(x,y)=\frac{c}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (le classiche circonferenze generate da un filo infinito percorso da corrente) imponendo $\nabla \cdot B=0$ ottengo $y=-x$ e questo risultato non lo capisco proprio, sembrerebbe quasi che queste circonferenze siano solenoidali solo quando $y=-x$ ma questo non credo abbia molto senso
potresti illuminarmi? forse sono domande stupide ma credo di non aver afferrato in pieno il significato fisico di questi passaggi e in generale della divergenza
"sulne":
...il mio libro di fisica 2 dice che la divergenza di B è zero, e questo implica che le linee di campo sono linee chiuse, tuttavia se considero un campo magnetico della forma $B(x,y,z)=x-y$ non ottengo linee chiuse. Sbaglia il mio libro di testo o mi sto di nuovo perdendo in stupidaggini?
Scusa ma B è una grandezza vettoriale, non scalare, non è possibile definire $\vec B$ in quel modo; puoi postare un'immagine di quella pagina del tuo libro? (titolo? autore?)
"sulne":
... e ancora se avessi un campo magnetico nella forma $B(x,y)=\frac{c}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (le classiche circonferenze generate da un filo infinito percorso da corrente) imponendo $\nabla \cdot B=0$ ottengo $y=-x$ e questo risultato non lo capisco proprio, sembrerebbe quasi che queste circonferenze siano solenoidali solo quando $y=-x$ ma questo non credo abbia molto senso
Ci credo che non lo capisci, io non vedo circonferenze e continuo a non capire perché insisti nel considerare B un campo scalare e vai a cercare una inesistente divergenza di B(x,y,z) annullando la somma delle sue derivate parziali rispetto a x e y.
Ciò che Renzo ti sta dicendo è che l'induzione magnetica $vecB$ è un campo vettoriale, e la natura dei fenomeni e.m. è tale che la sua divergenza è nulla, cioè si tratta di un campo solenoidale. È inutile andare a cercare un campo qualsiasi ( e non una quantità scalare!) che a conti fatti può avere una divergenza diversa da zero : tale campo non corrisponderà mai ad un campo di induzione magnetica!
Leggiti quesa breve ma chiara dispensa sulle equazioni di Maxwell :
http://www.ba.infn.it/~depalma/lezioni/equazMaxwell.pdf
Leggiti quesa breve ma chiara dispensa sulle equazioni di Maxwell :
http://www.ba.infn.it/~depalma/lezioni/equazMaxwell.pdf
"navigatore":
... È inutile andare a cercare un campo qualsiasi ( e non una quantità scalare!) che a conti fatti può avere una divergenza diversa da zero
Divergenza che non esiste per un campo scalare.
BTW ovviamente il mio secondo "scalare" era riferito al campo, come inizialmente specificato; ora correggo.
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