Divergenza campo magnetizzante [tex]\vec{\mathrm{H}}[/tex]
Salve, vorrei un breve chiarimento su un piccolo (grande) dubbio che mi è sorto durante lo studio delle proprietà magnetiche della materia.
Il mio libro descrive l'argomento in oggetto illustrando il calcolo relativo:
[tex]\nabla \cdot \vec{\mathrm{H}} = \nabla \cdot (\frac{\vec{\mathrm{B}}}{\mu_0})-\nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = - \nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = \rho_M[/tex]
Fin qui tutto chiaro, anche il passaggio in cui pone [tex]-\nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = \rho_M[/tex] per sottolineare la presenza di sorgenti coulombiane per il campo. Personalmente lo è un po' meno quando asserisce:
"Nel caso di mezzi magnetizzati in modo uniforme ma di estensione limitata, si hanno sorgenti coulombiane di [tex]\vec{\mathrm{H}}[/tex] tutte localizzate sulle superfici del mezzo magnetizzato ove sono distribuite con densità [tex]\sigma_M = \vec{\mathrm{M}} \cdot \vec{\mathrm{n}}[/tex]"
Ecco il mio arcano: perché c'è questa distribuzione superficiale [tex]\sigma_M[/tex]? E perché è definita con quel prodotto scalare?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte
Il mio libro descrive l'argomento in oggetto illustrando il calcolo relativo:
[tex]\nabla \cdot \vec{\mathrm{H}} = \nabla \cdot (\frac{\vec{\mathrm{B}}}{\mu_0})-\nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = - \nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = \rho_M[/tex]
Fin qui tutto chiaro, anche il passaggio in cui pone [tex]-\nabla \cdot \vec{\mathrm{M}} = \rho_M[/tex] per sottolineare la presenza di sorgenti coulombiane per il campo. Personalmente lo è un po' meno quando asserisce:
"Nel caso di mezzi magnetizzati in modo uniforme ma di estensione limitata, si hanno sorgenti coulombiane di [tex]\vec{\mathrm{H}}[/tex] tutte localizzate sulle superfici del mezzo magnetizzato ove sono distribuite con densità [tex]\sigma_M = \vec{\mathrm{M}} \cdot \vec{\mathrm{n}}[/tex]"
Ecco il mio arcano: perché c'è questa distribuzione superficiale [tex]\sigma_M[/tex]? E perché è definita con quel prodotto scalare?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte
Risposte
Provo a risponderti con un disegno.
Il disegno rappresenta la sezione di un pezzo di materia magnetizzato, in cui i cerchi rappresentano le spire che schematizzano i momenti magnetici degli atomi/molecole. Come vedi, in ogni punto interno al pezzo di materia, le correnti di due spire adiacenti si annullano a vicenda (ciò è vero nel caso di magnetizzazione uniforme, che è proprio l'ipotesi che fa il tuo libro), cosa che non avviene sulla superficie, dove invece si ha una corrente superficiale netta rappresentata dalla cornice rettangolare. Ne segue che il sistema di correnti di volume che descrive il pezzo di materia è equivalente ad una distribuzione superficiale. Per quanto riguarda la formula per $\sigma_M$, quella che hai postato è errata poiché in realtà ci vuole il prodotto vettoriale e non scalare (e quindi la densità di corrente è un vettore e non uno scalare)
\(\displaystyle \vec \sigma_M=\vec M \times \hat n \)
dove $\hat n$ è il versore uscente e perpendicolare alla superficie. Se applichi questa formula al caso del disegno, in cui $\vec M$ è uscente dallo schermo, ti accorgi che il risultato di quel prodotto è una corrente superficiale che scorre proprio nel verso indicato nel disegno.
Il disegno rappresenta la sezione di un pezzo di materia magnetizzato, in cui i cerchi rappresentano le spire che schematizzano i momenti magnetici degli atomi/molecole. Come vedi, in ogni punto interno al pezzo di materia, le correnti di due spire adiacenti si annullano a vicenda (ciò è vero nel caso di magnetizzazione uniforme, che è proprio l'ipotesi che fa il tuo libro), cosa che non avviene sulla superficie, dove invece si ha una corrente superficiale netta rappresentata dalla cornice rettangolare. Ne segue che il sistema di correnti di volume che descrive il pezzo di materia è equivalente ad una distribuzione superficiale. Per quanto riguarda la formula per $\sigma_M$, quella che hai postato è errata poiché in realtà ci vuole il prodotto vettoriale e non scalare (e quindi la densità di corrente è un vettore e non uno scalare)
\(\displaystyle \vec \sigma_M=\vec M \times \hat n \)
dove $\hat n$ è il versore uscente e perpendicolare alla superficie. Se applichi questa formula al caso del disegno, in cui $\vec M$ è uscente dallo schermo, ti accorgi che il risultato di quel prodotto è una corrente superficiale che scorre proprio nel verso indicato nel disegno.
Ciò che hai descritto è l'equivalenza, derivante dal principio di Ampere, del campo prodotto da un volume di materiale magnetizzato con densità [tex]\vec{\mathrm{M}}[/tex] e di quello prodotto da una distribuzione di corrente [tex]\vec{\mathrm{J}_s}[/tex] sulla superficie laterale del volume stesso, che si verifica essere [tex]\vec{\mathrm{J}_s} = \vec{M} \times \vec{n}[/tex]. Quello che intendo io riguarda il campo [tex]\vec{\mathrm{H}}[/tex] e le sue sorgenti coulombiane in assenza di correnti libere [tex]\vec{\mathrm{J}_L}[/tex] 
Scusa, potresti scrivere cosa intende esattamente il tuo libro con "sorgente coulombiana di H" ?
Intende che il campo [tex]\vec{\mathrm{H}}[/tex] è irrotazionale, e quindi presenta sorgenti puntiformi (coulombiane, definizione derivata dal caso elettrostatico)
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