Divergenza
Salve a tutti, oggi ho iniziato il mio studio dell'elettromagnetismo. Prima però ho controllato le premesse matematiche necessarie e tra queste c'è la divergenza.
Il mio libro definisce la divergenza di un campo vettoriale A nel punto P che si trova dentro una superficie chiusa S in questo modo:
div A= $\lim_(Deltatau->0) int (vec A * d vec S) / (Deltatau)$
($Deltatau$ è il volume delimitato da S.
L'integrale è chiuso ovviamente e definito su tutto S.
Ora non ho capito qual è il senso fisico della divergenza, cos'è innanzitutto e a che serve, perchè il libro non lo dice. Poi cosa rappresenta l'integrale del prodotto scalare della formula e perchè per la definizione della divergenza il volume deve tendere a 0.
Scusate se in realtà non ho capito nulla ma il libro mi presenta davanti questa formula e basta. Preferisco, se c'è, una spiegazione meno sofisticata possibile, in quanto probabilmente la studierò in matematica in futuro ma per ora mi serve solamente per capire qualche concetto di elettromagnetismo. Grazie.
Il mio libro definisce la divergenza di un campo vettoriale A nel punto P che si trova dentro una superficie chiusa S in questo modo:
div A= $\lim_(Deltatau->0) int (vec A * d vec S) / (Deltatau)$
($Deltatau$ è il volume delimitato da S.
L'integrale è chiuso ovviamente e definito su tutto S.
Ora non ho capito qual è il senso fisico della divergenza, cos'è innanzitutto e a che serve, perchè il libro non lo dice. Poi cosa rappresenta l'integrale del prodotto scalare della formula e perchè per la definizione della divergenza il volume deve tendere a 0.
Scusate se in realtà non ho capito nulla ma il libro mi presenta davanti questa formula e basta. Preferisco, se c'è, una spiegazione meno sofisticata possibile, in quanto probabilmente la studierò in matematica in futuro ma per ora mi serve solamente per capire qualche concetto di elettromagnetismo. Grazie.
Risposte
Il senso fisico è la misura del fatto che nel campo ci siano "sorgenti" o "pozzi". Chiaramente se il flusso attraverso una superficie chiusa è positivo, all'interno ci dev'essere una sorgente, o viceversa se negativo un pozzo. Per esempio, una carica elettrica positiva è una sorgente per il campo $vec E$, mentre il campo magnetico $vec B$ non ha sorgenti (le linee di campo sono chiuse). l volume viene fatto tendere a zero perchè la divergenza è un concetto puntuale e non globale.
Quindi una divergenza positiva "allontana" le cariche attraverso la superficie, mentre una negativa le "attrae"? Comunque non ho capito il concetto del puntuale e del globale. In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.
"simi2799":
Quindi una divergenza positiva "allontana" le cariche attraverso la superficie, mentre una negativa le "attrae"? Comunque non ho capito il concetto del puntuale e del globale. In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.
No, non sono le cariche che si muovono, devi immaginarti le linee di campo che "fluiscono" da una sorgente a un pozzo (se ci sono), se non girano su sè stesse.
Un integrale è di per sè un concetto globale (per esempio, il flusso attraverso una superficie), mentre la divergenza è una funzione del punto: il far tendere il volume di integrazione a zero è un trucco per costringere l'integrale ad essere qualcosa di locale.
Il prodotto scalare è semplicemente dovuto alla definizione di flusso, in cui conta l'angolo fra la superficie e il campo vettoriale.
"simi2799":
In più vorrei un chiarimento su cosa rappresenta il prodotto scalare tra il campo vettoriale e lì infinitesimo della superficie attraverso cui passa.
La divergenza di un campo rappresenta la densità delle linee di flusso del campo uscenti da un punto per unità di volume.
$\mathbf{A}\cdot \text{d}\mathbf{S}$ è il flusso infinitesimo. dS ha carattere vettoriale in quanto la superficie deve essere orientata (in alternativa puoi considerare dS come scalare e aggiungere nell'espressione il versore n che orienti la superficie).
$\frac{\mathbf{A}\cdot \text{d}\mathbf{S}}{\Delta \tau }$ è il flusso infinitesimo per unita' di volume.
La divergenza dunque ci fornisce una indicazione circa l'intensità della sorgente e linee di flusso.
Scusa se magari vado un po' fuori dall'argomento (forse no). Come faccio a determinare il verso del vettore superficie infinitesimo. Forse dal verso di percorrenza delle linee del campo?
"simi2799":
Scusa se magari vado un po' fuori dall'argomento (forse no). Come faccio a determinare il verso del vettore superficie infinitesimo. Forse dal verso di percorrenza delle linee del campo?
Il verso è significativo solo quando si tratta di superfici chiuse, nel qual caso c'è una reale differenza fra il dentro e il fuori. Per una superficie aperta il verso lo scegli come vuoi.
Quando la superficie e chiusa come faccio a determinarlo? Dal verso di percorrenza delle linee di campo?
"simi2799":
Quando la superficie e chiusa come faccio a determinarlo? Dal verso di percorrenza delle linee di campo?
Se orienti la superficie verso il fuori, e l'integrale risulta positivo, c'è un flusso netto uscente, una sorgente del campo, una divergenza positiva. Negli altri casi, di conseguenza, mutatis mutandis
Grazie mille, mi siete siete stati davvero d'aiuto
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