Divergenza del campo magnetico prodotto da una spira
Volendo verificare che la divergenza del campo magnetico prodotto da una spira di raggio R percorsa da corrente i sia nulla ho applicato l’operatore divergenza in coordinate cartesiane al campo prodotto lungo il suo asse z:
$ \vecB(z)=\frac{\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^(3/2)}\hatz $
$ \frac{dB(z)}{dz}=-\frac{3z\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^(5/2)}\ne0 $
Dove sbaglio?
$ \vecB(z)=\frac{\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^(3/2)}\hatz $
$ \frac{dB(z)}{dz}=-\frac{3z\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^(5/2)}\ne0 $
Dove sbaglio?
Risposte
Che intanto è una derivata parziale con tutti i problemi annessi
Secondo, B è un rotore, e la divergenza di un rotore è sempre nulla (vedi Biot Savart)
E la divergenza di $ hat(r) /r^2 $ vale zero
Secondo, B è un rotore, e la divergenza di un rotore è sempre nulla (vedi Biot Savart)
E la divergenza di $ hat(r) /r^2 $ vale zero
Non c'è modo di vederlo applicando la divergenza al campo come ho fatto? Quale sarebbe il problema legato alla derivata parziale?
Il primo motivo è perché sarebbe meglio partire da qui:
$ vecB=mu_0/(4pi)int I dl xxr( dr )/|r|^3 $
E questo è ovviamente nullo.
Mentre nel caso tuo devi derivare anche $vecz$ e tu non lo hai fatto se no ti veniva nullo
$ vecB=mu_0/(4pi)int I dl xxr( dr )/|r|^3 $
E questo è ovviamente nullo.
Mentre nel caso tuo devi derivare anche $vecz$ e tu non lo hai fatto se no ti veniva nullo
La divergenza di un campo vettoriale $\vec B(x,y,z)=B_x(x,y,z)\hat x+B_y(x,y,z)\hat y+B_z(x,y,z)\hat z$ è definita come
\(\displaystyle \text{div} \vec B=\frac{\partial B_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial B_y(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial B_z(x,y,z)}{\partial z} \)
Io credo (è il mio parere) che l'errore stia nel fatto che la funzione che stai considerando non è la funzione che descrive il campo in tutti i punti dello spazio ma è una sua restrizione all'asse z. Dire che la divergenza è nulla significa che sommando tutte quelle derivate parziali ottieni una funzione identicamente nulla ma per calcolare quelle derivate parziali devi avere a disposizione tutte e tre le funzioni $B_x(x,y,z)$, $B_y(x,y,z)$ e $B_z(x,y,z)$ e non una loro restrizione a qualche dominio particolare. Ti faccio un esempio. Se hai la funzione
\(\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+x \)
hai che
\(\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=2 \).
Ora, se ti limiti a considerare la funzione f lungo l'asse y, dove x=0, avrai che
$f(x=0,y,z)=y+z$
e quindi troveresti
\(\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=0 \)
Ma questo è sbagliato perché $f(x=0,y,z)=y+z$ NON è la funzione f di partenza. Quando si parla di funzioni (e quindi delle loro derivate) quello che è importante è la 'struttura matematica' della funzione cioè come le variabili compaiono nella formula, insomma...la dipendenza funzionale dalle variabili appunto. Quando consideri la formula del campo magnetico sull'asse z perdi completamente le informazioni su come il campo dipende dalle variabili x,y,z e cioè, in pratica, su come è fatto il campo.
Ora il problema è che la formula in coordinate cartesiane del campo magnetico di una spira circolare IN TUTTO LO SPAZIO è complicata (non l'ho mai vista sinceramente) e quindi senza di essa non puoi fare la verifica che ti interessa. Sul Jackson trovi l'espressione in coordinate polari in funzione però del potenziale vettore, a sua volta espresso in termini di integrali ellittici...che non è proprio una passeggiata.
Sì, sono derivate parziali, ma nel calcolo di TS778LB l'errore non sta nella derivazione ma nella funzione da derivare.
Il versore $\hat z$ non va derivato. La divergenza deriva le componenti cartesiane del campo, che sono scalari.
\(\displaystyle \text{div} \vec B=\frac{\partial B_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial B_y(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial B_z(x,y,z)}{\partial z} \)
Io credo (è il mio parere) che l'errore stia nel fatto che la funzione che stai considerando non è la funzione che descrive il campo in tutti i punti dello spazio ma è una sua restrizione all'asse z. Dire che la divergenza è nulla significa che sommando tutte quelle derivate parziali ottieni una funzione identicamente nulla ma per calcolare quelle derivate parziali devi avere a disposizione tutte e tre le funzioni $B_x(x,y,z)$, $B_y(x,y,z)$ e $B_z(x,y,z)$ e non una loro restrizione a qualche dominio particolare. Ti faccio un esempio. Se hai la funzione
\(\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+x \)
hai che
\(\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=2 \).
Ora, se ti limiti a considerare la funzione f lungo l'asse y, dove x=0, avrai che
$f(x=0,y,z)=y+z$
e quindi troveresti
\(\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=0 \)
Ma questo è sbagliato perché $f(x=0,y,z)=y+z$ NON è la funzione f di partenza. Quando si parla di funzioni (e quindi delle loro derivate) quello che è importante è la 'struttura matematica' della funzione cioè come le variabili compaiono nella formula, insomma...la dipendenza funzionale dalle variabili appunto. Quando consideri la formula del campo magnetico sull'asse z perdi completamente le informazioni su come il campo dipende dalle variabili x,y,z e cioè, in pratica, su come è fatto il campo.
Ora il problema è che la formula in coordinate cartesiane del campo magnetico di una spira circolare IN TUTTO LO SPAZIO è complicata (non l'ho mai vista sinceramente) e quindi senza di essa non puoi fare la verifica che ti interessa. Sul Jackson trovi l'espressione in coordinate polari in funzione però del potenziale vettore, a sua volta espresso in termini di integrali ellittici...che non è proprio una passeggiata.
"Capitan Harlock":
Che intanto è una derivata parziale con tutti i problemi annessi
Sì, sono derivate parziali, ma nel calcolo di TS778LB l'errore non sta nella derivazione ma nella funzione da derivare.
"Capitan Harlock":
Mentre nel caso tuo devi derivare anche $\hat z$ e tu non lo hai fatto se no ti veniva nullo
Il versore $\hat z$ non va derivato. La divergenza deriva le componenti cartesiane del campo, che sono scalari.
Si hai ragione, ma se le componenti sono costanti le porti fuori, e hai la derivata di 1 che è zero.
È sono costanti poiché r è costante (ma non lo può vedere perché usa una restrizione)
È sono costanti poiché r è costante (ma non lo può vedere perché usa una restrizione)
"Capitan Harlock":
Si hai ragione, ma se le componenti sono costanti le porti fuori, e hai la derivata di 1 che è zero.
È sono costanti poiché r è costante (ma non lo può vedere perché usa una restrizione)
Scusa ma non credo di capire. Le componenti del campo magnetico di una spira circolare non sono costanti rispetto a nessuna delle variabili x,y,e z e nemmeno rispetto alla distanza r.
No, no, hai capito bene, ho sbagliato, è r costante non le componenti 
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