Distribuzioni di carica e di corrente
Ciao a tutti,
vorrei un parere sul mio modo di risolvere alcuni problemi di elettromagnetismo.
1) Una certa quantità di carica è distribuita uniformemente nel volume con densità [tex]\rho[/tex] rappresentato in figura. Una sfera di raggio R con all'interno una cavità sferica di raggio R/2 tangente alla sfera esterna. La carica è distribuita nello spazio compreso tra le due superfici. Calcolare il campo elettrico nei punti A e B.
[asvg]noaxes(); // visualizza gli assi
fill=("lightblue");
circle([0,0], 3);
dot( [-3,0]);
dot( [3,0]);
text( [-3,0] , "A" , left );
text( [3,0] , "B" , right );
fill=("white");
circle([-1.5,0], 1.5);[/asvg]
Siccome vale il principio di sovrapposizione io posso valutare il campo sovrapponendo gli effetti di una carica [tex]\rho[/tex] distribuita nella sfera di raggio R e quelli di una carica [tex]-\rho[/tex] posta solo nella cavità. E' giusto come ragionamento?
Il problema diventa quindi semplice in quanto è come avere una carica puntiforme
[tex]Q_1=\frac{4}{3}\pi \rho R^3[/tex]
posta nell'origine e una di carica
[tex]Q_2 = \frac{4}{3}\pi \rho (\frac{R}{2})^3 = \frac{Q_1}{8}[/tex]
posta in [tex](-R/2 , 0))[/tex]. Dunque
[tex]E(A) = - k Q_1 \frac{1}{R^2} + k \frac{Q_1}{8} \frac{16}{R^2} = - k \frac{Q_1}{2} \frac{1}{R^2}[/tex]
[tex]E(B) = k Q_1 \frac{1}{R^2} - k \frac{Q_1}{8} \frac{8}{9 R^2} = k \frac{8}{9} Q_1 \frac{1}{R^2}[/tex]
Che ne dite?
2) E' un po' la versione magnetica del primo... Un conduttore è costituito da un lungo cilindro in cui è praticato un foro cilindrico con asse parallelo ma eccentrico. Sia [tex]R[/tex] il raggio del conduttore, [tex]D[/tex] la distanza tra gli assi e [tex]r[/tex] il raggio del foro. Nel conduttore scorre una corrente [tex]I[/tex]. Calcolare il campo magnetico al centro del foro.
Anche qui stesso ragionamento...nel foro sovrappongo gli effetti di due correnti uguali e opposte. Ho calcolato il campo magnetico all'interno di un conduttore cilindrico assumendo una densità di corrente costante [tex]J=I/(\pi R^2)[/tex] e quindi la legge di Ampère su una circonferenza di raggio [tex]r
quindi lineare...allora sull'asse vale 0. Questo mi lascia un po' perplesso perchè è come dire che il contributo della corrente contraria è nullo. Non so perchè ma la cosa non mi convince...
Credendoci il risultato finale sarebbe
[tex]B(R/2) = \frac{\mu I}{4 \pi R}[/tex]
Cosa ne pensate?
Grazie a chiunque abbia avuto la pazienza di leggere fino a qui...
vorrei un parere sul mio modo di risolvere alcuni problemi di elettromagnetismo.
1) Una certa quantità di carica è distribuita uniformemente nel volume con densità [tex]\rho[/tex] rappresentato in figura. Una sfera di raggio R con all'interno una cavità sferica di raggio R/2 tangente alla sfera esterna. La carica è distribuita nello spazio compreso tra le due superfici. Calcolare il campo elettrico nei punti A e B.
[asvg]noaxes(); // visualizza gli assi
fill=("lightblue");
circle([0,0], 3);
dot( [-3,0]);
dot( [3,0]);
text( [-3,0] , "A" , left );
text( [3,0] , "B" , right );
fill=("white");
circle([-1.5,0], 1.5);[/asvg]
Siccome vale il principio di sovrapposizione io posso valutare il campo sovrapponendo gli effetti di una carica [tex]\rho[/tex] distribuita nella sfera di raggio R e quelli di una carica [tex]-\rho[/tex] posta solo nella cavità. E' giusto come ragionamento?
Il problema diventa quindi semplice in quanto è come avere una carica puntiforme
[tex]Q_1=\frac{4}{3}\pi \rho R^3[/tex]
posta nell'origine e una di carica
[tex]Q_2 = \frac{4}{3}\pi \rho (\frac{R}{2})^3 = \frac{Q_1}{8}[/tex]
posta in [tex](-R/2 , 0))[/tex]. Dunque
[tex]E(A) = - k Q_1 \frac{1}{R^2} + k \frac{Q_1}{8} \frac{16}{R^2} = - k \frac{Q_1}{2} \frac{1}{R^2}[/tex]
[tex]E(B) = k Q_1 \frac{1}{R^2} - k \frac{Q_1}{8} \frac{8}{9 R^2} = k \frac{8}{9} Q_1 \frac{1}{R^2}[/tex]
Che ne dite?
2) E' un po' la versione magnetica del primo... Un conduttore è costituito da un lungo cilindro in cui è praticato un foro cilindrico con asse parallelo ma eccentrico. Sia [tex]R[/tex] il raggio del conduttore, [tex]D[/tex] la distanza tra gli assi e [tex]r[/tex] il raggio del foro. Nel conduttore scorre una corrente [tex]I[/tex]. Calcolare il campo magnetico al centro del foro.
Anche qui stesso ragionamento...nel foro sovrappongo gli effetti di due correnti uguali e opposte. Ho calcolato il campo magnetico all'interno di un conduttore cilindrico assumendo una densità di corrente costante [tex]J=I/(\pi R^2)[/tex] e quindi la legge di Ampère su una circonferenza di raggio [tex]r
quindi lineare...allora sull'asse vale 0. Questo mi lascia un po' perplesso perchè è come dire che il contributo della corrente contraria è nullo. Non so perchè ma la cosa non mi convince...
Credendoci il risultato finale sarebbe
[tex]B(R/2) = \frac{\mu I}{4 \pi R}[/tex]
Cosa ne pensate?
Grazie a chiunque abbia avuto la pazienza di leggere fino a qui...
Risposte
ma k nel primo cos'è? e poi scrivere così i campi non è corretto, perchè è un vettore e così sembra uno scalare, specifica almeno il verso e il modulo, oppure le due componenti, così come hai fatto tu non si capisce. Probabilmente quello che hai fatto è giusto e sei stato solo impreciso nell'omettere questo, però se non li indichi il verso o le componenti non è completo lo svolgimento.
Giusto...ho scritto la componente del campo lungo l'asse x (l'unica non nulla) orizzontale passante per il centro delle sfere e orientato verso destra. Poi [tex]k=1/4\pi \epsilon_0[/tex] pensavo fosse implicito visto che si parlava di cariche puntiformi nel vuoto...
Ma dici che va bene quello sul campo magnetico? Più ci penso meno mi convince...
Ma dici che va bene quello sul campo magnetico? Più ci penso meno mi convince...
Anche del campo magnetico, com'è la direzione? il verso? com'è diretto il vettore densità di corrente?
Il fatto che il modulo del campo al centro del cilindro uniformemente percorso da corrente sia nullo è corretto, è una conseguenza della simmetria del problema, del resto in una sfera carica a simmetria radiale al centro il campo non è nullo? oppure se fissi due fili rettilinei infiniti percorsi da corrente in direzione concorde, e metti un terzo filo a metà strada tra essi, la forza che agisce su di lui è nulla perchè tale è il campo magnetico no?
Il fatto che il modulo del campo al centro del cilindro uniformemente percorso da corrente sia nullo è corretto, è una conseguenza della simmetria del problema, del resto in una sfera carica a simmetria radiale al centro il campo non è nullo? oppure se fissi due fili rettilinei infiniti percorsi da corrente in direzione concorde, e metti un terzo filo a metà strada tra essi, la forza che agisce su di lui è nulla perchè tale è il campo magnetico no?
Grazie!!! Fai bene a puntualizzare!! Il fatto è che sto ripassando elettromagnetismo (e mi sono scoperto più arrugginito del previsto 
...ma perchè non è tutto facile come la QM?!?!?!? ahahah) per l'esame di dottorato quindi certi dettagli mi sembrano così ovvi che non mi viene di scriverli.. Per i posteri aggiungo che nel secondo esercizio la corrente esce dallo schermo dunque il campo magnetico è tangenziale alla circonferenza di raggio D, diretto in senso antiorario.
...ma perchè non è tutto facile come la QM?!?!?!? ahahah) per l'esame di dottorato quindi certi dettagli mi sembrano così ovvi che non mi viene di scriverli.. Per i posteri aggiungo che nel secondo esercizio la corrente esce dallo schermo dunque il campo magnetico è tangenziale alla circonferenza di raggio D, diretto in senso antiorario.
grazie a te!
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